книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Нарастание второй гармоники происходит за счет энергии исходной волны, амплитуда которой вследствие такой перекачки энергии будет уменьшаться с течением времени. Поэтому поль­ зоваться методом малых возмущений, в котором для расчета ква­ дратичной поправки принимается, что исходная волна практи­ чески не меняется с течением времени, можно только до тех пор, пока энергия поправки остается относительно малой. Это анало­ гично условию применимости метода малых возмущений в теории рассеяния: требованию малости рассеянного поля по сравнению с первичным. Если указанное требование выполнено, то можно найти"(малое) ослабление исходной волны, вызванное перекач­ кой ее энергии во вторую гармонику (см. § 127).

Отношение амплитуды второй гармоники к амплитуде первой гармоники равно

Р '

где N — число периодов, протекших от начального момента. Скорость нарастания относительного значения квадратичной по­ правки тем больше, чем выше частота. Изменение этого относи­ тельного значения за один период от частоты не зависит. Для

идеального газа

£І 4 -n(V + l)M W . p'

Рассмотрим теперь другую акустическую ситуацию: работу излучателя, создающего в данной точке заданное давление. Пусть, например, поршень, колеблющийся в трубе, создает на своей

p' (t — а/с). Квадратичная поправка должна, удовлетворяя урав­ нению (125.1), обращаться в нуль на поверхности поршня: р" = О при а = 0. Аналогично предыдущей задаче непосредственной под­ становкой убедимся, что искомое решение имеет вид

Например, для синусоидального закона изменения давления на

В этом случае квадратичную поправку можно считать второй

гармоникой с амплитудой (1/2) p\Gka, не зависящей от времени и растущей пропорционально расстоянию от поршня. Поправка является в решении вековым членом относительно координаты.

420

Отношение амплитуд второй и первой гармоник выражается фор мулой, аналогичной (125.6):

на расстоянии от излучателя до рассматриваемой точки. Движение поршня в этой задаче не синусоидально. Действи­

тельно, подставляя найденное решение в первое уравнение (124.7),

а — 0. Из первого уравнения (124.7) видно, что при этом условии будет также р’а 0 при а — 0. Смещение в волне первого порядка равно в данном случае £ '( t— а/с). Соответственная величина давления первого порядка равна р' — роСоЕ/. Простой подста­ новкой снова легко проверить, что искомое решение имеет вид

в приближении, учитывающем квадратичную поправку, инте­ гральный импульс давления в бегущей волне не равен нулю даже при результирующем смещении поршня, обращающемся в нуль: В самом деле, пусть в точке а = 0 выполняется равенство

+ С О

J V d t = 0. . —00

Интеграл от р'. по времени в бесконечных пределах равен нулю., Обратится в нуль после интегрирования по времени в. бесконеч­ ных пределах и первый член справа в;(-125.10) для бегущей волны

42 Ь

(этот член можно представить как производную по времени). Последний же член справа существенно положителен и при инте­ грировании даст величину, отличную от нуля. Этот интеграл и будет представлять собой импульс давления за время возвра­ щения поршня в исходное положение.

где po = <*>pc|0 — амплитуда давления первого порядка на поршне. Следовательно, поршень испытывает добавочное давление

второго порядка, равное(1/4) pi G (1 -f-cos 2со/). Результирующее давление на поршень складывается, таким образом, из синусои­ дального давления первого порядка, синусоидального же давле­ ния второго порядка двойной частоты и, наконец, постоянной составляющей также второго порядка. Усредненное по времени значение давления, действующего на „поршень, движущийся

§ 126. Нелинейное взаимодействие волн, Акустическое детектирование

Для плоских волн, бегущих по одному и тому же направле­ нию, нелинейные эффекты неаддитивны. Если первое прибли­ жение есть сумма двух волн, р' = р{ -f- pi, то нелинейный эф­ фект не есть сумма квадратичных поправок р\ и р2, которые воз­ никали бы при распространении каждой из волн р[ и р2 в отдель­

оказывается зависящим от обеих волн первого порядка одновре­ менно. Его появление— результат нелинейного взаимодействия волн — нарушает принцип суперпозиции, справедливый для ли­ нейного случая.

Например, нелинейное взаимодействие двух гармонических волн приводит к появлению добавочных (к гармоникам двойной частоты) волн суммарной и разностной частот. В самом деле, под­ ставляя в (126.1) величины

Рі = Рю sin (а»і/ — kiа) и р2 = р2о sin (со2t — k2a),

422

и соответственные волновые числа. Амплитуды отдельных компо­ нент пропорциональны соответственным квадратам и произведе­ ниям амплитуд волн первого приближения, а также волновым числам (или частотам) компонент. Поэтому нелинейные гармоники более высоких частот имеют относительно большую амплитуду: амплитуда гармоники суммарной частоты больше, чем амплитуда гармоники разностной частоты.

Аналогично можно найти квадратичную поправку и для волны первого порядка, заданной в виде суммы многих гармоник раз­ ной частоты, а также для волны со сплошным спектром. В спектр квадратичной поправки войдут все волны двойной частоты по отношению к каждой компоненте первого порядка и, сверх того, все волны суммарных и разностных частот для каждой пары гармонических компонент исходной волны.

Как интересный частный случай рассмотрим демодуляцию модулированной волны первого порядка, осуществляемую в ква­ дратичной поправке. Пусть, например, волна первого прибли­

-f -Y ^PQsin [(® — Q) t — (k — К) а].

Согласно найденному,, выше квадратичная поправка будет содержать частоты

2со, 2 (со -{- й), 2 (со — й), 2со + й, 2со — й, 2Й, й.

Слагаемое с частотой й имеет вид

Р(п) = -у- V-plGKa sin (й* — Kd).

42$

Таким образом, нелинейный характер распространения приводит к созданию волны модулирующей частоты в числе гармонических компонент квадратичной поправки, аналогично тому, как детек­ тирование из гармонически модулированного колебания создает гармоническое колебание модулирующей частоты. Этот процесс можно называть акустическим детектированием,

§ 127, Затухание волн конечной амплитуды, обусловленное нелинейностью

Для волн конечной амплитуды распространение сопрово­ ждается затуханием, не связанным с поглощением энергии, а обусловленным переходом части энергии исходной волны в волну квадратичной поправки. Принятый нами метод расчета квадра­ тичной поправки не позволяет найти это затухание непосред­ ственно. С таким же положением вещей мы встречались в вопросе о затухании волны, распространяющейся в слабо рассеивающей среде и теряющей свою энергию на создание рассеянных волн. Как в задаче о рассеянии, так и в задаче о распространении волн конечной амплитуды метод малых возмущений позволяет (со всеми оговорками о малости эффекта рассеяния или соответственно нели­ нейности) найти с достаточной точностью добавочное поле, но он совершенно не учитывает обратного воздействия возникающих волн на исходную волну, которое и приводит к ее затуханию. В задаче о рассеянии мы все же нашли искомое затухание, при­ менив закон сохранения энергии: суммарная энергия падающей и рассеянной волн должна была оставаться постоянной. Анало­ гичный прием применим и в задаче о нелинейности: в отсут­ ствие поглощения энергия волны квадратичной поправки в сумме с энергией волны первого приближения должна сохраняться.

Рассмотрим в качестве волны первого приближения бегущую плоскую волну, излучаемую поршнем, создающим в данной точке а = 0 гармоническое давление р 0 sin cat. В этом случае амплитуда второй гармоники оказывается, согласно (125.8),

равной ЧzPoGka. Плотность потока мощности этой волны про­ порциональна квадрату ее амплитуды l^lzp2Gka)2. Значит, эта

величина вычтется из плотности потока мощностищсходной волны, пропорционального квадрату исходной амплитуды Рц. Остав­ шаяся плотность потока мощности пропорциональна р\ [1 —

— (VzPoGka)2]. Извлекая корень квадратный из этой величины, найдем амплитуду исходной волны, уменьшившуюся вследствие затухания. Ввиду предположенной малости амплитуды второй гармоники по сравнению с амплитудой исходной волны имеем

424

где N ■— расстояние от излучателя, выраженное в длинах исход? ной волны.

Таким образом, уменьшение амплитуды пропорционально квадрату пути, пройденного волной: по мере нарастания второй Гармоники энергия отбирается от первой гармоники и передается второй гармонике все быстрее и быстрее. В этом принципиальное отличие хода нелинейного затухания от затухания, вызванного поглощением энергии в среде или рассеянием на малых неодно­ родностях, для которых затухание не зави­ сит от амплитуды исходной волны и пропор­ ционально длине пути, пройденного вол­ ной. Нелинейное же затухание оказывается пропорциональным теперь квадрату ам­ плитуды и квадрату длины пройденного пути (напоминаем, что все сказанное отно­ сится только к начальным участкам рас­ пространения, когда при расчете квадра­ тичной поправки еще можно считать ам­ плитуду исходной волны неизменной и, исходя из полученного результата, рассчиты­ вать уменьшение амплитуды).

На рис. 127.1^ даны примерные графики начального хода затухания амплитуды вол­ ны, вызванногскнелинейностью (парабола а) и линейным поглощением или рассеянием (экспонента б). Ясно, что уменьшение ампли­

туды волны, обусловленное нелинейностью, нельзя охарактери­ зовать коэффициентом затухания.

В разобранном случае задача состояла в нахождении простран­ ственного нелинейного затухания. В другой постановке задачи*

во вторую гармонику амплитуда будет уменьшаться с течением времени по закону

Р = ро [ 1 ---- gl -PlG2И ) 2] = ро ( 1 ---- Y n2p2QG2N2) ,

где N — протекшее время, выраженное в периодах волны. Нелинейность не только вызывает переход энергии из волны

в ее квадратичную гармонику, что не связано с уменьшением суммарной акустической энергии; она вызывает и ускоренное поглощение звуковой энергии и переход ее в тепло. В самом деле, во всякой реальной среде имеется поглощение звуковой энергии*

425

и, как правило, чем выше частота, тем это поглощение проис­ ходит быстрее. Значит, энергия, переходящая из данной волны в ее гармонику, будет поглощена в среде быстрее, чем она погло­ щалась бы, оставаясь в волне основной частоты.

§ 128, О нелинейных поправках высших порядков

Учет квадратичной поправки — это по существу учет второго члена в разложении решения точных уравнений гидродинамики по малому параметру — числу Маха. На начальных стадиях про­ цесса (например, на малых расстояниях от излучателя), когда квадратичная поправка еще мала, сумма первого приближения и квадратичной поправки еще достаточно хорошо описывает точное решение, но на большом расстоянии от излучателя расчет с точностью до квадрата числа Маха уже делается недостаточно точным и следует учесть следующий член разложения, пропор­ циональный кубу числа Маха, затем член с М* и т. д.

Физически это значит, что по мере распространения в волне будут появляться компоненты все новых частот — спектр волны будет обогащаться. При этом волны высших порядков будут

вого и второго порядка (что даст третью гармонику исходной волны как волну суммарной частоты), первого, и третьего порядка

и т. д. Появятся также составляющие волн высших порядков,, обязанные тройному нелинейному взаимодействию между уже образовавшимися гармониками, например, шестая гармоника — как результат взаимодействия второй и третьей гармоник и исход­ ной волны. Все это приведет к тому, что энергия будет постепенно перетекать из исходной гармоники и гармоник низших порядков во все более и более высокие гармоники.

Создание новых гармоник качественно можно представить себе так же, как и создание второйгармоники. Уравнение для гармоники какого-либо номера можно будет записать как урав­ нение для линейной среды, но с правой частью, в которой будут стоять степени и произведения гармоник низших порядков. Правую часть можно будет рассматривать как сторонние воздей­ ствия: распределенные источники объемной скорости или источ­ ники силы, излучение которых и создает данную гармонику. Нарастание гармоник будет иметь такой же резонансный харак­ тер, как и для второй гармоники. Практически расчет после­ довательных приближений делается громоздким уже при вычисле­ нии третьей гармоники. Поэтому для вычисления поля на таком расстоянии, когда волна уже сильно изменила свою форму, пользуются другими методами и находят изменяющуюся форму волны непосредственно, не вычисляя, как нарастают гармоники.

426

Конечно, и при учете гармоник высших порядков нельзя рассчитывать волну на сколь угодно времени вперед или для лю­ бого расстояния от излучателя. Начиная с некоторого момента времени (или с какого-то расстояния) расчетный ряд гармоник перестает сходиться. Во всяком случае этот способ непригоден незадолго до образования разрыва и после его образования.

§129, Распространение плоской волны конечной амплитуды в среде с дисперсией скорости

Наличие дисперсии в среде сильно влияет на распространение волн конечной амплитуды. Начнем с гармонической волны в каче­ стве волны первого порядка. По-прежнему можно написать урав­ нение поправки как уравнение в линейной среде с наличием сто­ ронних источников. Скорость бега пространственного распределе­ ния сторонних источников — это скорость исходной волны. Скорость же бега второй гармоники вследствие дисперсии отли­ чается от этой скорости. Поэтому при распространении фаза стороннего воздействия и фаза второй гармоники будут расхо­ диться между собой, вместо того чтобы оставаться в неизменном соотношении, как это имело место в отсутствие дисперсии. В ре­ зультате такой расфазировки перекачка энергии из первой гар­ моники во вторую начнет замедляться, прекратится, а затем и переменит знак, так что энергия начнет возвращаться из вто­ рой гармоники в первую и полностью вернется в первую гармо­ нику. Вековой член в решении будет отсутствовать.

При дальнейшем распространении волны этот цикл сможет повториться многократно. При достаточной величине дисперсии может оказаться, что амплитуда второй гармоники за все время цикла будет оставаться малой по сравнению с амплитудой первой гармоники. Тогда практически не будет ограничения во времени распространения или- в пути пробега волны, на котором допу­ стимо пользоваться приближением, учитывающим только ква­ дратичную поправку.

Проиллюстрируем сказанное расчетом, Пусть скорость звука для частоты первой гармоники равна с. Волну первого порядка

где с — скорость второй гармоники. Как увидим, с соответствует, в зависимости от акустической ситуации, либо частоте, либо длине волны второй гармоники, т. е. либо двойной частоте, либо двой: ному волновому числу первой гармоники. Правая часть урав­ нения (129.2) не удовлетворяет однородному уравнению, так как при наличии дисперсии двойной частоте не соответствует двойное

427

волновое число. Поэтому резонансных явлений при распростра­ нении волны не будет.

должна иметь пространственную периодичность, равную про­ странственной периодичности стороннего воздействия, т. е. по­

правка есть гармоника с волновым числом 2k. Так как скорость с волны с волновым числом 2k не равна скорости волны с волно­

вым числом k, то и частота со = с-2k этой волны не равна 2<о. Искомое решение можно записать как сумму частного решения уравнения (129.2) («вынужденная волна») и решения однородного уравнения («свободная волна»), подобранного так, чтобы удо­ влетворить начальному условию. Частное решение можно выбрать в виде

РІ = А cos (2at — 2kä).

Подставляя в (129.2), найдем

«Свободная волна» с тем же волновым числом имеет вид

р2 = В cos (со/ — 2ka).

Для того чтобы в начальный момент сумма обоих решений рав­ нялась нулю, достаточно положить В = —А .

Таким образом, после элементарного преобразования найдем искомое решение в виде

Временная зависимость решения представляет собой картину биений: векового члена действительно нет. Амплитуда второй

затем начинает убывать и наконец совсем исчезает, после чего весь цикл повторяется снова и снова. Полный период биений равен

2я

I ( c ö / 2 ) — со I '

Этот расчет пригоден только для случая малости максимальной амплитуды второй гармоники по сравнению с амплитудойТпервой гармоники, т. е. при достаточно большой дисперсии. Тогда можно пренебрегать малым изменением амплитуды первой гармо­ ники на всем протяжении цикла биений, а также влиянием nonpa­

r s

вок порядка выше второго при распространении волны в течение многих циклов.

Начальный участок нарастания второй гармоники имитирует линейное нарастание амплитуды векового члена, и при малой дис­ персии амплитуда ее может достигнуть большой величины, что обозначит неприменимость расчета. При предельном переходе

котсутствию дисперсии найденное решение переходит в (125.5). Аналогичный расчет легко провести и при задании синусои­

дального давления в некоторой точке. В этом случае заданной является временная периодичность стороннего воздействия, рав­ ная двойной частоте колебаний поршня 2со. Но соответственное волновое число при этом не будет равно 2k, а должно быть полу­

чено как k = 2ш/с, где с — скорость волны частоты 2©. Тем же способом, что и выше, найдем решение:

ные. Максимальное значение амплитуды второй гармоники равно

(φε/2)2

РІО I (Â/2)2 — h? \ '

Длина одного цикла биений есть

2л \(k/2)-k\ ‘

Наличие дисперсии объясняет, почему не образуются «удар­ ные волны», «скачки» в волнах на морской поверхности, хотя их нельзя считать волнами бесконечно малой амплитуды, и вообще почему в таких волнах можно пренебрегать накоплением нелиней­ ного эффекта.

Дисперсия морских волн выражается соотношением и 2 = gk, где g — ускорение силы тяжести. Расфазировка волн двойной частоты с волной первого порядка приводит к сдвигу фаз на пол­ волны уже на расстоянии одной четверти волны. Практически перехода энергии в высокие гармоники нет *).

Дисперсией звука можно объяснить сравнительно малое ослаб­ ление звука при его распространении в верхних слоях атмо­ сферы на расстояния в десятки тысяч километров, наблюдающееся после взрывов искусственных (атомные взрьюы) или естественных (вулканический взрыв о-ва Кракатау). Звуки таких взрывов оказываются захваченными атмосферным волноводом — областью минимальной скорости звука, расположенной в высоких слоях

*) Однако на мелководье (например, в устьях рек, куда заходят морские при­ ливы), где дисперсия отсутствует, нелинейный эффект накапливается и, в част­ ности, приводит к явлению боры типа ударной волны.

429