книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

атмосферы. Если бы распространение происходило без дисперсии, то скоро бы образовывалась ударная волнр (скачок давления) и волна быстро бы затухала. В дёйствительности в результате волноводной дисперсии волна затухает сравнительно слабо.

§ 130. Стоячие волны конечной амплитуды

Рассмотрим квадратичную поправку к стоячей волне в узкой трубе, ограниченной крышками с теми или иными акустическими свойствами: например, крышками абсолютно жесткими, абсо­ лютно мягкими или крышками, характеризующимися каким-либо импедансом и т. п. В качестве волны первого порядка будем каж­ дых раз брать стоячую волну линейной теории, полагая, что ква­ дратичная поправка в начальный момент равна нулю. Мы увидим, что характер поправки существенно зависит от свойств крышек.

Пусть длина трубы равна L. Совместим начало координат с од­ ним из концов трубы. Начнем со случая абсолютно жестких кры­ шек с обеих сторон трубы. В качестве линейного приближения возьмем стоячую волну номера /:

В этом случае уравнение (124.9) для квадратичной поправки при­ нимает вид

Рп — СоРаа = PoG(i>2(\ -}- cos 2ka) cos 2cot.

Как нетрудно убедиться прямой подстановкой, квадратичная поправка, удовлетворяющая начальному условию р" = 0 при

/= 0, — это волна

р= - |- P o G (l— cos 2cat -f- со/ cos 2ka sin 2(at).

Первые два члена в скобках дают давление, распределенное равномерно вдоль трубы и осциллирующее с двойной частотой

вокруг среднего значения (V4) poG. Третий член — стоячая волна удвоенного номера (вторая гармоника исходной волны) с ампли­ тудой, нарастающей пропорционально времени, протекшему от начального момента. Аналогично случаю бегущей волны квадра­ тичная поправка и здесь представляет собой вековой член — носит резонансный характер, что объясняется наличием в правой части уравнения члена cos 2ka cos 2(at, являющегося для заданных гра­ ничных условий собственным решением уравнения без правой части.

Иначе обстоит дело в трубе со свободными концами. В такой трубе за волну первого порядка можно принять

р' = р о sin ka sin (at.

430

Уравнение (124.9) для квадратичной поправки примет вид

Ри — СІр'аа = PoGcö2 (1 — COS 2kü) COS 2cot.

Вправой части этого уравнения нет слагаемого, совпадающего

срешением уравнения без правой части и удовлетворяющего гра­ ничным условиям (обращение давления в нуль на концах трубы). Поэтому и решение не имеет резонансного характера: вековой член отсутствует. В самом деле, одним из частных решений урав­ нения является периодическая функция

Рі = -і- PoG (cos 2ka — 1 -f ka sin 2ka) cos 2Ы.

Для получения решения, удовлетворяющего начальному условию, т. е. обращающегося в нуль в момент t = 0, достаточно добавить к этому частному решению неоднородного уравнения решение однородного уравнения, также обращающееся в нуль на концах трубы, которое принимало бы в начальный момент значение

_---- -- PoG (cos 2ka — 1 + ka sin 2ka).

Дадим наглядное объяснение качественному различию ре­ зультатов для разобранных двух случаев. Мы видели, что появ­ ление квадратичной поправки можно трактовать как результат воздействия на среду сторонних объемных скоростей. В каждой точке трубы сообщаемая второй гармонике мощность равна про­ изведению сторонней объемной скорости на давление в создавае­ мой волне. Поскольку сторонние объемные скорости имеют двой­ ную частоту по сравнению с исходной волной, возбуждаться может только волна этой двойной частоты, т. е. волна двойного номера по сравнению с исходной. Но совпадения частот стороннего воз­ действия и волны недостаточно для того, чтобы происходила пере­ качка энергии в волну. Действительно, распределение объемной скорости вдоль трубы в обоих случаях имеет вид cos 2ka\ постоян­ ную составляющую можно не учитывать, так как для всех номе­ ров нормальных волн, кроме первого (в трубе с открытыми кон­ цами) работа постоянной составляющей равна нулю. В трубе с жесткими крышками распределение давлений в волне двойной частоты также имеет вид cos 2ka, и поэтому работа в каждой точке всей трубы положительна, в результате чего энергия перекачи­ вается во вторую гармонику. Для трубы же с мягкими крышками давление во второй гармонике распределено по закону sin 2ka, ортогонально к распределению сторонних объемных скоростей: работа в разных точках трубы имеет разные знаки, а в целом по трубе равна нулю. В результате вековых членов нет.

В трубе с одной абсолютно жесткой и другой абсолютно мягкой крышкой вторая гармоника не возникнет, потому что в наборе собственных колебаний такой трубы нет четных гармоник: частоты различных номеров колебаний относятся как 1 : 3 : 5 . . . Наконец,

,431

если крышки в трубе не идеальные, а, например, характеризуются каким-либо импедансом, то набор собственных колебаний в такой трубе также вообще негармонический, так что для какого-либо номера собственных колебаний не найдется колебаний двойной частоты. Сторонние же объемные скорости всегда имеют двойную по отношению к исходной волне частоту. Во всех этих случаях (за исключением двух абсолютно жестких крышек) частота воз­ можных нормальных колебаний не совпадает с частотой сторон­ него воздействия: вековых членов нет. В этом смысле жесткие крышки — исключительный случай.

§ 131. Уравнения квадратичной поправки для неодномерных волн

До сих пор мы рассматривали только одномерные волны, для которых было целесообразно применять лагранжевы уравнения. В неодномерном случае оказывается удобнее пользоваться эйле­ ровыми уравнениями. Точные уравнения гидродинамики в эйле­ ровой форме запишем в виде

pvt -|- р (оѴ) V + Ѵр = О,

Р = Р (Р).

Первое из этих уравнений — уравнение движения, второе — уравнение неразрывности, третье — уравнение состояния.

Напишем приближенные уравнения, представляя, как и раньше, все величины в виде рядов по степеням числа Маха и ограничиваясь членами первого порядка (линейное -приближение)

ивторого порядка (квадратичная поправка). Линейные величины будем обозначать одним штрихом, а квадратичные — двумя штри­ хами. Как и выше, напишем уравнения отдельно для линейных

иотдельно для квадратичных величин.

Итак, положим

Отбрасывая члены порядка выше второго и разделяя величины по порядку малости, найдем для величин первого порядка

Pov't + Ѵр = О,

(131.3)

р) + РоѴо = 0;

432

для величин второго порядка

(131.4)

Таким образом, поле первого приближения удовлетворяет однородным линейным уравнениям, а поправка — тем же урав­ нениям с правой частью, т. е. со сторонними воздействиями. Преобразуем эти уравнения к виду, удобному для исследования.

Из первого из уравнений (131.3) видно, что поле скоростей первого порядка потенциально. В этом случае, как известно,

(ЬУ)ѵ' = V (Ѵ2 г;'2).

Подставляя (124.5) в уравнения (131.4) и пользуясь уравне­ ниями (131.3), получим последовательно

плотность внутренней энергии поля первого порядка. Значит, уравнения для квадратичной поправки можно записать в виде

Ро®* + ѴР = Ѵ ( Ѵ - П

р ;+Р«^Ѵ®' = { [і + Р ,( - ^ - ) 0] і / + т }г (131.5)'

Отсюда видно, что квадратичную поправку можно считать вол­ ной, создаваемой сторонними источниками: дипольными источ­ никами с силой диполя, распределенной с плотностью F =

— у (U — Т), и монопольными источниками с объемной ско­ ростью, распределенной с плотностью

433г

Исключая из уравнений (131.5) скорость частиц, получим для квадратичной поправки волновое уравнение с правой частью:

Ри — 4 Д р " = { [ і + р „(-ф -)о] и + т\и - с і м и - Т ) =

что в точности совпадает по форме с уравнением (124.9); но, вопервых, оно, в отличие от последнего, написано в эйлеровых коор­ динатах, а не в лагранжевых и, во-вторых, относится только к бе­ гущим волнам, а не к произвольным одномерным волнам, как уравнение в лагранжевых координатах.

Если бегущая волна в первом порядке задана одинаковыми формулами в эйлеровых и лагранжевых координатах, то и ква­ дратичные поправки выразятся одинаковыми формулами. Реше­ ния же § 130, конечно, не переносятся на эйлеровы координаты без дополнительных изменений.

Для задачи с первым приближением в виде бегущей плоской волны р' = р' (х — c0t) и для случая, когда начальное значение квадратичной поправки принимается равным нулю, решение имеет вид

Р " — ~Y G t ( p ' 2),,

что совпадает с приближенной формулой (122.7), полученной из точного решения.

§ 132. О нелинейном взаимодействии плоских волн, бегущих под углом друг к другу

В § 126 мы видели, что при нелинейном взаимодействии двух плоских волн, бегущих в одном направлении, помимо волн двой­ ной частоты для каждой из гармонических компонент исходных волн появляются еще вековые члены суммарных и разностных частот. Выясним теперь, как обстоит дело с квадратичной поправ­ кой в случае, когда исходные плоские волны бегут под углом друг к другу. Оказывается, что в отсутствие дисперсии волны двойных частот появляются по-прежнему, но волны суммарной

434

и разностной частот уже не являются вековыми членами в ре­ шении.

Всамом деле, применим результаты предыдущего параграфа

ксумме волн первого порядка:

р' = ргcos (co^ — k xr) + рг cos (ü>2* — k2r),

где волновые векторы составляющих волн кг и k 2 не параллельны. Из (131.5) следует, что сторонние объемные скорости и сторонние силы, зависящие от обеих волн первого порядка, распределены во времени и в пространстве по законам

sin [(coj + caz)t — (&i -\-k2)r] и sin[(cox — со2)t — [к1 — кі)г].

Таким образом, сторонние воздействия оказываются бегущими волнами, в которых частоты равны арифметической сумме или разности частот волн первого порядка, а волновые векторы равны векторной сумме или разности соответственных волновых век­ торов. Ясно, что в этом случае фазовые скорости сторонних воз­ действий не равны скорости свободных волн в среде: волна сум­ марной частоты бежит быстрее, а волна разностной частоты бежит медленнее звука. Картина возбуждения волн суммарной и раз­ ностной частоты получается аналогичной картине в среде с дис­ персией скорости (см. § 129): энергия будет то перекачиваться из волны первого порядка в волны суммарной и разностной ча­ стоты, то возвращаться обратно в волны первого порядка. Нара­ стания и убывания волн суммарной и разностной частоты будут носить характер биений, причем чем ближе друг к другу напра­ вления волновых векторов исходных волн, тем период биений длиннее и тем точнее картина биений «имитирует» вековые члены. С точки зрения наличия вековых членов можно сказать, что в среде без дисперсии монохроматические волны, бегущие по раз­ ным направлениям, не взаимодействуют между собой.

Иначе обстоит дело при взаимодействии ограниченных («кол­ лимированных») пучков волн, бегущих в разных направлениях, например двух монохроматических пучков ультразвука, исходя­ щих из двух разнесенных излучателей и пересекающихся в неко­ торой ограниченной области взаимодействия. В этом случае сторонние источники можно найти тем же способом, что и при пересечении неограниченных плоских волн, но эти источники оказываются расположенными в некотором ограниченном объеме. Область взаимодействия явится некоторой пространствен­ ной антенной для волн суммарной и разностной частот. Созда­ ющиеся биения окажутся в этом случае оборванными на границах области взаимодействия, и волны суммарной и разностной амплитуды будут распространяться вне области взаимодействия как свободные волны.

Явление распространения волн суммарных и разностных частот вне области взаимодействия первичных полей первого порядка называют рассеянием звука на звуке. Величина этого рассеяния

435

Г Л А В А XIV

УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

§ 133. Твердое тело как акустическая среда

Твердые тела отличаются от жидкостей тем, что при дефор­ мациях в них возникают не только давления, но и сдвиговые упругие напряжения. Поэтому в твердых телах, помимо продоль­ ных волн того же типа, что и в жидкостях, могут распростра­ няться и поперечные волны, в которых частицы колеблются пер­ пендикулярно к направлению распространения.

В жидкостях степень сжатия полностью определяет возни­ кающее давление — единственную величину, характеризующую напряженное состояние среды. В твердом теле картина напря­ женного состояния более сложна и требует более подробного учета картины деформаций. Вместо скаляров — сжатия и давле­ ния — появляются тензоры деформации и тензоры напряжений. Акустику твердой среды начнем с напоминания основных свойств этих тензоров. Среду будем считать изотропной.

§ 134. Тензор деформации

Если каждая точка твердого тела получила одно и то же сме­ щение, то это значит, что тело переместилось поступательно: деформация тела отсутствует, и следовательно, никаких упругих напряжений в теле не возникло. Деформаций может не быть и при различных смещениях разных точек, например при враще­ нии тела как целого. Напряжения возникают только в тех слу­ чаях, когда расстояния между точками тела изменяются.

Изменение смещений от /точки к точке можно характеризо­ вать производными компонент смещений иг, и2, и3 по координа­ там какой-либо прямоугольной декартовой системы координат (хх, х г, х3), т. е. величинами dU]ldxt. Однако такие производные еще не характеризуют деформацию, так как в них входят также смещения тела как целого. Поэтому удобно выделить такие вели­ чины, которые зависели бы только от изменений расстояний между точками тела. Это можно сделать следующим образом. Возьмем в теле две точки, координаты которых различаются на dxf.' Ква­ драт расстояния dL между этими точками равен

437

После деформации расстояние между точками станет равно dL':

где duj — приращение вектора смещений при переходе от первой точки ко второй. Для близких точек, т. е. для малых значений dXj, можно положить

«Малость» вектора dxjt конечно, относительна и означает малость его модуля по сравнению с расстояниями, на которых величина производных ди.ІдХі изменяется заметным образом.

Подставляя (134.3) в (134.2), найдем

Таким образом, приращение квадрата расстояния между двумя близкими точками равно

есть тензор; ее называют тензором деформации. Очевидно, тензор деформации симметричен. Если все компоненты тензора дефор­ мации обращаются в нуль (инвариантное свойство тензора), и только в этом случае, расстояния между частицами тела не меняются и оно движется как абсолютно жесткое тело. Таким образом, U/i действительно характеризует деформацию тела независимо от его движения как целого.

Если малы компоненты тензора деформации, то обычно малы и производные ди/дхр, исключением'являются случаи изгибания или кручения стержня или изгибание пластины, когда велик угол поворота средней линии или угол закручивания. Если не рас­ сматривать эти особые случаи, то можно линеаризовать выраже­ ние для тензора деформации, пренебрегая квадратичными чле­ нами, и записать его в виде

Если линеаризация возможна, то линеаризованные тензоры можно складывать (принцип суперпозиции): две деформации U/t

438

и Vj[t совершенные одна за другой, эквивалентны одной дефор­ мации Uji 4- ѵц• Погрешность при таком расчете — того [же по­ рядка, что и при переходе от (134.5) к (134.6).

Каждая из компонент линеаризованного тензора деформаций имеет простой физический смысл. Диагональная компонента (компонента с двумя совпадающими индексами), например иг1, равна относительному растяжению элемента среды в направлении соответственной оси (в данном случае оси хх). Сумма диагональ­ ных компонент тензора деформации равна дивергенции смещений точек среды, т. е. акустическому сжатию среды, взятому с обрат­ ным знаком: и ^ = div и = —s.

Недиагональная компонента (компонента с различными ин­ дексами), например «23, равна изменению в результате деформа­ ции прямого угла между соответственными осями координат, проведенными в среде (деформация сдвига).

Компоненты тензора деформации изменяются при повороте осей. Формулы преобразования между компонентами ujt в старой

нусы осей одной системы относительно другой. Очевидно, yjayІа = = 8ц и уц = у],. Величина иаа при повороте осей не меняется.

Как известно, симметричный тензор имеет систему главных осей. В этой системе кобрдинат от нуля отличны только диаго­ нальные компоненты тензора. Следовательно, любая деформация может быть представлена в виде суперпозиции трех растяжений в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Если деформа­ ция такова, что все три растяжения равны, так что тензор дефор­ маций можно представить в виде ііц — 8jtu, то это свойство ока­ зывается инвариантным. В этом случае каждая система коор­ динат оказывается главной и деформации сдвига отсутствуют.

Всамом деле, по закону преобразования компонент тензора имеем

вэтом случае

Uji = UaßYa/Yßf = ^aßYa/Yß^ — ^YßyYßi =

Если в каждой точке твердого тела компоненты тензора дефор­ мации одинаковы, то деформацию называют однородной. При этом и напряженное состояние среды оказывается одинаковым во всех точках *), а следовательно, результирующая сил упру­ гости, действующих на любой объем среды, равна нулю. Поэтому деформация в упругой волне не может быть однородной.

*) При случаях изгибания и кручения, упомянутых в § 134, одинаковое на­ пряженное состояние может иметь место и при тензоре деформаций, меняющемся от точки к точке.

439