книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

§ 135, Тензор напряжений

Для того чтобы определить напряженное состояние среды в дан­ ной точке, достаточно задать напряжения, действующие по трем взаимно перпендикулярным плоскостям, проведенным через дан­ ную точку; Пусть эти плоскости ■— координатные плоскости декар­ товой системы координат {х1г х а, х3). Векторы напряжения на пло­ скости с нормалью Xj обозначим через Оу. Компоненты напряже­ ния на плоскости с нормалью хі обозначим через Оу,; первый индекс обозначает номер^оси, нормальной к координатной плоскости, на которой определяется напряжение; второй индекс— номер компо­

Отсюда видно, что напряженное состояние в точке твердого тела выражается тензором: величины Оц преобразуются как компо­

выделенному элементу среды ABCD. Момент, создаваемый каса­ тельными напряжениями, равен (ст23— а 32) A B -ВС, и следова­ тельно, имеет второй порядок малости по отношению к размерам элемента. Но момент инерции элемента имеет третий порядок ма­ лости относительно этих размеров. Следовательно, компоненты а 23 и сг32 должны быть равны, иначе элемент получил бы бесконечное угловое ускорение. Отсюда заключаем, что всегда ajt = alf, т. е. тензор напряжений симметричен.

Тензор напряжений, подобно тензору деформаций, также может быть приведен к главным осям. В этом случае отличны от нуля только диагональные элементы и напряжения по всем трем коорди­ натным плоскостям направлены по нормали. Если к тому же все нормальные напряжения в этой системе равны друг другу, так что

440

тензор напряжений в этой системе принимает вид о/7 = б^ст, то это свойство оказывается инвариантным и любая система коор­ динат явится главной: ни по какой плоскости нет касательных на­ пряжений. Доказательство проводится так же, как и для тензора деформации (см. § 134).

Таким образом, в этом случае нормальное напряжение полу­ чается одним и тем же для любого направления площадки, а каса­ тельные напряжения отсутствуют. Это ■— такое же напряженное состояние,как в сжатой жидкости. Оно возникнет, например, при погружении твердого тела в жидкость, находящуюся под давле­ нием.

Величина о в этом случае равна давлению, взятому с обрат­ ным знаком: о = — р (в отличие от напряжений, давление счи­ тается положительным, если сила давления направлена по внутрен­ ней нормали к площадке).

§ 136. Закон Гука

Внутренние напряжения в твердых телах определяются дефор­ мациями тела, подобно тому как давление в жидкости определяется ее сжатием. Связь между напряжениями и деформациями может быть разного типа. Может оказаться,, что напряжение в данный мо­ мент зависит от того, какие деформации испытывало тело за всю его историю (аналогично жидкостям с релаксацией), а может ока­ заться, что напряженное состояние в данный момент определяется только деформацией в этот самый момент; если при этом внут­ ренняя вязкость отсутствует, то работа в теле при циклическом деформировании тела (с возвращением к исходному состоянию) равна нулю. Более того: будем заниматься только телами с линей­ ной упругостью, т. е. телами, для которых связь между компонен­ тами напряжения и деформации линейна. Наконец, ограничимся только изотропными твердыми телами. Требование линейности исключает большие значения тензора деформации, а также исклю­ чает среды типа порошков^ для которых сжатие вызывает напряже­ ния, но растяжение приводит только к нарушению контакта между частицами.

Напишем самый общий вид линейного соотношения между ком­ понентами тензоров напряжения и деформации. Это соотношение должно иметь тензорный характер: иначе соотношение, справедли­ вое в одной системе координат, оказывалось бы неверным в другой, в то время как по самому смыслу такого соотношения оно должно быть инвариантно по отношению к выбору системы координат. Можно написать два различных тензора второго ранга, линейно зависящих от компонент тензора деформации: первый —• это сам

441

— инвариант; его физический смысл — относительное изменение объема элемента (дивергенция смещения). Наиболее общее линей­ ное соотношение между тензорами деформации и напряжения можно записать в следующем виде:

где К и ц — так называемые коэффициенты Ламе — величины, характеризующие упругие свойства данной среды. Это соотношение называют обобщенным законом Гука.

Уравнения (136.1) можно решить относительно тензора дефор­ мации. В самом деле, свертывая это уравнение по индексам / и /, найдем

§ 137. Граничные условия для твердых тел

Рассмотрим важнейшие виды граничных условий для границ твердого тела с другими делами или с вакуумом; разнообразие здесь большее, чем для жидкостей. Будем обозначать ось, совпада­ ющую с нормалью к границе, индексом п, а две взаимно перпенди­ кулярные оси в плоскости границы — индексом а (а = 1, 2).

1. Свободная граница. На свободной границе равны нулю ком­ поненты тензора упругого напряжения, соответствующие пло­

Равны нулю нормальное смещение границы и касательные напря­

гибкая пластинка. Касательные смещения и нормальные напряже­ ния равны нулю: иа = 0; опп — 0.

5. Граница с жидкостью. Нормальное давление на границе равно давлению в жидкости, взятому с обратным знаком; касатель­ ные напряжения равны нулю; нормальные скорости твердого тела и жидкости на границе равны между собой: опп = — р; ат = 0; tin ~ Ufi.

442

6. Граница с другим твердым телом при наличии «склейки». Попарно равньі все компоненты смещений обоих тел на границе и одноименные компоненты тензора напряжений: щ = и'г, апп =

Равны попарно нормальные смещения и нормальные напряжения обоих тел на границе. Касательные напряжения в обоих телах равны нулю: ип = и'п\ опп = а'пп\ опа = о„а = 0.

§ 138. Однородные деформации. Различные модули упругости

При однородной деформации напряженное состояние среды ■одинаково во всех точках тела: тензор напряжений не зависит от координат. Однородная деформация — это статическая деформа­ ция, так как на каждую частицу со стороны соседних действуют •одинаковые противоположно направленные силы, и поэтому рав­ нодействующая напряжений, действующих на частицу, равна нулю.

Если деформация неоднородна, но меняется от точки к точке непрерывно, то для вычисления напряжений в малой окрестности данной точки деформацию можно считать однородной и учитывать неоднородность только при вычислении силы, действующей на эле­ ментарный объем. Важнейшие типы однородных деформаций — всестороннее сжатие, чистый сдвиг, растяжение вдоль одной оси.

Всесторонним растяжением (или всесторонним сжатием —

в зависимости от знака деформации) называют деформацию, при которой удлинение одинаково по всем трем осям, а сдвиговые де­ формации равны нулю:

Цц — U 2 2 — Ы з з І U-13 — U31 — u 1 2 — 0 *

Подставляя в уравнение (136.1), найдем

Отличны от нуля только нормальные напряжения. Величину

К = А, + 2/3ц

называют модулем всестороннего сжатия или объемным модулем упругости. Формулу (138.1) можно записать также в виде

Ѵз <Уаа — KWfza-

В этом виде формула справедлива и для любой неоднородной де­ формации, что легко видеть, свертывая (136.1) по индексам j и I. Таким образом, среднее значение трех нормальных напряжений зависит только от дивергенции смещения, или, что то же, от сжатия среды.

443

Деформацией чистого сдвига в плоскости х 2х3 называют дефор­ мацию, при которой отличны от нуля только компоненты « 23 = ц32 тензора деформации. Из (136.1) найдем, что в этом случае отлич­ ными от нуля будут только напряжения

Таким образом, второй коэффициент Ламе имеет физический смысл модуля сдвига. При обращении ц в нуль твердое тело обра­ щается в жидкость с сжимаемостью ß = ИХ.

Деформацией растяжения вдоль оси х х называют такую дефор­ мацию, при которой отлична от нуля только компонента «Х1 тен­ зора деформаций (такого типа деформация, но не однородная, а меняющаяся вдоль оси х и возникает в плоской волне, бегущей вдоль оси xx). Из (136.1) найдем в этом случае

<Пі = (^ “Ь 2р) « ц ‘, 022 = ^ЗЗ =

Нормальное напряжение достигает наибольшего значения вдоль направления растяжения, а наименьшего — в перпендикулярном направлении. Для жидкости, испытывающей ту же деформацию, оба напряжения были бы равны друг другу.

Величину

X + 2ц = К + Ѵ8ц

называют упругим модулем плоской волны. Как и всякая деформа­ ция, не сводящаяся к всестороннему сжатию, растяжение вдоль одной оси связано со сдвигом. Однако при данном выборе коорди­ натных осей (главные оси) сдвиговые компоненты тензоров дефор­ мации и напряжения равны нулю.

Часто приходится иметь дело с ограниченными твердыми те­ лами, например цилиндрическими стержнями и пластинами. Рас­ тяжение таких ограниченных участков сред происходит иначе, чем растяжение сплошной среды. Рассмотрим однородное растяже­ ние вдоль оси стержня со свободной боковой поверхностью. Напра­ вим ось х г по оси стержня. Единственной отличной от нуля компо­ нентой напряжения будет ап , так как на боковых стенках стержня напряжения должны обращаться в нуль, а в силу однородности деформации компоненты тензора напряжений постоянны по всему телу.'

В этом случае из уравнения (136.1) найдем

Оц = (X + 2ц) «1Х+ X ( « 2 2 + изз)>

444

откуда получим

называют коэффициентом Пуассона. Согласно (138.4) он дает отно­ шение поперечного изменения размеров («пуассоново сжатие»)

.к продольному при сжатии или растяжении стержня. Величину

называют модулем Юнга для стержня.

Пользуясь величинами Е и ѵ, получим из (136.3) следующие выражения деформации растяжения по любым трем взаимно пер­ пендикулярным направлениям через нормальные напряжения по этим направлениям:

Так как в закон Гука входят только две независимые характе­ ристики вещества, то между тремя различными модулями упруго­ сти К, ц и Е должна быть линейная зависимость, а коэффициент Пуассона можно выразить через любые два различных модуля упругости. Соответственные формулы можно записать так:

Из повседневного опыта ясно, что объемный модуль упругости и модуль сдвига — не отрицательные числа: тела «сопротивляются» деформации, а не «способствуют» ей. Поэтому из (138.10) следует, что V для любого тела должно находиться в пределах от — 1 (при

445

К = 0) до 1/2 (при ц = 0). Отрицательные значения коэффициента Пуассона для реальных сред не встречаются, так что фактически всегда выполняются неравенства

(138.11)

Отсюда, в частности, следует, что и коэффициент Ламе X также всегда положителен; предельный случай ѵ -* 1/2 соответствует ц —>0, т. е. переходу от твердого тела к жидкости. Вещества с мо­ дулем сдвига, малым по сравнению с модулем всестороннего сжа­ тия, называют водоподобными. Примеры водоподобных тел — ре­ зины, мягкие пластмассы, мягкие живые ткани. Для водоподобных тел справедливы приближенные соотношения

Коэффициент Пуассона, близкий к нулю, имеет пробка: при растяжении и сжатии куска пробки поперечные размеры куска практически не меняются. Это позволяет использовать для заку­ поривания бутылок цилиндрические пробки. Пробки из резины, для которой коэффициент Пуассона близок к 1/2, приходится де­ лать коническими: цилиндрическая резиновая пробка может ока­ заться самотормозящимся устройством, и ее будет невозможно про­ двинуть в горлышко бутылки.

Можно выразить все модули упругости через какой-нибудь один из модулей и через коэффициент Пуассона. Так, из получен­

1— V

(1 —2v) (1 —J—v)

Отсюда видно, в частности, что все модули упругости всегда поло­ жительны и имеют место неравенства:

Е <і 3К', 2ц <і Е <• Зц; К <: X + 2ц <5 3К.

Случай растяжения бесконечной пластины — промежуточный между растяжением стержня и продольным растяжением в без­ граничной среде. Пусть пластина лежит в плоскости х гх 2 и растя­ гивается вдоль оси х х. Тогда растяжение по оси х2 отсутствует: «гг = 0; кроме того, нормальное напряжение вдоль оси х3 равно нулю: сг33 = 0. Пользуясь (136.1), находим

446

Из второгѳ из этих уравнений находим уравнение, аналогичное

т. е. коэффициент поперечного сжатия пластины по толщине (его можно назвать коэффициентом Пуассона для пластины ѵпл) равен

Модуль Юнга для пластины всегда превышает модуль Юнга для стержня. Это вызвано тем, что в пластине частицы не могут смещаться по оси х 2, как в стержне. Легко видеть, что модуль плоской волны больше обоих модулей Юнга. Полезно заметить формулы

принимая значение, близкое к единице, для водоподобных сред.

§ 139. Продольные и поперечные плоские волны в твердом теле

Один из типов плоских волн в твердом теле подобен волне в жид­ кости: это — продольная волна. Пусть смещения частиц и на­ правлены по оси X и зависят только от координаты х (для этого простого случая можно обойтись без тензорных обозначений; вообще тензорные обозначения обычно удобны для расчетов самых общих случаев, а в конкретных частных случаях удобнее выби­ рать определенную систему координат, применительно к данной

447

задаче). Напомним составление уравнений движения для такого случая. Для этого рассмотрим, какие силы действуют на поверх­ ность выделенного элемента среды, который возьмем в виде прямо­ угольного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат. Так как все смещения зависят только от коорди­ наты X, то напряжения по боковым стенкам элемента взаимно уни­ чтожатся в силу симметрии. Нормальные же напряжения по перед­ ней и задней стенкам будут равны соответственно

Таким образом, равнодействующая сил напряжения на элемент со стороны окружающей среды будет равна

dxdydz(% + 2ц)^£.

Обозначая плотность среды через р; получим уравнение движения в виде

Это — линеаризованное уравнение (ср. § 13): вместо полной про­ изводной по времени взята частная производная; плотность при­ нята равной невозмущенному значению.

Это уравнение имеет решения в виде плоских волн продольного смещения произвольной формы, бегущих в положительном и отри­ цательном направлении оси х (волны сжатия и растяже'ния):

где скорость продольных волн ct = У {%+ 2ц)/р. В отличие от жидкости, эта скорость определяется не только модулем всесто­ роннего сжатия среды, но и модулем сдвига:

с, = ]/(/< " + ^ і г ) / р .

Таким же способом можно показать, что скорости продольных волн в стержне (сст) или в пластине (спл) равны соответственно

•Из этих трех скоростей продольных волн наибольшее значение имеет скорость волн в безграничной среде ct: это наибольшая ско­ рость возмущения в твердом теле. Кинематическое сходство пло­ ской продольной волны в твердой среде с такой же волной в жид­ кости не распространяется на напряжения: в жидкости давление не зависит от ориентировки площадки, на которой оно измеряется, и

.в плоской волне равно р = — К (ди/дх), где К — модуль упругости

448

продольной волны, совпадающий для жидкости с модулем всесто­ роннего сжатия. В твердом же теле распределение величины, ана­ логичной давлению— нормального напряжения, взятого с обрат­ ным знаком, — зависит от расположения площадки: на площадке с нормалью, направленной вдоль распространения волны, нормаль-

ное напряжение равно ахх = (X + 2ц) ди , а по перпендикулярной

к этому направлению площадке (например, площадке с нормалью у

или z) напряжение равно ауу — агг — Я,-^ .

В твердом теле, как уже говорилось, помимо продольных волн, может распространяться волна поперечного типа, в которой смеще­ ния частиц перпендикулярны к направлению распространения. Это — волна чистого сдвига. Пусть, например, смещения и частиц направлены по оси у и зависят только от координаты х. Тогда, как легко видеть, движение выделенного параллелепипеда dx dy dz определяет сдвиговые напряжения аху = ѵух, действующие на гранях dy dz. Напряжения на передней и задней гранях будут равны соответственно

Уравнение движения снова получится в виде волнового уравнения (139.4)

Решениями уравнения являются плоские сдвиговые волны попе­

Напомним, что в продольных волнах в неограниченной среде в стержне и в пластине смещения параллельны направлению рас­