книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

пространения (если отвлечься от малых поперечных «пуассоновых» смещений); в поперечных волнах смещение перпендикулярно к на­ правлению распространения.

В твердой среде, как и в жидкости, возможно распространение неоднородных гармонических плоских волн как продольного, так и поперечного типов. Скорости этих волн меньше соответственно величин С; и ct, а амплитуда меняется экспоненциально вдоль фронта. Продольные и поперечные неоднородные волны со смеще­

речных волн.

Пользуясь выражениями для упругих модулей, полученными в § 138, выпишем соотношения между скоростями различных типов однородных волн в твердом теле и коэффициентом Пуассона:

Обобщая понятие волнового сопротивления среды, для твердой среды можно ввести понятия продольного волнового сопротивления рС[ и поперечного волнового сопротивления рct. Легко видеть, что для волны, бегущей вдоль оси х,

где через и обозначено смещение частиц в продольной и в попереч­ ной плоской волне соответственно. Аналогично можно ввести и по­ нятия проводимости (или импеденса) в нормальном и в касательном направлении (во втором случае подразумевается, что среда «при­ клеена» к препятствию). Эти проводимости в нормальном и каса­ тельном направлениях определяются формулами

Сдвиговая волна вида (139.5) была выбрана линейно поляри­ зованной в направлении оси у. Но вдоль оси х могут бежать сдви­ говые волны, поляризованные и по другим направлениям. Су­ перпозиция таких волн особенно просто записывается для гар­

450

монических волн. В этом случае самый общий вид сдвиговой волны данной частоты, бегущей вдоль оси х, можно представить в виде суперпозиции двух волн, линейно поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях:

u = (ja + kb)elk‘x,

где У и к — орты осей у и г. Варьируя соотношение между ком­ плексными амплитудами а и b волн, поляризованных по осям у viz, получим волны, в которых частицы описывают разные эллипсы (лежащие все в плоскостях, перпендикулярных к оси х). Напри­ мер, при обоих вещественных коэффициентах а и Ъ получается линейная поляризация: частицы движутся по прямой, наклонен­ ной к оси у под углом arctg (Ыа). 'При комплексном отношении alb получается эллиптическая поляризация волны: траектории частиц •— эллипсы с разным наклоном осей. При alb = ± і полу­ чается круговая поляризация: траектории частиц ■— окружности радиуса | а |. Скорость всех этих типов поперечных волн одинакова и также равна ct.

Приведем формулы для плотности потока мощности в плоских волнах в твердом теле. В продольной волне и = и ( t -— xlct), бегу­ щей вдоль оси X , единственная компонента напряжения, произ­ водящая работу, есть ахх. Значит, плотность потока мощности есть

W =—охх (du/dt) или, поскольку охх= —pcz (ди/ді): W=pcl(du/ât2).

= —оху (duldt). Так как в сдвиговой волне оху = —рct(âu/df), то W = pct (du/dt)2 и для гармонической волны с амплитудой смеще­ ния и0 средний поток мощности равен

F= -J- рс,со2«о.

§140. Общие уравнения распространения волн в твердом теле

Напишем линеаризованные уравнения движения для' твердой среды. Рассмотрим параллелепипед со сторонами dxx, dx2 и dx3.

Если бы деформация была однородной, то одноименные напря­ жения на противоположных гранях, например нормальные напря­ жения на гранях с нормалями, совпадающими с положительным и отрицательным направлением оси x lt были бы равны друг другу по величине и противоположны по знаку: это были бы напряже­

ния —а 11 и а х1. Аналогичные соотношения имели бы место и для других противоположных граней и для других компонент напря­ жения. Так, по противоположным граням с нормалями, парал­ лельными оси я 2, действовали бы напряжения —ст23 и а 23, —а 22 и о22 и т. д.

Но при неоднородном напряженном состоянии, например в упругой волне, напряжения по противоположным граням не равны по модулю: если на одной грани нормальное напряжение равно —сг11, то на противоположной грани напряжение равно <хХ1 + (dOiJdXj) dxx\ аналогично на других гранях будут действо­ вать напряжения —а 23 и сг23 + (да33/дх2) dx3, напряжения — о 22 и о 22 + (до22/дхо) dxо и т. д. Умножая действующие напряжения на площади соответственных граней (dx2 dx3, dx3 dxlt dx1 dx2) и складывая, найдем, что результирующая сила, действующая на данный параллелепипед, равна сумме (daj4/dX[) dx1 dx2 dx3.

Под действием этой силы данный элемент будет двигаться с уско­

рением üj. Масса элемента составляет р dxx dx2 dx3, где р — плот­ ность данной твердой среды. Значит, уравнение движения элемента среды можно записать в следующем виде:

или, выражая компоненты тензора напряжении через компоненты тензора деформации,

диа duji риі = к - щ - + 2ѵ дхі

Замечая, что

получим еще следующую форму записи уравнения движения:

Отсюда удобно перейти к векторной записи уравнения

Воспользуемся еще векторным тождеством

А* = grad div it — rot rot it.

Тогда (140.3) примет вид

Как известно, всякий вектор можно представить в виде суммы потенциального вектора, вихрь которого равен нулю, и соленои-

452

дального вектора, дивергенция которого равна нулю._Если пред­ ставить в таком виде вектор смещения и , то можно получить от­ дельно уравнения для потенциальной и соленоидальной части сме­ щения. В самом деле, положим и = tit + щ, считая гоt », = О и div ut = 0. Подставляя в (140.4), найдем

рщ + РЩ — + 2|а) grad div щ — ц rot rot щ. (140.5)

В силу единственности разложения данного вектора на потен­ циальную и соленоидальную части отсюда находим

или, вспоминая выражения для скоростей продольных и попереч­ ных волн,

Применяя векторное тождество rot rot = grad div — А к век­ торам и, и*щ, найдем

grad div tti — Ь.щ и rot rot и, = — Aut.

Следовательно, уравнения (140.6)'можно переписать в виде волно­ вых уравнений для векторов ut и tit:

В частном случае плоских волн, распространяющихся вдоль оси X , т. е. волн, смещения в которых зависят только от координаты X , приходим снова к уравнениям (139.1) и (139.4), которые снова дают решения (139.2) и (139.5).

Для гармонических волн уравнения (140.7) принимают вид

с уравнениями не относительно векторов (в нашем случае векторов смещения), а скаляров. Поэтому сейчас введем некоторые скаляры, дифференцированием которых можно было бы получить и смеще­ ния, и напряжения в твердом теле, и напишем для них уравнения движения вместо уравнений (140.7), (140.8) для смещений. Именно, представим (что всегда возможно) потенциальную часть смещения

ввиде градиента некоторого скаляра ф, а соленоидальную часть —

ввиде вихря некоторого вектора ф:

и— grad ф + rot ф.

453

Очевидно,

Скаляр ф называют скалярным потенциалом данного движе­ ния среды, а вектор яр — векторным потенциалом. Казалось бы, такой заменой цель не достигнута полностью, так как два вектора Ui и щ заменены одним скаляром и одним вектором. Однако в наи­ более часто встречающихся случаях приходится иметь дело с дви­ жениями, имеющими ту или иную симметрию, например, с пло­ скими движениями; в этих случаях, как увидим, не равной нулю остается только одна, компонента векторного потенциала яр и урав­ нение для нее также является скалярным. В тех же случаях, когда нас интересуют только потенциальные движения среды, вся задача сводится к нахождению только одного скалярного потен­ циала ф. Сжатие среды всегда выражается только через скалярный потенциал: s = ■—div и — —Дф. Поэтому среднее нормальное напряжение также выразится только через ф:

4 " = ~ ( Х + " Г •*) Лфѵ

В тензорной записи из (141.1) имеем

где еар;-— дискриминантный тензор, компоненты которого равны нулю, если в числе индексов имеются два одинаковых, и равны +1 или — 1, если индексы соответственно образуют или не образуют циклическую перестановку порядка 1, 2, 3. Подставляя (141.2) в (134.6), получим

Получим уравнения для скалярного и для векторного потеш циалов в отдельности. Подставляя вместо щ в первое из уравнений (140.6) величину grad ф, найдем

grad ( ф — С|Дф) = 0.

Интегрируя один раз по координатам, найдем, что скалярный по­ тенциал удовлетворяет волновому уравнению

При получении этого уравнения мы теряем аддитивное решение в виде линейной функции от времени, умноженной на линейную

454

функцию от координат. Однако это решение не дает никакого вклада в волновое движение среды, и его можно опускать. Для гармонического движения получим из (141.4) уравнение Гельм­ гольца для скалярного потенциала:

А ф -f- А/ф = 0.

Аналогично, подставляя вместо щ во второе уравнение (140.8) функцию rot ф, найдем

rot ( ф — с] Дф) = 0.

Интегрируя один раз по координатам, получим волновое уравне­ ние и для векторного потенциала

При получении этого уравнения мы теряем аддитивное решение в виде потенциального вектора. Но и это решение не дает никакого вклада в движение среды и его тоже можно опустить. Для гармони­ ческого движения получим уравнение Гельмгольца и для вектор­ ного потенциала:

Особенно просты волновые уравнения для плоского движения. Еслц движение происходит параллельно плоскости xz и не зависит от координаты у, то отлична от нуля только ^-компонента векторного потенциала: в противном случае не равнялась бы нулю «/-компонента смещения. Для этой единственной не равной нулю компоненты, которую будем обозначать ф, волновое уравнение делается скалярным:

Таким образом, уравнения такого плоского движения — это два скалярных волновых уравнения: уравнение (141.4) для ска­ лярного потенциала и уравнение (141.6) для единственной не обра­ щающейся в нуль «/-компоненты векторного потенциала.

Компоненты смещения для этого плоского движения равны

Формулы, выражающие напряжения через потенциалы, полу­ чим из формул (136.1) и (141.7). Так, для агг имеем

Прибавляя к правой части 2ц {д \!д х 2) и вычитая эту же величину, найдем

455

Для гармонических волн формулы (141.8)—(141.10) и (141,12) дадут

Оуу = [X [А? — 2kj\ ф.

Г Л А В А XV

ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ. ТВЕРДЫЕ ВОЛНОВОДЫ

§ 142. Отражение от идеальных стенок

Отражение волн в твердых средах сложнее, чем в жидкостях: если на границу твердого тела падает одна продольная плоская волна или одна поперечная, то отражаются сразу две —■и продоль­ ная и поперечная. (Исключение: падение поперечной волны, поля­ ризованной перпендикулярно к плоскости падения; в этом случае отражается только одна волна того же типа, что и падающая.) Увеличение числа отраженных волн по сравнению с отражением

вжидкости (и преобразование типов волн при отражении) связано

сбольшим числом условий на границе твердой среды (см. § 137).

Будем рассматривать плоские волны, падающие на плоскую границу. Падающую волну будем считать либо продольной вол­ ной, либо поперечной волной с поляризацией в плоскости падения, либо поперечной волной с поляризацией, перпендикулярной к пло­ скости падения. Любую поперечную волну можно представить как суперпозицию волн этих двух линейных поляризаций.

Из соображений симметрии ясно, что волна с поляризацией, перпендикулярной к плоскости падения, будет отражаться и про­ ходить из среды в среду независимо от волн остальных двух типов: так как нормальные смещения границы для такой вблны, так же как и нормальное напряжение, и касательное напряжение, лежа­ щее в плоскости падения, равны нулю, то для смещений и напряже­ ний остается только по одному граничному условию; поэтому число волн на границе будет всегда то же, что и для случая жидких сред, и отраженная и прошедшая волны будут всегда поперечными вол­ нами той же поляризации. Коэффициент отражения по смещению для такой волны равен + 1 для свободной границы и — 1 для абсо­ лютно жесткой границы, т. е. границы, не допускающей скольже­ ния. Легко получаются решения и для других случаев отражения

ипрохождения такой волны, вывод которых предоставляем чита­ телю

Займемся теперь более интересным случаем падения продольной волны или поперечной волны с поляризацией в плоскости падения: каждая из таких волн вызывает и волну своего типа при отражении

ипрохождении, и вторую волну. Задачи об отражении и прохожде­ нии волн этих двух типов будем решать стандартным способом.

457

\

Продольную волну будем записывать при п о м о щ й скалярного потенциала <р, а поперечную — при помощи единственной не рав­ ной нулю компоненты ф векторного потенциала в направлении, перпендикулярном к плоскости падения. Плоскость падения при­ мем за плоскость хг и ось х расположим на границе. Отличной от нуля будет «/-компонента векторного потенциала и, как и скаляр­ ный потенциал, она будет зависеть только от координат х и г.

Будем предполагать, что отражение и прохождение правиль­ ные. Аналогично случаю жидких сред, это будет не всегда справед­ ливо («закритические углы»), но при нарушении правильности от­

возникающих в процессе отражения и прохождения, будут равны

Обозначим углы скольжения продольной и поперечной волн через

одна поперечного типа. Если отражение правильное, то можно

458

ввести два коэффициента отражения: <Ѵ1для продольной и с2/ 1для поперечной волны. Тогда отраженную продольную волну можно записать в виде

Единственная не равная нулю компонента векторного потенциала равна

при помощи формул § 141 через потенциалы и их производные, получим уравнения для определения коэффициентов отражения.

Рассмотрим этим способом отражение волн для важнейших

ски. Подставляя эти величины в (141.8) и (141.9) и приравнивая напряжения нулю для значения г — 0, получим граничные усло­ вия в виде

что Ѵ і также не обращается в нуль ни при каком угле скольжения.

459