книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

ваемая как адиабатическим изменением температуры при сжатиях и разрежениях, так и выравниванием создающихся при этом раз­ ностей температур. При в точности изотермическом или адиаба­ тическом процессах было бы sq = 0. Изменение температуры в ре­ зультате теплоизлучения при постоянном сжатии определяется уравнением

чение Т в начальный момент времени. Таким образом, физический смысл т — время, в течение которого данное отклонение темпера­ туры тела от средней температуры убывает вследствие теплоизлу­ чения в е раз.

При адиабатическом процессе р = ys/ß, откуда Тв — (у —

—1 ) siа.

Значит, при наличии и сжатия, и теплоизлучения температура будет определяться уравнением

Умножая на а/ß, получим уравнение для динамической добавки к давлению:

Обратимся к гармонической звуковой волне. Вначале рас­ смотрим предельные случаи «большой» и «малой» частоты. Для этого удобно переписать (120.4) в виде

д ( Т - Т в а ) = _ т _

400

к адиабатическому. Тогда в правой части последнего равенства можно приближенно положить Т = Тад. Интегрируя, найдем

Динамическая добавка к давлению, следовательно, равна

Суммарное упругое давление равно p = y s/ß : эффективная сжи­ маемость принимает адиабатическое значение и, значит, скорость звука лапласова. Так как она соответствует предельно высоким частотам, будем обозначать эту скорость буквой ст . Коэффициент затухания найдем по формуле (119.3), подставляя в нее динами­ ческое значение амплитуды упругого давления:

Замечательно, что коэффициент затухания для высоких частот не зависит от частоты: картина такая же, как и для внешнего тре­

к изотермическому. Левая часть в уравнении (120.4) мала по сравне­ нию с каждым слагаемым правой части и можно приближенно положить Т = —ш т7 \д. Упругая компонента динамического дав­ ления в этом приближении отсутствует, так что скорость звука ньютонова. Так как она соответствует предельно низким частотам, будем обозначать ее буквой с0. Диссипативное давление равно q = а 77ß = —шт (у — 1) рст. Отсюда находим коэффициент за­ тухания:

как и для вязкости, т. е. на низких частотах поглощение звука «нормальное». Действие теплоизлучения можно интерпретировать для низких частот как наличие некоторой объемной вязкости

с эффективным коэффициентом вязкости £эфф = ртсо (у — 1 ). Полученные выражения для коэффициентов поглощения и эф­

фективных коэффициентов вязкости удобно выразить через пре­

401

= crä — Со при переходе от малых к высоким частотам и с време­ нем релаксации т. Эффект теплоизлучения приводит к «аномаль­ ному» поглощению: квадратичный закон затухания имеет место только на низких частотах, переходя к «насыщению» на высоких частотах.

Теперь, не ограничиваясь более предельными случаями, вы­ ясним, как происходит переход от нормального к аномальному поглощению, т. е. найдем закон изменения поглощения и скорости

Динамическая добавка к упругому давлению оказывается равной

Таким образом, скорость звука при частоте со определится из равенства

402

Согласно (119.3) (причем следует учесть добавку р')

(у — 1) С02Т іА(1 + ш2т2)/( 1 у со2т2) 2с0 (1 + у со 2та)

С02Т (1 + м 2т 2) 1/2 (сі — Со)

( 120. 12)

2co(l + ( ö 2r 2C2J c l f ß

Из этой формулы непосредственно получаются и предельные зна­ чения-поглощения для высоких и низких частот, найденные выше.

Из уравнения (120.10) найдем относительный скачок квадрата

График этой функции показан на рис. 120.1. Это — универсальный

график, не зависящий от величины cL — со. Зависимость коэф­ фициента поглощения от сот не удается представить в таком же простом виде. Может оказаться удобным представление

Мы видим, что механизм потерь путем теплоизлучения сопро­ вождается дисперсией скорости звука. Можно доказать, что любой механизм поглощения сопровождается дисперсией. Но, как можно показать, и вязкость, и теплопроводность приводят к диспер­ сии в той частотной области (высокие частоты), где распростране­ ние звука уже прекращается вследствие большого затухания и поэтому практически не наблюдается. В механизме же теплоизлу­ чения и в других релаксационных механизмах затухание может оказаться еще умеренным во всей частотной области, где имеет место заметная дисперсия скорости.

403

Механизм теплоизлучения — простейший пример целого ряда сходных друг с другом механизмов поглощения — так называе­ мых релаксационных механизмов. Общей чертой всех этих меха­ низмов является то, что динамическая добавка р' + q к давлению при фиксированном сжатии спадает — «релаксирует» с течением времени, например, по экспонёнциальному закону

где т — время релаксации. Изменение же сжатия вызывает про­ порциональное изменение динамического давления, так что в аку­ стической волне динамическая добавка к статическому давлению удовлетворяет, как и для теплоизлучения, уравнению

где ß — некоторая константа вещества. Это уравнение совпадает

с (120.5), если положить ß = ß/(y — 1). С учетом этой замены сов­ падут и дальнейшие расчеты. В частности, для произвольного релаксационного процесса с экспоненциальным законом релакса­ ции имеют место полученные для релаксационного процесса ча­ стного вида (теплоизлучение) формулы (120.8)—(120.14), выра­ жающие дисперсию и поглощение звука через предельные низко­ частотные и высокочастотные значения скорости звука и время релаксации; остается в силе и график рис. 1 2 0 . 1 .

Рассмотрим, наконец, механизм поглощения, обусловленный теплопроводностью, причем будем считать, что, как это и имеет место в действительности, до самых высоких частот выравнивание температур незначительно: процесс квазиадиабатический. Общее уравнение изменения температуры в этом случае должно учи­ тывать адиабатическое нагревание и эффект теплопроводности при постоянном сжатии. Уравнение теплопроводности для пло­ ской волны

__И_ 52Г

d t рсу дх-

заменяет в этом случае уравнение теплоизлучения. Общее уравне­ ние принимает, следовательно, вид

Так как процесс квазиадиабатичен, то приближенно

404

Следовательно, вещественная добавка к давлению равна p' — = (Y — 1 ) s/ß, а диссипативное давление равно

Вещественная добавка к давлению получается такого же вида„ как при теплоизлучении на высоких частотах; значит, скорость распространёния при не слишком высоких частотах лапласова.

Затухание определится все по той же формуле (119.3)

Зависимости затухания от частоты, плотности и скорости звука — такие же, как и для вязкого механизма потерь (см. (1 2 0 .2 )). В этом отношении влияние вязкости и теплопроводности на за­ тухание звука неразличимы. Совместно эти два механизма при­ водят к суммарному коэффициенту затухания вида

В газах механизмы вязкости и теплопроводности вносят при­ мерно одинаковый вклад в поглощение звука. В жидкостях глав­ ную роль играет вязкость; исключением является ртуть, обладаю­ щая большой теплопроводностью при сравнительно малой вяз­ кости.

Мы показали, как, пользуясь индикаторными диаграммами, рассчитать коэффициент поглощения гармонической волны. Можнонайти коэффициент поглощения и по другому пути, внося в обыч­ ную систему акустических уравнений дополнительно диссипатив­ ные силы. Оказывается, что это равносильно введению комплекс­ ной плотности или комплексной сжимаемости. В самом деле, рассмотрим например случай внешнего трения. Внешнее трение дает дополнительную силу, действующую на частицу, поэтому придется внести дополнительный член в уравнение движения. Рассмотрим для простоты одномерную задачу. Вместо обычного уравнения движения теперь придется написать

Но это уравнение можно переписать в обычном виде, если учесть,.

405-

Г Л А В А XIII

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ

§121. Волны конечной амплитуды

Вгл. II мы показали, что точные уравнения гидродинамики'

иуравнение состояния нелинейны, и перешли от них к линейным

уравнениям акустики, отбрасывая в уравнениях члены, содер­ жащие квадраты и произведения величин первых порядков (да­ вление, скорость, сжатие). Для плоских волн отбрасываемые члены относились к сохраняемым как М : 1, где М = ѵіс = ßp —■ число Маха. Ошибка в решениях при пренебрежении нелиней­ ностью тем меньше, чем меньше число Маха. Однако, как правило, эта ошибка накапливается*), и поэтому при любом значении № звуковая волна по мере распространения постепенно искажается по сравнению с волной, изображаемой решением линейногоуравнения. Для очень малых М звуковая волна может зату­ хнуть прежде, чем произойдет заметное искажение. Но скорость накопления ошибки растет вместе с амплитудой волны, в то время как скорость затухания остается неизменной. Поэтому, начиная с некоторых значений числа Маха, искажение волны станет суще­ ственным даже при наличии поглощения. В таких случаях гово­ рят о волне конечной амплитуды, в то время как при возможности пренебрежения нелинейными эффектами говорят о волне беско­ нечно малой амплитуды.

О количественной стороне нелинейного искажения можносудить по такому примеру. Для того чтобы нелинейное искаже­ ние плоской волны частоты 1 0 0 0 гц составило по амплитуде 1 % от амплитуды волны, рассчитанной по линейной теории, рас­ стояние, которое должна пробежать волна, составит: на пороге слышимости 3000 км; на уровне звука, соответствующем громкой речи с расстояния 1 м, — 1 км; на уровне звука, соответствующем болевому порогу, — 1 м (цифры даны без учета затухания). Для расходящихся волн расстояния получились бы во много раз большими. При обычной интенсивности звуков речи или музыки нелинейные искажения еще очень малы: нелинейные искажения восприятия, вносимые слуховым органом человека, значительно

407

высокой интенсивности — при звуках выстрелов, взрывов, реактивных струй, при обтекании сверхзвуковых самолетов, в мощном ультразвуке, используемом в технологических про­ цессах, — нелинейные эффекты сильны.

При числах Маха порядка единицы или больших единицы линеаризованные уравнения совсем непригодны для описания волн. Непригодны они и в случаях, когда распространение волны, даже при небольших числах Маха, прослеживается на большом расстоянии или в течение долгого времени. Если нелинейные искажения велики, то приходится совсем отказываться от линеа­ ризации уравнений и искать решения исходных нелинейных уравнений. При малой нелинейности можно ограничиться по­ правками к решению линеаризованных уравнений. Первый слу­ чай более труден и получить требуемое решение удается только в простейших случаях. Один такой случай рассмотрим в следу­ ющем параграфе. Во всей главе не будем учитывать поглощение.

§ 122. Плоская бегущая волна конечной амплитуды (точное решение)

Приведем точное решение задачи о плоской бегущей волне конечной амплитуды. В отличие от линеаризованной задачи, профиль волны конечной амплитуды изменяется при распростра­ нении. Поэтому для такой волны неприменимо понятие скорости волны, в котором профиль волны считается перемещающимся как твердое тело. Оказывается, однако, что каждая точка профиля бегущей плоской волны, т. е. место с определенным значением звукового давления, перемещается при распространении волны с постоянной скоростью; при этом скорость различна для разных значений давления — тем больше, чем больше давление. Найдем, какова эта скорость для разных значений давления; тогда сможем найти, как меняется профиль волны по мере распространения.

Пусть в данный момент форма профиля волны конечной ам­ плитуды задана. Будем рассматривать каждый участок профиля как малое возмущение, наложенное на среду, находящуюся при некотором звуковом давлении р (среднее давление на рассма­ триваемом участке) и имеющую в целом некоторую скорость ѵ (средняя скорость частиц на участке) относительно невозмущен­ ной среды. Сами эти средние давления и скорости частиц меняются от участка к участку.

На данном участке скорость малых возмущений относительно

среды равна с = ~\fdp!dp, где производная взята для значения р, соответствующего среднему состоянию среды на данном участке (а не невозмущенному состоянию, как в линейной акустике). Так как это малое возмущение переносится средой со скоростью ѵ, то суммарная скорость возмущения относительно невозмущенной среды (это и есть скорость точки профиля, в которой давление имеет данное значение) равна с + ѵ. Величина с зависит только

■ 408

от давления в данном месте. Покажем, что в бегущей волне ско­ рость частиц также зависит только от давления.

В самом деле, рассмотрим малое возмущение в виде бегущей волны, наложенное на бегущую в ту же сторону волну конечной, амплитуды. Давление бр и скорость частиц 8ѵ этого малого воз­ мущения (добавляющиеся к средним значениям р и ѵ в исходной волне конечной амплитуды) должны быть связаны соотношением 8ѵ — бр/рс. Но р и с зависят только от давления р. Значит, при­ ращения бр и бс можно считать дифференциалами полного да­ вления и полной скорости частиц в волне конечной амплитуды: dv = dplpc, откуда, интегрируя, найдем

( 122. 1)

о

Таким образом, бегущую волну конечной амплитуды можно записать в виде

где с и V являются функциями самого давления р. Это — обоб­ щение решения для волн бесконечно малой амплитуды, распро­ страненное на волны конечной амплитуды. Очевидно, скорость частиц выразится аналогичной формулой

V = V [ х '— (с + ѵ) t].

Конкретная зависимость с и и от давления определяется свойствами среды (уравнением состояния). Найдем соответствен­ ные выражения для идеального газа. Так как волна распростра­ няется практически адиабатически, то уравнение состояния можно, записать в виде

нии среды Р 0 + р определится из уравнения

где с0 = YyPo/Po — скорость малых возмущений относительно, невозмущенной среды при давлении Р 0-

Скорость малых возмущений оказалась зависящей от ужеимеющегося давления, что на первый взгляд противоречит резуль­

409