книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

мощность, забираемая от первичной волны при максимальном поглощении энергии, равна половине мощности, рассеиваемой ре­ зонансным пузырьком в отсутствие трения; половина забираемой мощности поглощается пузырьком и половина рассеивается.

Приведем еще некоторые формулы, связывающие сечения рас­ сеяния и поглощения с величинами а 0 и о^:

о

*^полн — O W pacc — ^ТШпогл >

•откуда

°расс °погл і ^погл — l ^ü^pacc ^расс-

Если в отдельности измерено либо сечение рассеяния резонансного пузырька, либо сечение поглощения, то вторую из этих величин можно найти по этим формулам.

Полное сечение выражается через а 0 и сгпогл или через о, и ■ffpacc формулами

" ■ » .= - Ы ‘ ± У 1- 4 5 ^ ) = - Ы ‘ ±

§ 113. Резонатор Гельмгольца. Рассеяние звука резонатором Гельмгольца

Низкая частота колебаний пузырька в жидкости обусловлена тем, что в колебаниях участвуют две среды с резко различными свойствами: эффективная масса осциллятора (присоединенная масса жидкости) велика благодаря большой плотности жидкости; эффективная упругость осциллятора (упругость газового объема) мала. Оказывается, что то же свойство низкочастотности колеба­ ний малого объема можно получить и в одной среде, создавая устройство, в котором эффективная масса велика, несмотря на малую фактическую массу колеблющегося участка среды. Подоб­ ное устройство (резонатор Гельмгольца) состоит из сосуда, снаб­ женного горлышком — узким отростком или отверстием, через которое сосуд сообщается с окружающей средой. При перемеще­ нии среды, заполняющей горлышко, в одну и в другую сторону среда в сосуде испытывает сжатия и разрежения, и давление в ней изменяется. На открытом же конце горлышка давление все время остается неизменным (атмосферным — для резонатора Гельм­ гольца в воздухе). Разность давлений на концах горлышка уско­ ряет массу среды в горлышке. Ввиду узости горлышка скорость движения среды в нем велика по сравнению со скоростью среды внутри сосуда, таючто кинетическая энергия сосредоточена в гор­ лышке, несмотря на то, что фактическая масса среды в горлышке много меньше массы среды в сосуде. Упругая же энергия ока­ жется сосредоточенной в среде внутри сосуда.

370

Таким образом, кинетическая и потенциальная энергия локализуются в разных телах: в среде в горлышке и в среде в со­ суде. Значит, резонатор Гельмгольца можно считать, как и пу­ зырек, осциллятором с сосредоточенными параметрами.

Рассчитаем собственную частоту такого резонатора. Если длина горлышка много больше его поперечника, то среда в горлышке движется как целое, и можно принять за обобщенную координату смещение и частиц в горлышке наружу. Обобщенной массой будет масса среды, заполняющая горлышко:

где S — площадь сечения горлышка, L — его длина, а р — плот­ ность среды. Степень сжатия среды в сосуде, соответствующая смещению и, есть — Sw/fi, где Q — объем сосуда. Значит, давле­ ние, возникающее в сосуде, равно р = —Sw/ßß, где ß — сжимае­ мость среды. Таким образом, обобщенная сила, действующая на обобщенную массу, равна

F = pS = —S2 u/ßQ,

откуда находим обобщенный коэффициент упругости осцилля­ тора в виде

FS “

%— — и — ря •

Это равенство показывает, что длина волны на резонансной ча­ стоте не зависит от среды, заполняющей резонатор Гельмгольца, а тблько от его геометрических характеристик; отсюда следует, что резонансные частоты относятся как скорости звука в запол­ няющих средах.

Если вместо горлышка в стенке сосуда просто имеется малое отверстие, то скорость частиц в отверстии также будет повышена по сравнению со скоростью частиц в сосуде, так что можно считать, что кинетическая энергия сосредоточена в среде вблизи отверстия, Но движение среды в отверстии сложнее, чем движение в длинном

371

Примем за обобщенную координату среднее смещение среды в плоскости отверстия». Обобщенная масса равна отношению удвоенной кинетической энергии среды вблизи отверстия к квад­ рату средней скорости среды в отверстии. Пр.и таком расчете среду можно считать несжимаемой, поскольку при низкой частоте соб­ ственных колебаний резонатора размеры отверстия малы по срав­ нению с длиной волны звука. Скорость среды быстро убывает при удалении от отверстия. Поэтому, если на протяжении, в не­ сколько раз превышающем поперечник отверстия, стенка сосуда мало уклоняется от плоскости, то можно считать, что отверстие находится в плоском бесконечном экране. Если, кроме того, толщина стенки мала по сравнению с поперечными размерами отверстия, то ее можно считать бесконечно тонкой. Гидродинами­ ческий расчет, который здесь опускаем, дает значение эффектив­

Вообще эффективная «масса отверстия» зависит не только от его площади, но и от формы. Однако пока форма отверстия мало от­ личается от круговой, последняя формула дает хорошее прибли­ жение. Так, расчет показывает, что эффективная масса эллипти­ ческого отверстия с отношением осей 2 : 1 всего на 3% меньше, чем для круглого отверстия той же площади. Сравнивая (113.5) с (113.1), видим, что «эффективная длина» для отверстия равна

^эфф = xi-iVnS (для круглого отверстия Ьэфф = 1/2па). Под­ ставляя в (113.2), найдем формулу для собственной частоты ре­ зонатора с отверстием:

Отметим, что для резонатора с фактической длиной горлышка,

равной (Ѵ2) У nS, формула (113.6) неприменима: длина горлышка не превосходит во много раз его поперечных размеров и влияние движения среды вблизи концов горлышка внесет заметную «кон­ цевую» поправку.

372

Свободные собственные колебания резонатора Гельмгольца затухают, потому что устье горлышка по отношению к внешней среде является источником объемной скорости: эта объемная ско­ рость создаст излучение монопольного типа, в результате кото­ рого энергия резонатора будет постепенно «высвечиваться». Найдем коэффициент затухания резонатора, обусловленный таким излу­ чением. Пусть амплитуда скорости частиц в горлышке резона­ тора равна V. Тогда объемная скорость, создаваемая при колеба­ ниях, равна Sv, а следовательно, излучаемая мощность равна в среднем

С другой стороны, запас энергии в резонаторе равен макси­ мальной кинетической энергии среды в горлышке, т. е.

A = -j- pLSv2.

Следовательно, коэффициент затухания равен

и число колебаний, после которого амплитуда колебаний убывает в е раз, равно

Добротность резонатора есть

Подобно пузырьку газа в жидко.сти, резонатор Гельмгольца — препятствие, весьма сильно рассеивающее звук на своей резонанс­ ной частоте. Расчет его сечения рассеяния осуществляется так же, как и для пузырька. Под действием первичной волны р 0 резонанс­ ной частоты резонатор приходит в интенсивные колебания и переизлучает в виде сферической волны монопольного типа такую же мощность, какая поступает к нему.от падающей волны; это и есть рассеиваемая им энергия. На резонансной частоте давление в пер­ вичной волне синфазно со скоростью частиц в горлышке. Значит, мощность, сообщаемая первичной волной резонатору, равна (Ѵ2) Svp 0. С другой стороны, объемная скорость Sv резонатора создает мощность излучения, определяемую формулой (113.8). Приравнивая эти две величины, найдем Sv = (4я/рсо&) р 0, откуда найдется и рассеянная энергия:

373

Мы видим, что при резонансной частоте ни объемная скорость, ни, следовательно, рассеиваемая мощность не зависят ни от кон­ струкции, ни от размеров резонатора, но только от частоты. Срав­ нивая эту мощность с плотностью потока мощности в первичной волне, найдем, что, как и для пузырька, сечение рассеяния резо­ натора Гельмгольца равно

При наличии необратимых потерь в резонаторе он не только рассеивает, но и поглощает звуковую энергию. Для резонатора также можно ввести понятие сечения поглощения при отсутствии рассеяния о г, и соотношения между величинами ог0 и от и сече­ ниями поглощения и рассеяния будут такими же, как для пузырь­ ка (см. формулы (112.11)—(112.15)).

§114. Рассеяние звука в слабо неоднородной среде

Впредыдущей главе мы рассматривали рассеяние звука на препятствиях в виде включений с другими механическими свой­ ствами, чем у среды. Мы видели, что для малых размеров препят­ ствий по сравнению с длиной волны звука рассеяние можно найти,

сколь сильно бы ни различались механические свойства среды и препятствий.

В этом параграфе мы займемся рассеянием звука в среде, не имеющей резко выделенных неоднородностей, отдельных «вклю­ чений», но свойства которой меняются от точки к точке непрерывно случайным образом. Практически важность этой задачи состоит в том, что атмосфера и вода в море обладают неоднородностью именно такого типа: температура воздуха и воды колеблется от точки к точке, плотность же и сжимаемость зависят от температуры.

Вводе зависимость плотности от температуры в обычных условиях весьма мала, и учитывать приходится только зависимость сжимае­ мости от температуры: вблизи 20° С сжимаемость увеличивается примерно на 0,4% при повышении температуры на один градус.

Ввоздухе от температуры зависит только плотность: плотность

уменьшается примерно на 0,3% при повышении температуры на Г С .

Помимо температурной зависимости, плотность и сжимаемость воды и воздуха меняются регулярно по высоте вследствие наличия силы тяжести. Это изменение свойств среды также влияет на рас­ пространение звука и вообще должно быть учтено. Но в этой главе мы рассмотрим только роль статистических изменений механи­ ческих свойств среды от точки к точке.

Задачу поставим следующим образом. Будем считать, что на ограниченный однородный участок среды падает некоторая за­ данная первичная волна (например, плоская волна). Та добавка, которую создаст неоднородный.участок в дополнение к первичному

374

іюлю в среде без неоднородностей, и есть искомая рассеянная волна. Найти эту волну удается в том случае, когда свойства среды мало отклоняются от своих средних по пространству значений, а статистические характеристики отклонений остаются одинако­ выми во всей рассеивающей области. В этом случае рассеяние можно найти (приближенно), не налагая никаких ограничений на характерные пространственные размеры неоднородностей. Реше­ ние этой задачи дополняет в известном смысле решение задачи о рассеянии на малых включениях, в которой не было поставлено никаких ограничений для характеристик неоднородностей, но требовалась малость размеров препятствия по сравнению с длиной волны.

Как и для рассеяния на дискретных препятствиях, придется еще наложить условие малости рассеянного поля по сравнению с первичным. Тогда рассеянное поле можно найти методом малых возмущений. За нулевое приближение примем первичную волну

воднородной среде, а рассеянную волну будем считать поправкой первого порядка. Для этой поправки можно написать приближен­ ные уравнения; мы увидим, что они отличаются от уравнений нулевого приближения только наличием правой части, зависящей как от первичной волны, так и от неоднородностей среды. Правые части уравнений можно рассматривать как сторонние воздей­ ствия — сторонние силы и сторонние объемные скорости. В ре­ зультате задачу о рассеянии удается свести к задаче об излучении

воднородной среде.

Это — тот же прием, какой был применен нами в задаче о ди­ скретных малых включениях, где также задача о рассеянии за­ менялась задачей об излучении. Отметим, что в задаче о включениях точные уравнения решались приближенно, а в задаче о статисти- чески-неоднородных средах приближенные уравнения решаются точно. Как и в задаче о дискретных рассеивателях, этот метод учитывает только однократное рассеяние на неоднородностях.

Собственно говоря, метод возмущений можно было бы приме­ нять не только для случайных, но и для регулярных изменений свойств среды от точки к точке, например в задаче о рефракции звука в море при регулярном изменении сжимаемости среды по глубине. Однако весь метод пригоден только для случая, когда поправка мала по сравнению с первичной волной. При регуляр­ ном изменении свойств ср4ды поправка быстро накапливается и растет примерно пропорционально длине пройденного волной пути. В результате поправка быстро делается сравнимой с первич­ ным полем даже при очень малых отклонениях свойств среды от средних значений, и весь метод перестает быть применимым. Так, «зоны тени» в море могут быть вызваны весьма малым регу­ лярным изменением скорости звука по глубине уже на сравни­ тельно небольшом расстоянии от источника звука. При случай­ ном же распределении неоднородностей волны, рассеянные раз­ личными участками среды, некогерентны и действие одних неод­

375

нородностей уничтожается действием других. Остаток — рас­ сеянное поле —- нарастает поэтому медленно (как можно показать, пропорционально корню квадратному от пройденной длины пути). Поэтому в задаче о рассеянии на случайных неоднородностях ме­ тод малых возмущений можно применять для сравнительно боль­

среды по пространству, так как в них входят только локальные свойства среды. Однако применять эти формулы можно только для расстояний, на которых исходная волна остается еще много большей рассеянного поля.

Итак, пусть свойства среды непрерывно п случайно изменяются от точки к точке и изменения составляют малую долю соответствен-'''

ных средних значений. Уравнения движения и неразрывности в непрерывно неоднородной среде можно написать в том же виде, что и в однородной:

Р ? + Ѵр = 0 ,

(114.1)

ß # + *> = 0 .

Отличие заключается в том, что здесь коэффициенты уравнений р и ß — случайные функции координат, а не постоянные величины. Пусть относительные изменения плотности и сжимаемости равны

где р° и ß °— средние значения плотности и сжимаемости. Давле­ ние и скорость частиц в первичной волне, которые обозначим через р° и ѵ°, должны удовлетворять уравнениям с постоянными коэффициентами:

Р°1 Г + Ѵр»= о,

(114.2)

• ß ° i r + v ® 0 = 0-

Обозначим давление и скорость частиц в рассеянном поле через р' и ѵ’. Тогда полное поле, которое должно удовлетворять уравне­ ниям (114.1), выразится суммами р° + р' и о0 +г>\ Подставляя эти величины в уравнения (114.1) и пользуясь (114.2), найдем

376

Последние слагаемые слева — малые высшего порядка по отно­ шению ко всем остальным членам. Поэтому будем ими пренебре­ гать. Тогда для рассеянного поля получатся следующие прибли­ женные уравнения:

в однородной среде сторонними объемными скоростями, распре­ деленными с плотностью V = —ß°T| (dp°/dt), и стороннимиси­ лами, распределенными с плотностью F — —р°е (дѵ°/ді). Так как сила F приложена к среде, ее можно считать силой диполя. Пусть первичная волна — плоская гармоническая бегущая волна еди­

Следовательно, поле, рассеиваемое данным элементом объема, равно

dp' ■— (cü2 p°ß°r| "4^ ------ ike lk^~ 21 eikx+ikr cos Ѳj dx dy dz,

где г и Ѳ— соответственно расстояние от рассеивающего объема до точки наблюдения и угол между направлением на точку наблю­ дения и осью X.

Поле, рассеянное всей неоднородной областью, получится пу­ тем интегрирования этого выражения по всей рассеивающей области. Если точка наблюдения расположена достаточно далеко от рассеивающего объема (в волновой зоне по отношению к каж­ дому рассеивающему элементу), то единицей в числителе диполь­ ных членов можно пренебрегать, и рассеянное поле представится в виде

Суммарное рассеяние представлено в виде интеграла от полей монопольных источников, соответствующих неоднородностям сжи­ маемости, и дипольных источников, соответствующих неоднород­ ностям плотности. Каждый из источников создает поле либо сфе- рически-симметричное (монополи), либо с восьмерочной характери­ стикой (диполи). Однако результирующее поле может не обладать такой симметрией, поскольку оно образовано суперпозицией полей многих таких источников, расположенных в разных точках и имеющих разные фазы. На большом расстоянии от рассеивающего

377

объема, где уже успевает сформироваться характеристика на­ правленности для рассеянного поля от всего объема в целом, эта характеристика определяется корреляцией неоднородностей в рас­ сеивающем участке. Если радиус корреляции мал по сравнению с длиной волны звука и если неоднородности плотности и сжимае­ мости статистически независимы по пространству, то характери­ стика рассеяния по интенсивности явится просто суперпозицией сферической и восьмерочной характеристик, взятых с соответ­ ственным весом. При большом же радиусе корреляции неоднород­ ностей среды характеристика будет сильно вытянута в направле­ нии падения первичной волны: рассеянные^ волны будут распро­ страняться в узком угле вблизи этого направления, а рассеяние вбок и особенно в обратном направлении будет практически от­ сутствовать.

Поясним, чем обусловлена зависимость направленности рас­ сеяния области в целом от степени корреляции ее неоднородностей. Суммарное рассеяние определится тем, с какими .фазами склады­ ваются вдали от рассеивающей области поля, рассеянные отдель­ ными элементами среды. Эти фазы зависят как от знака неодно­ родности (величины е и rj могут быть как положительными, так и отрицательными), так и от набега фазы волны, приходящей к данной точке и затем рассеивающейся в этой точке.

Для простоты рассмотрим два рассеивателя А и В, лежащие на прямой, параллельной направлению падения первичной волны. Разность фаз рассеянного поля в какой-либо точке наблюдения М ,

ния М j) разность фаз равна нулю: насколько первичной волне дольше бежать до рассеивателя, настолько же рассеянной волне меньше бежать от рассеивателя до точки наблюдения. Для рас­ сеяния в обратном направлении (точка наблюдения М 2) разность фаз равна 2kAB: добавочная длина пробега равна двойному рас­ стоянию между рассеивателями. Для рассеяния в каком-либо другом направлении разность фаз будет иметь промежуточное зна­ чение. Если расстояние точки наблюдения от рассеивателей, ве­ лико по сравнению с расстоянием между рассеивателями (точка наблюдения во фраунгоферовой-зоне по отношению к рассеивате­ лям), то разность фаз будет зависеть от угла наблюдения как kAB (1 — cos Ѳ) и будет монотонно возрастать при увеличении угла Ѳ.

К указанному геометрическому набегу фаз волн, рассеянных различными участками рассеивающей области, будут еще добав­ ляться скачки фазы на полволны при изменении знака отклоне­ ния сжимаемости или плотности от среднего значения. Если радиус корреляции флуктуаций мал по сравнению с длиной волны звука, то такие скачки'полностью замаскируют регулярный геометриче­ ский набег фаз, и можно будет считать, что рассеянные волны в любую точку наблюдения приходят со случайными фазами. По­

378

этому получающаяся сумма не будет зависеть от регулярного набега фаз, а только от исходной характеристики направленности отдельных рассеивателей: флуктуации сжимаемости дадут сфери­ ческую характеристику, а флуктуации плотности — дипольную, восьмерочную. Для того чтобы найти результирующую характери­ стику, придется перейти от характеристик по амплитуде к харак­ теристике по интенсивностям. При этом нужно будет учесть аб­ солютные значения флуктуаций сжимаемости и плотности, беря каждую из характеристик с «весом», пропорциональным интегралу от квадрата флуктуации по всей рассеивающей области.

При большой корреляции флуктуаций в направлении вперед синфазно будут складываться поля от больших участков рассеива­ ющей среды (порядка радиуса корреляции). Рассеянное поле будет велико. В обратном же направлении участок, дающий вклад одного знака, будет только порядка четверти .длины волны; знакопеременность величин, складывающихся в интеграле (114.4), будет более частой. В результате рассеянное поле будет мало. В других на­ правлениях будет наблюдаться промежуточная картина. Чем больше радиус корреляции по сравнению с длиной волны, тем больше будет заостряться характеристика направленности, вытя­ гиваясь вдоль направления падения волны. Никакого сходства с характеристикой направленности отдельных рассеивателей не останется.

Как уже было сказано, проведенный выше расчет рассеяния можно применять только до тех пор, пока рассеянное поле остается малым по сравнению с первичным. В противном случае уже нельзя было бы ограничиваться учетом только однократного рассеяния на неоднородностях среды. Соответственно в этом приближении первичную волну можно считать распространяющейся без ослаб­ ления вследствие рассеяния: там, где ослабление нужно было бы принять во внимание, требовался бы также учет многократного рассеяния.

Однако в некоторых случаях можно расширить область при­ менимости метода и продолжать пользоваться им и тогда, когда первичная волна сколь угодно ослабевает вследствие рассеяния. Это возможно в тех случаях, когда в результате особых условий распространения однократно рассеянные волны уже больше не участвуют во вторичном рассеянии: например, когда первичная волна — это узкий звуковой пучок и рассеянные волны просто выходят из пучка и практически больше в него не возвращаются. Тогда ослабление первичной волны можно рассчитать, пользуясь энергетическими соображениями.

В самом деле, поскольку амплитуда рассеянной волны в при­ ближении малых возмущений пропорциональна амплитуде первич­ ной, то энергия, рассеиваемая на единичной длине пробега волны, пропорциональна квадрату этой амплитуды, т, е. пропорциональна исходной плотности энергии в первичной волне. Но по закону сохранения энергии эта энергия должна быть равна производной

379