книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

тату § 14 о независимости скорости звука от давления газа. Дело в том, что в § 14 газ рассматривался при разном давлении, но при одной и той же температуре. Здесь же, в волне, газ ока­ зывается сжатым адиабатически и его температура, а вместе с тем и скорость малых возмущений растет с давлением.

Выполним в интеграле (122.1) замену переменной интегри­ рования, принимая за новую переменную скорость малого воз­ мущения с. Из (122.3) имеем:

С О

откуда с = с0 + V (у — 1)/2. Это есть скорость малого возму­ щения, распространяющегося поверх волны конечной ампли­ туды, имеющей в данной точке звуковое давление р — Р — Р 0. ■Скорость же ординаты профиля с этим давлением равна, согласно ■сказанному выше,

Таким образом, профиль волны конечной амплитуды в идеаль­ ном газе изменяется при распространении волны по закону

Зная зависимость с и и от р, можем строить изменяющийся профиль волны по мере ее распространения. Каждая точка про­ филя переносится за время t на расстояние (с + v) t (для идеаль­ ного газа — на расстояние с0 [1 + М (у + 1)/2] f). Построение нового профиля по старому показано на рис. 122.1. Профиль меняется так, что участки с большим давлением обгоняют участки с меньшим давлением. Отсюда следует, в частности, что приве­ денный выше расчет не может применяться неограниченно: крутизна переднего склона фронта будет все время нарастать, и, как показывает рис. 1 2 2 .1 , если продолжать построение, то получится неоднозначность давления вблизи переднего фронта волны.

В действительности, конечно, неоднозначности не получается; образуется скачок давления на переднем фронте. Начиная с этого момента обычные уравнения гидродинамики идеальной жидкости

410

делаются неприменимыми: необходимо учитывать поглощение, особенно большое вблизи фронта ввиду больших градиентов скорости и температуры. При больших числах Маха и этого ока­ зывается недостаточно и приходится переходить к молекулярно­ кинетическим представлениям. В газе ширина области скачка, где неприменимы уравнения гидродинамики, оказывается для больших чисел Маха по порядку величины равной длине свобод-- ного пробега молекул. Скачок вызывает большое поглощение акустической энергии, приводящее к быстрому затуханию вол­ ны после образования скачка.

Выражение (122.2) можно представить в виде

р = р {х — С0*) — (с — С0 + ѵ) tpx (х — С0*) (122.6)

(частные производные будем обозначать в этой главе соответ­ ственными индексами). Волна конечной амплитуды оказывается в этом приближении представленной в виде суммы двух членов: волны малой амплитуды р' — р {х — с0*) с формой профиля, соответствующей начальному моменту времени (относительная амплитуда равна числу Маха) и распространяющейся по законам линейной акустики, и добавочной волны с амплитудой, пропор­ циональной квадрату числа Маха:

Р "= — (с — c0-\-v)tpx (x — с0і) = — (с — с0 4~ ѵ) tpt (х — с0*).

° 0

Этот добавочный член называют поэтому квадратичной поправкой к члену первого порядка — решению р' линеаризованного урав­ нения. Квадратичная поправка является в данном случае веко­ вым членом в решении: она нарастает пропорционально прошед­ шему времени. Пока квадратичная поправка мала, она достаточно хорошо представляет изменение профиля волны конечной ампли­ туды. Ясно, что данное решение в виде суммы линейного решения и квадратичной поправки может годиться только на начальном

411

этапе распространения волны: рост векового члена приведет к тому, что выбранное приближение станет с течением времени непри­ менимым.

Квадратичную добавку удобно переписать иначе. Для малых чисел Маха приближенно

Нуль в индексе при производных означает, что производные берутся в точке р = 0 .

§ 123. Нахождение квадратичной поправки методом малых возмущений

Точные решения нелинейных уравнений удается получить только в малом числе случаев. Случай плоской бегущей волны, рассмотренный в предыдущем параграфе, — один из немногих примеров такого решения. Зная точное решение, конечно, легко получить и приближенное (например, квадратичную поправку), как это также было показано в предыдущем параграфе. Но в дру­ гих случаях точные решения не найдены и приходится ограни­ чиваться приближенными решениями.

Если число Маха мало по сравнению с единицей и если волну рассматривают в течение не слишком долгого времени или на не слишком большом участке ее распространения, то можно учесть нелинейность путем введения малой поправки к решению линеаризованного уравнения, отыскивая поправку методом малых возмущений. Для этого как члены в точном уравнении, так и иско­ мое решение представляют в виде ряда по степеням малого пара­ метра — числа Маха — и, разделяя в уравнениях члены разных порядков, отыскивают последовательные члены решения. Следует иметь в виду, что в воздухе число Маха не превышает 0,0015 даже для болевого порога, поэтому число Маха действительно можно считать в ряде случаев малым параметром задачи.

В дальнейшем мы будем ограничиваться нахождением только второго члена — квадратичной поправки к решению линеаризо­ ванных уравнений. Вообще говоря, нахождение последователь­ ных членов разложения сводится к решению линейных задач: к нахождению звукового поля в линейном приближении, вызван­ ного сторонними источниками звука (сторонними объемными скоростями и сторонними силами), определяемыми предыдущими членами разложения. В первом приближении метода малых воз­ мущений, когда помимо линейных членов удерживаются только члены второго порядка по числу Маха, сторонние источники опре­

412 ■

деляются квадратами и произведениями величин первого при­ ближения. Получающаяся квадратичная поправка обычно дает указание и на поведение волны в высших приближениях: пока поправка остается малой по сравнению с членом первого по­ рядка, высшими членами разложения можно, как правило, пренебрегать.

Формально нахождение квадратичной поправки аналогично методу определения рассеянного поля в среде со слабыми неодно­ родностями (см. § 114). В обоих случаях нахождение дополни­ тельного поля (нелинейной поправки — в одном случае и рассе­ янного поля — в другом) заменяется нахождением поля в линей­ ной (соответственно однородной) среде, создаваемого сторонними источниками звука, зависящими от исходного поля.

В обоих случаях поправка мала, но накапливается, и поэтому рано или поздно эффект делается велик и расчет перестает быть применимым. Но при рассеянии на статистических неоднород­ ностях фазы рассеянных волн случайны и нарастание поправки происходит медленно — пропорционально корню квадратному из времени распространения или из длины пробега волны. В нели­ нейном же эффекте добавочные поля складываются в фазе друг с другом и поправка растет быстрее: пропорционально самому времени или длине пробега. Поэтому время или длина пробега, для которых метод малых возмущений применим, в нелинейных задачах меньше, чем в задачах о рассеянии.

Встречаются различные акустические ситуации, в которых задачу о нахождении квадратичной поправки к заданному полю первого порядка приходится ставить по-разному. Так, может ока­ заться, что задано поле в некоторый момент времени t0. Тогда это поле можно принять за поле первого порядка, полагая поле второго порядка в начальный момент равным нулю, и искать, как оно меняется с течением времени.

В другой постановке может быть задано давление, создаваемое на поверхности излучателя звука (например, колеблющегося поршня). Тогда поле, создаваемое на излучателе, взятое в ли­ нейном приближении, можно принять за поле первого порядка, а квадратичную поправку к давлению принять на поверхности поршня равной нулю; задача будет состоять в этом случае в нахо­ ждении поправки к давлению во всем остальном пространстве. Заметим, что в этой задаче квадратичная поправка к смещению поршня уже не равна нулю.

В третьей постановке задачи можно принять за величину пер­ вого порядка заданное смещение поршня, так что квадратичную поправку к смещению на поршне следует принять равной нулю. Задача в этом случае состоит в отыскании поправки к давлению, определенному по линейной теории, во всем пространстве, в том числе и на самой поверхности поршня, где квадратичная поправка к давлению, рассчитанному по линейной теории, не будет равна нулю. Возможны и другие варианты постановки задачи.

413

§ 124. Квадратичная поправка в плоской волне

Простейшая задача нелинейной акустики — нахождение ква­ дратичной поправки для плоской волны. Для этого удобно поль­ зоваться лагранжевыми координатами. Дело в том, что граница жидкости (например, свободная граница) задается фиксирован­ ным значением лагранжевой координаты независимо от того, применяем мы линеаризацию или пользуемся точными уравне­ ниями. В эйлеровых же координатах при учете квадратичной поправки следует относить граничное условие к переменному значению координаты, учитывая смещение границы, имеющее порядок, как мы видели в § 41, как раз тех квадратичных величин в уравнениях, которыми мы раньше пренебрегали.

Напишем раньше всего точные уравнения для одномерной задачи в лагранжевых координатах. Масса элемента среды, за­ ключенного между плоскостями а и а -f- da, равна р0da, где р0 — невозмущенная плотность среды. Давления на плоскостях, огра­ ничивающих элемент, равны соответственно р и р + pada\ значит, результирующая сила, действующая на данный элемент, равна

Точное уравнение движения оказалось линейным.

Длина данного элемента, в невозмущенном состоянии рав­

Уравнение сохранения массы оказалось нелинейным. Наконец, уравнение состояния даст (нелинейную) зависимость плотности от давления

Р = Р (р)

(мы предполагаем, как обычно, что плотность среды зависит только от давления в данной точке). .

Теперь напишем приближенные уравнения, разлагая точные значения звукового давления р, смещения £ и приращения плот­ ности р — р0 в ряд по степеням числа Маха (или другой величины, пропорциональной числу Маха) и ограничиваясь членами первого порядка (линейное приближение) и второго порядка

414

чать одним штрихом, а квадратичные— двумя. Очевидно, урав­ нения можно будет написать отдельно для линейных и отдельно для квадратичных величин.

Итак, Пусть

В уравнении состояния напишем изменение плотности в виде ряда по степеням давления и, опуская члены третьего порядка, ограничимся первыми двумя слагаемыми:

Подставляя (124.3) и (124.4) в уравнения (124.1) и (124.2), разделяя в этих уравнениях члены первого и второго порядков и опуская члены высших порядков, найдем следующие полные системы уравнений для величин первого и второго порядков:

роіп + Р а = о,

Ро£и -\~ Р а = О,

в каждой из систем (124.6) и (124.7) первое уравнение один раз по координате, второе и третье — дважды по времени и вычитая первое из суммы последних. Для давления первого порядка полу-

415

чится обычное волновое уравнение в одном измерении, написан­ ное в лагранжевых координатах:

Для давления второго порядка придем, пользуясь также по­ следним уравнением (124.6), к уравнению

личия между записью в лагранжевых и в эйлеровых координа­ тах и, например, не различать решения в виде бегущей волны вида р (і — а/с0) и р (t — х/с0) соответственно. Но теперь, когда нас интересует и второй порядок величин, различие следует учитывать и, переходя от лагранжевых к эйлеровым координа­ там, нельзя в выражении для волны просто заменить а на х, а необходимо еще ввести поправку второго порядка. Конечно, выбор в качестве первого приближения решения волнового урав­ нения, написанного в лагранжевых координатах, не обязателен; за первое приближение можно было бы принять (в случае бегущей волны) не р ( t — а/со), а р ( t — х/с0). Но соответственно при­ шлось бы изменить и квадратичную поправку; сумма поправоч­ ного члена с линейным решением должна в обоих случаях дать одну и ту же величину с точностью до членов высшего порядка малости.

Так как лагранжева (а) и эйлерова (х) координаты частиц связаны соотношением

X = а + £,

то волну первого порядка, заданную в лагранжевых координатах, можно с точностью до второго порядка малости выразить сле­ дующим образом в эйлеровых координатах:

Для бегущих волн полученные формулы преобразования коор­ динат можно записать в следующем виде:

р (t — а/с) = p \ t — х/с) — Ір'х (t — х/с) =

= Р (t — х/с) + (1/с) p't (t — х/с), ■

р (t — х/с) = р (t — а/с) + Ip'a (t — а/с) =

= p' (і — а/с) — (l/c) p't (t — a/c).

416

В уравнении же (124.9) и в его решениях можно считать, что а обозначает либо лагранжеву, либо эйлерову координату, без­ различно: разница будет иметь третий порядок малости, которым мы условились пренебрегать.

Для идеального газа коэффициент нелинейности легко найти из уравнения адиабатического процесса:

Значит, ,в точке р = О

и, подставляя в (124.10), найдем для идеального газа:

Из выражения (124.10) можно сделать некоторые количест­ венные заключения о сравнительной величине квадратичной поправки к давлению первого порядка для разных сред. В самом деле, из (124.9) следует, что должна иметь место пропорциональ­ ность

и меняется при переходе от среды к среде (какова бы ни была среда — твердая, жидкая или газообразная) всего в несколько

раз. Сжимаемость нее ßo = 1/роСо меняется сильно — на несколько порядков при переходе от газа к жидкости и от жидкости к твер­ дому телу. Значит, при данном давлении первого порядка р' квадратичная поправка р" будет практически пропорциональна сжимаемости среды: велика для газов, меньше для жидкостей и еще меньше для твердых тел. Если же задаваться при сравне­ нии различных веществ не давлением, а числом Маха, равным

р'/роСо, то окажется, что отношение амплитуд квадратичной по­ правки и основной волны для всех сред практически имеет оди­ наковый порядок.

Уравнение (124.9) для квадратичной поправки можно интер­ претировать как уравнение линейной акустики при наличии в среде сторонних воздействий, характеризуемых правой частью урав-

нения. Именно, правая часть соответствует сторонним источникам звука с объемными скоростями, распределенными с плотностью

Ѵ = + ^ ( ^ ) о ] (p,S,' =

Поэтому можно заменить задачу о нахождении нелинейной квадратичной поправки линейной задачей о поле монопольных источников, распределенных по закону (124.13).

В некоторых случаях ставится задача о нахождении квадра­ тичной поправки не к давлению, а к смещению частиц или к сте­ пени сжатия среды. Соответственные уравнения можно получить по-прежнему из полной системы уравнений (124.6) и (124.7),

ивторого порядков: для смещения

для приращения плотности

»2 '

Р U — С о Р а а = О,

(124.15)

РIt — СоРаа

§125. Квадратичная поправка для бегущей

плоской волны

Будем искать квадратичную поправку для бегущей плоской волны при различных акустических ситуациях. Для бегущей волны правая часть уравнения (124.9) всегда является решением этого же уравнения без правой части:

Это уравнение можно интерпретировать как одномерное уравне­ ние линейной акустики при действии на среду сторонних сил, распределенных с объемной плотностью

Таким образом, для бегущей плоской волны квадратичную поправку можно рассматривать как результат действия в линей­

418

ной среде либо сторонних источников объемной скорости (124.13), либо сторонних сил (125.2). Для произвольной одномерной волны возможна только первая интерпретация. В различных случаях бывает удобно пользоваться либо одной, либо другой интерпре­ тацией.

Рассмотрим сначала ситуацию, в которой в начальный мо­ мент t = 0 задано:

p' = p' (t + а/с0); р" = 0.

Квадратичная поправка в данном случае — это частное решение (124.9), которое, в начальный момент обращается в нуль. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что таким решением является нарастающая волна

Поправка оказывается вековым членом, потому что правая часть уравнения для поправки является решением однородного урав­ нения. В этом отношении явление сходно с процессом раскачки резонатора сторонней силой резонансной частоты. В данном случае совпадают не только частоты, как в задаче о резонаторе, но и скорости распространения стороннего воздействия и созда­ ваемой этим воздействием волны, которая и является квадратич­ ной поправкой: фазовые соотношения между волной и сторонним воздействием все время сохраняются и над возникающей волной все время производится работа одного истого же знака, что и приводит к нарастанию поправки.

Для волны синусоидального типа

В каждый момент времени t > 0 квадратичная поправка — это синусоидальная же волна, но с длиной волны, равной половине длины волны в исходном звуковом поле. Временная зависимость давления в каждой точке — не синусоидальная. Имеет смысл, применяя неточную, но ходовую терминологию, называть ква­ дратичную поправку гармонической волной двойной частоты или второй гармоникой исходной волны, приписывая ей «пере­ менную амплитуду» (1/2) p\G®t, растущую пропорционально вре­

мени. Исходную волну удобно называть первой гармоникой. Такая трактовка имеет смысл только в том случае, когда нара­ стание амплитуды за один период мало по сравнению с самой амплитудой, т. е. при со/ > 1.