книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

энергии первичной волны, взятой с обратным знаком. Значит, можно положить dE/dx = —бЕ, где б — коэффициент, зависящий от неоднородности среды. Отсюда найдем закон убывания падаю­ щей волны:

Аналогичный закон убывания мы получали и для дискретных рас­ сеивателей.

Если рассеянные волны из игры не выходят и рассеиваются вторично II многократно, то рассеянное поле методом малых воз­ мущений найти нельзя, но формула (114.5) сохраняет физический смысл: так убывает энергия среднего поля первичной волны.

§ 115. Рассеяние от слабо шероховатой поверхности

Метод малых возмущений позволяет также найти поле, рас­ сеиваемое плоской поверхностью, возмущенной малыми и поло­ гими шероховатостями, т. е. шероховатостями, высота которых мала по сравнению с длиной волны первичного излучения, а на­ клоны малы по сравнению с единицей. В этой задаче невозмущен­ ной границей считают среднюю плоскость шероховатой поверх­ ности. Если обозначить ее через z = 0, то уравнение возмущенной границы можно записать в виде z =■ £ (х, у), где среднее значе­ ние £ вдоль средней плоскости равно нулю. Малость высоты шеро­ ховатостей выражается условием | £ £ | ^ 1 , где k — волновое число первичного излучения; условия малости наклонов выра­ зятся так: |д£/дх| < 1; |д£/дг/| <С Е Статистические характери­ стики £ будем считать неизменными вдоль всей плоскости.

Сумма падающей волны и волны, отраженной от невозмущен­ ной границы, явится в данной задаче первичной волной р°. Полное поле представим как сумму первичной волны и рассеянной волны — добавочного поля р ' , обусловленного шероховатостью. Наша за­ дача — зная шероховатость поверхности, найти для заданной падающей волны рассеянную волну р '. Для малых шероховатостей рассеянное поле, как правило, мало по сравнению с первичным полем вдали от границы; во всяком случае, мы будем рассматри­ вать только такие задачи.

Величина и характер рассеянного поля зависят от свойств шероховатой, поверхности. Начнем со случая свободной шерохо­ ватой поверхности. Наиболее важный пример такой задачи — рассеяние подводного звука на свободной поверхности воды. Пер­ вичная волна удовлетворяет в этом случае условию р° — 0 на плоскости z = 0. Но полное давление р° + р' должно обращаться

внуль не на этой плоскости, а на свободной границе среды г =

=£ (х, у). На этой границе давление первичной волны с точ­

ностью до первой степени малой величины kt, равно (dp°/dkz)z=o &£, поскольку производная -(dp°/dkz)z=о имеет вообще порядок р°. Если теперь к поверхности z = £ (х, у) приложить в дополнение

380

к первичному полю сторонние давления, распределенные по за­ кону

< і і 5 л >

то суммарное давление на свободной поверхности обратится в нуль, т. е. поле первичной волны и поле, создаваемое введенными сто­ ронними давлениями, совместно удовлетворяют заданному на ше­ роховатой поверхности граничному условию. Отсюда следует, что звуковое поле, создаваемое в среде сторонними давлениями (115.1), и есть рассеянное поле р'. Наконец, пренебрегая малыми величинами высших порядков относительно kt, и углов наклона поверхности к средней плоскости, можем считать, что сторонние давления приложены к средней плоскости г = 0 : в этом прибли­ жении достаточно учесть шероховатость только для расчета сто­ ронних давлений, после чего ее можно больше не учитывать.

Воспользуемся описанным методом для расчета рассеянного' поля в некоторых важных случаях. При этом ограничимся для простоты плоскими задачами — обобщение на двухмерную шеро­ ховатость не представляет затруднений. Рассмотрим раньше всего синусоидальную шероховатую поверхность

поверхности. Первичное поле образовано этой волной и ее отра­ жением в плоскости г = 0 :

р° = exp (ikx cos Ѳ + ikz sin 0) — exp (ikx cos 0 — ikz sin 0).

Согласно (115.1) рассеянное поле создается сторонними давле­ ниями, распределенными по шероховатой поверхности по закону"

П = —2ika sin 0 cos tjx-exp {ikx cos 0) =

Отсюда видно, что при падении плоской волны рассеяние синусо­ идальной шероховатостью эквивалентно излучению, - создавае­ мому двумя двухмерными плоскими волнами сторонних давлений (115.4), бегущими по средней плоскости данной поверхности.

Как мы видели в § 33, каждая из таких двухмерных волн из­ лучает в среду свой спектр — плоскую пространственную волну,.

след которой на границе совпадает с двухмерной волной. Рассеян­ ное поле имеет, таким образом, вид

-скольжения первичной волны, станет неоднородным и второй •спектр. При \tk > 2 оба спектра неоднородны при любом угле скольжения первичной волны; волна отражается от такой шеро­ ховатой поверхности как от зеркальной (если не считать возму­ щенного неоднородными спектрами «ближнего поля»).

Амплитуды обоих спектров одинаковы и равны ka sin Ѳ неза­ висимо от того* однородны спектры или нет. По мере уменьшения уела скольжения эффект шероховатости уменьшается: амплитуда •спектров падает.

Аналогично можно найти рассеяние и от абсолютно мягкой •поверхности с любой периодической шероховатостью. В самом

М 2

деле, так как высота (малых!) шероховатостей входит в выраже ние для сторонних давлений линейно, то к шероховатостям можно

шероховатость можно представить в виде суперпозиции косину­ соидальных шероховатостей при помощи разложения Фурье, рас­ сеяние плоской волны от такой поверхности представится в виде суперпозиции соответственных спектров: каждая косинусоида раз­ ложения создаст два спектра — один по одну и другой по другую сторону от направления зеркального отражения падающей пло­ ской волны. Направления волновых векторов спектров опреде­ лятся формулами

спектра. Рассеяние происходит, таким образом, по дискретным направлениям. Из (115.6) ясно, что высокие номера спектров будут неоднородными: тонкая структура шероховатости не будет пере­ даваться в среду. При £/А > 2 шероховатая поверхность ведет себя как зеркальная. С этим характерным свойством волн — «за­ бывать» мелкомасштабные воздействия на них — мы уже встре­ чались в гл. Ill и VIII.

Если шероховатость не периодична, но ее можно разложить-

винтеграл Фурье, то, «пристраивая» к каждому элементу разло­ жения соответственный спектр, найдем рассеянное поле, которое

вэтом случае будет занимать непрерывную область углов.

Аналогично решается и задача о рассеянии волн на абсолютно­ жесткой шероховатой поверхности (например, рассеяние воздуш­ ного звука на волнующейся поверхности моря). В этом случае на границе должна обратиться в нуль суммарная нормальная:

'скорость первичного и рассеянного поля р° + р '. Граничное усло­ вие для первичной волны — обращение в нуль г-компоненты скорости ѵ° на плоскости z = 0. Как легко видеть, в первом при­

ближении по малым величинам kt,, dt,/dx,- dtjdy первичная, волна создает на шероховатой поверхности нормальную скорость

Поэтому граничное условие на шероховатой границе будет выпол­ нено, если сообщить границе добавочно сторонние нормальные

скорости — Ѵп, которые «остановят» границу.' Значит, рассеянное поле равно излучению, создаваемому сторонними нормальными

скоростями — и,0,, распределенными по шероховатой границе. Как и для случая мягкой границы, сторонние нормальные скорости, приложенные к шероховатой границе, можно, не увеличивая по-

383

Г Л А В А XI I

ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА

§ 116. Затухание звука

Тот факт, что звук распространяется с конечной скоростью, известен с незапамятных времен, например, по наблюдению эхо. Измерения скорости звука всегда были довольно точны. Еще

в1738 г. французская академия наук получила для скорости звука

ввоздухе при 0° С значение 337 м/сек, всего на 1,7% отличающееся от современных измерений (332,45 м/сек). Но другое фундамен­ тальное свойство процесса распространения — затухание в ре­

зультате поглощения звука (т. е. перехода звуковой энергии в тепловую) — привлекло внимание только в XIX веке, а экспери­ ментальное обнаружение и измерение поглощения было выпол­ нено только в нашем веке. Это объясняется тем, что при умерен­ ных частотах поглощение звука в воздухе или в воде удивительно мало *) и поэтому полностью маскируется другими причинами за­ тухания.

Если бы не было расхождения в стороны, рассеяния на препят­ ствиях и других причин затухания звуковых волн, помимо по­ глощения, то, например, звук мужского голоса (основная частота 100—150 гц) при распространении в атмосфере ослабел бы вдвое по амплитуде только после пробега примерно 60 км, т. е. только через 3 минуты свободного распространения. Звук громкого раз­ говора в Ленинграде можно было бы услышать в Москве (по про­ шествии получаса, требующегося для пробега звуком этой ди­ станции) при громкости еще заметно большей порога слышимости: потеря интенсивности составила бы всего 60 дб. Правда, слов разо­ брать бы не удалось, так как обертоны, отличающие речь от си­ нусоидального звукового сигнала, затухают гораздо быстрее (по­ глощение звука растет с частотой).

Конечно, такое малое поглощение совершенно незаметно на фоне затухания, вызванного другими причинами, всегда сопро­ вождающими реальное распространение звука в свободной среде.

*) В воде, в горных и осадочных породах затухание звука (даже очень малой длины волны) ничтожно по сравнению с затуханием электромагнитных волн. Поэтому звуковые волны — единственное средство исследования водоемов и глу­ бинных слоев Земли. В воздухе затухание звука выше, чем для электромагнит­ ных волн, но все же очень мало для не слишком коротких волн.

Главная причина — расхождение звука во все стороны от источ­ ника. При удалении с расстояния в 1 м на расстояние 1 км от сфе­ рического источника расхождение вызывает затухание на 60 дб, так что заметить на фоне этого затухания добавочное ослабление звука умеренной частоты вследствие поглощения невозможно.

В свободной атмосфере есть и другие причины, изменяющие затухание звука при распространении. Так, при распространении над землей рассеяние звука вверх неровностями почвы увеличи­ вает затухание. По этой причине звук затухает над землей сильнее, чем над зеркально-гладкой поверхностью воды. Далее, в § 5 7 мы видели, что в неоднородной среде звук уклоняется в сторону, где скорость звука меньше. Так как скорость звука в воздухе ра­ стет с температурой, то звук отклоняется в сторону более холод­ ного воздуха. Поэтому, если, как обычно, температура воздуха убывает при поднятии над землей, звук отклоняется вверх и при наблюдении у земли затухание его окажется увеличенным. При «температурной аномалии» (повышении температуры с высотой) затухание уменьшится.

Ветер также может увеличивать и уменьшать затухание звука, распространяющегося вдоль земли: скорость звука складывается со скоростью ветра, скорость же ветра растет при поднятии над землей, так как вблизи земли ветер тормозится трением. Поэтому при противном ветре (дующем от приемника к источнику звука) эффективная скорость звука уменьшается при поднятии и звук отклоняется вверх: затухание увеличивается. При попутном ветре эффективная скорость звука растет при поднятии над поверх­ ностью земли и наблюдается уменьшенное затухание звука. В на­ правлениях, перпендикулярных к ветру, он практически не влияет на затухание.

Казалось бы, устранив расхождение звука в стороны, напри­ мер, пустив звук по длинной трубе или наблюдая затухание звука с течением времени в закрытом помещении, стенки которого не дают звуку выходить наружу, можно было бы все-таки определить поглощение в среде. Однако в таких слу.чаях поглощение в среде маскируется большим поглощением звуковой энергии в непосред­ ственной близости от стенок трубы или помещения — в так назы­ ваемом акустическом пограничном слое.

Всамом деле, сравним относительную роль поглощения звука

впограничном слое и во всем объеме помещения. Для определен­ ности рассмотрим поглощение, вызываемое вязкостью среды. Пере­ мещение участков среды как целого не вызывает вязкого погло­ щения: такое поглощение имеет место только при наличии гра­ диентов скоростей частиц среды. Градиенты скорости вдали от стенок пропорциональны волновому числу k звуковой волны для данной частоты звука. Вблизи стенок градиент гораздо больше,

пания вовсе не было. Это расстояние определяет толщину погра­

386

ничного слоя; градиент скорости в этом случае можно считать пропорциональным 1 /6 Ѵ.

Силы вязкости, вызывающие поглощение, пропорциональны градиентам скорости, а их мощность, т. е. поглощенная в единицу времени энергия, пропорциональна еще скорости деформации ча­ стиц, которая в свою очередь также пропорциональна градиенту скорости. Таким образом, работа вязких сил, переводящая аку­ стическую энергию в тепло и рассчитанная на единицу объема, пропорциональна в среде величине k 2, а в пограничном слое —

величине 1/бѵОбъемы же, в которых происходит поглощение, — это соответственно объем помещения и объем пограничного слоя. По порядку величины эти объемы равны соответственно L3 и бVL2, где L — линейный размер помещения. В итоге отношение энергий, поглощаемых в среде и в пограничном слое у стенок, будет равно по порядку величины

Например, для воздуха при частоте 100 гц имеем: k = 2 м-1, бѵ = 0,0002 м. Для комнаты с линейными размерами порядка 1 0 м отношение вязких потерь в среде и у стенок составит, таким

Примерно столько же, сколько вязкость, вносит в потери и теплопроводность, так что порядок отношения сохранится и при учете обоих механизмов.

При повышении частоты это отношение увеличивается; в на­ шем примере вязкие потери в среде и у стенок сравнялись бы при частоте около 2 кгц. В действительности доля поглощения в среде больше, чем дает приведенный расчет, потому что, помимо вяз­ кого поглощения, в объеме среды имеется еще релаксационное поглощение (см. § 1 2 0 ), вызываемое наличием в воздухе водяного пара и углекислого газа. Поэтому поглощение у стенок и погло­ щение в объеме среды делаются равными при меньшей частоте. Тем не менее в малых помещениях (и уж во всяком случае в сосу­ дах и в трубах) поглощение в пограничном слое играет главную роль в суммарных потерях звуковой энергии.

Маскировка поглощения звука в воздухе затуханием, вызы­ ваемым другими причинами, до сих пор не позволяет измерить непосредственно поглощение в воздухе звука низких частот, на­ пример звука человеческого голоса. Непосредственное измерение поглощения удается только для звуков высокой частоты — ультра­ звуков, а поглощение на низкой частоте вычисляют по теорети­ ческим формулам, проверенным на высоких частотах. Помимо того, что при высокой частоте поглощение звука в среде много больше, чем на низкой, на ультразвуковых частотах удается со­ здавать слабо расходящиеся пучки, устраняя тем самым основную причину затухания, маскирующую поглощение.

Отметим, кстати, различный ход затухания, вызываемый рас­ хождением волн и поглощением звука. Затухание вследствие рас­ хождения происходит по степенному закону (интенсивность об­ ратно пропорциональна квадрату расстояния от источника). За­ тухание же вследствие поглощения происходит, как увидим ниже, по экспоненциальному закону: на данной длине пробега погло­ щается всегда одна и та же часть приходящей звуковой энергии. На каждый метр пробега звуковой волны поглощение добавляет одно и то же относительное затухание, а расхождение волн — все меньшее и меньшее относительное затухание. Поэтому вблизи источника звука преобладает затухание вследствие расхождения, а при распространении звука на большое расстояние в свободной среде (например, в подводном звуковом канале или в воздушном канале в атмосфере) роль поглощения в конце концов делается преобладающей.

Оставляя в стороне затухание, вызываемое другими причинами,

вэтой главе мы будем рассматривать только поглощение звука

всреде. Так как в идеальной жидкости звуковая волна не погло­ щается, то причину поглощения следует искать в добавочных си­ лах, возникающих в реальных жидкостях. Для того чтобы не учитывать расхождения волн, ограничимся изучением поглоще­ ния в плоских звуковых волнах.

§ 117. Затухание звука в результате поглощения

Неподвижные идеальные и реальные жидкости неразличимы по своим механическим свойствам: и в тех и в других касательных напряжений нет, а давление зависит только от степени сжатия среды; В движущихся идеальных жидкостях давление так же зависит от степени сжатия, как и при покое, и касательных напря­ жений по-прежнему нет. В реальной движущейся жидкости давле­ ние зависит от степени сжатия по-другому, чем в покоящейся; кроме того, в ней появляются дополнительные внутренние напря­ жения (как нормальные, так и касательные), зависящие от дви­ жения среды и поглощающие механическую энергию звуковых волн, превращая ее в тепло. Таким образом, в реальных жидко­ стях при движении имеются два вида напряжений: упругие, не приводящие к потерям механической энергии, и диссипативные, приводящие к потерям.

Для волн с произвольной зависимостью от времени закон за­ тухания, вызываемого диссипативными напряжениями, очень сложен: по мере распространения волны не только убывает давле­ ние, но и меняется форма волны. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только гармонические волны: для них закон убы­ вания всегда, как увидим, экспоненциальный, а форма волны не меняется. Влияние поглощения на волны другой формы можно найти методом Фурье, если скорость затухания для гармонических волн разных частот известна.

388

Преобразование звука в тепло при поглощении используют в медицине для прогрева внутренних тканей тела. Как известно, прогрев тканей высокочастотными электрическими полями (УВЧ) наибольший в тканях, наилучшим образом проводящих ток: в них происходит наибольшее поглощение электромагнитной энергии. Оказывается, что наибольшее поглощение звуковых волн проис­ ходит в тканях, плохо проводящих ток (сухожилия, надкостница). Поэтому ультразвуковая терапия внутренним прогревом допол­ няет прогрев УВЧ. Высокие частоты применяют при прогреве потому, что поглощение звука быстро растет с частотой. Кроме того, на высокой частоте легче создавать направленные пучки

ные напряжения в воде составляют всего одну трехсоттысячную от упругого давления. Поэтому диссипативными напряжениями часто можно пренебрегать и считать среду идеальной, как мы и делали до сих пор. Но действие диссипативных напряжений на­ капливается: ведь рано или поздно вся энергия волны переходит в тепло, и волна полностью затухает. Амплитуда плоской волны в воде на частоте 3 Мгц уменьшается в 10 раз (энергия волны па­ дает в 100 раз) на расстоянии примерно 10 м. Ясно, что при боль­ шой длине пробега волны поглощение приходится учитывать.

Вопрос о возможности пренебречь диссипативными напряже­ ниями приходится решать в каждом конкретном случае по-раз­ ному. Общего критерия, конечно, нет. Ответ зависит, в частности, от требуемой точности решения задачи. Иногда пренебрежение поглощением приводит к качественным ошибкам: например, вход­ ное сопротивление ненагруженного четвертьволнового слоя или полуволнового слоя идеальной жидкости равно соответственно бесконечности и нулю, а при сколь угодно малом поглощении в обоих случаях получается конечная величина. Поглощение звука сильно сказывается в резонансных задачах: установление резонансной амплитуды требует многократного пробега волны взад и вперед по резонирующему объему, что равносильно боль­ шому'пробегу волны в среде: в этом случае сказывается даже малое поглощение.

Динамические добавки к статическому давлению линейны, т. е. для гармонических волн пропорциональны сжатию, как и само статическое давление. Поэтому принцип суперпозиции можно при­ менять и при наличии поглощения. Пренебрежение диссипатив­ ными напряжениями носит другой характер, чем пренебрежение нелинейными силами при линеаризации уравнений акустики: от­ носительная ошибка при отбрасывании нелинейных членов тем меньше, чем меньше амплитуда волны, а относительная погреш­ ность при пренебрежении поглощением от амплитуды волны не зависит.

389