книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

1 0 : 1 скорость колебаний при падении волны вдоль большой оси будет превосходить скорость частиц среды в 48,6 раза, а при па­ дении вдоль малой оси — в 2,04 раза.

Тело, отличающееся по плотности от среды и малое по сравне­ нию с длиной волны звука, может быть использовано как направ­ ленный приемник звука. В самом деле, установив в теле какоелибо устройство, регистрирующее компоненту скорости колеба­ ний (или смещения) тела в каком-либо направлении, связанном с телом, получим различные показания устройства при падении волны звука с разных направлений. Таким устройством может, например, быть грузик на пружинке, скользящий по направляю­ щей, укрепленной внутри тела. Легко видеть, что такое устройство имеет дипольную характеристику направленности. В самом деле, формула (111.5) показывает, что компонента скорости иа, соответ­ ствующая оси ха, которую расположим вдоль направляющей, есть скалярное произведение вектора скорости среды vt на вектор (рП6 / 7 + ру7) nja, не зависящий от направления падения волны. Значит, действительно, характеристика устройства косинусо­ образная при любом расположении направляющей.

Ось характеристики направленности вообще не совпадает с направляющей. Совпадение будет только для направляющей, расположенной вдоль одного из главных направлений тензора присоединенных масс. Так как амплитуда колебаний тела по раз­ ным направлениям различна, то различной окажется и чувстви­ тельность такого приемника звука при разных расположениях направляющей. При р < pß чувствительность максимальна при расположении направляющей вдоль оси наименьшей главной компоненты тензора присоединенных масс; при р > рП чувстви­ тельность максимальна для оси наибольшей главной компоненты.

Вернемся к формуле для силы диполя. Пользуясь (111.3) и

Для случая падения волны вдоль одной из главных осей найдем

и аналогично для направлении х 2 и х 3.

Интересно рассмотреть два крайних случая: масса рассеиваю­ щего тела равна нулю и масса тела равна бесконечности (закреп-

360

ленное тело или тело «бесконечной массы»). Для безмассового тела сила диполя равна

в направлении наименьшей из главных компонентов тензора присоединенных масс; для закрепленного тела — в направлении наибольшей компоненты. Отношение сил диполя при падении звука вдоль главной оси на безмассовое и на такое же по форме закрепленное тело равно рЙ/р^. Для удлиненного в направлении падения волны тела («игла») безмассовое тейо даст большее рас­ сеяние, а для сплющенного в направлении падения тела («тарелка») большее рассеяние даст закрепленное тело. Для сферического тела р 2 = (Ѵ2) рй; следовательно, амплитуда дипольного рассея­ ния, создаваемого безмассовой сферой (газовый пузырек в жидко­

В этом случае и направление колебаний тела, и ось диполя рас­ сеяния приближенно совпадают с направлением падения волны. Сила диполя, а значит, и рассеяние определяются только объемом препятствия и различием плотностей тела и среды, а форма тела и его ориентировка относительно падающей волны роли не играют *). Случай малого различия плотностей находит примене­ ние в важной задаче о рассеянии звука в слабо неоднороднойДю плотности среде (см. § 114).

Чтобы найти выражение для рассеиваемой мощности, отнесем движение к главным осям и подставим в формулу (104.2) выра­

361

Дипольное рассеяние на пузырьке оказывается в 4 раза больше,

ных относительно рассеивателя точках давления в рассеянном поле будут соответственно р х + р 2 и р г — р 2. В выражения для потоков мощности члены с произведением давлений войдут с раз­

а = -w-na2 (ka)4 + -\-па2 (ka)4 = -^-яа2 (ka)4.

Соответственная характеристика направленности рассеяния для бегущей первичной волны получится как суперпозиция ха­ рактеристик для несжимаемой сферы, имеющей плотность среды, и бесконечно тяжелой сферы, имеющей сжимаемость среды. Рас­

552

сеянные поля, согласно (1 1 0 .1 ) и (1 1 1 .1 1 ), равны соответственно (вдали от, рассеивателя)

Pl = - k * Q - Q r p , ps = 4 -Ä aQ -^-pcosO .

Складывая поля и нормируя полученный результат к единичному значению максимальной амплитуды, получим характеристику направленности по давлению в виде

Ѳ(Ѳ) = ---- §- + -|-cos0,

где угол 0 отсчитывается от направления падения волны. На рис. 1 1 1 . 1 дано сечение этой характеристики плоскостью, про­ ходящей через направление падения волны. Наибольшее рас­ сеяние создается в направлении навстречу падающей волне. Нули характеристики направленности соответствуют углу Ѳ = = arccos (2/3), т. е. Ѳ = ±48° 10'.

§ 112.: Рассеяние звука пузырьком газа в жидкости

Среди малых препятствий газовый пузырек в жидкости за­ мечателен своей высокой эффективностью рассеяния монополь­ ного типа: пузырек всегда рассеивает много больше, чем абсолютно жесткое препятствие того же размера. Начиная с некоторой ча­ стоты, сечение рассеяния пузырька превосходит его поперечное сечение, а вблизи резонансной частоты сферически-симметричных пульсаций пузырька в воде сечение рассеяния превосходит его поперечное сечение в тысячи раз.

В § 89 мы нашли собственные колебания пузырька, в частности

его резонансную частоту со0 = У ЗРу/ра2. Теперь найдем вы­ нужденные колебания пузырька под действием падающей на него звуковой волны; это позволит найти рассеиваемую им волну.

Пузырек — препятствие, имеющее и другую плотность, и другую сжимаемость, чем среда. Поэтому он создает и дипольное рассеяние, вызываемое его поступательными колебаниями как целого относительно жидкости, и монопольное рассеяние, вызы­ ваемое пульсациями. Мы видели в § 111, что поле дипольного рассеяния пузырька всего вдвое больше, чем рассеяние от непод­ вижной жесткой сферы, а рассеянная энергия всего вчетверо больше, так что сечение рассеяния для дипольного рассеяния со­ ставляет всего (4/3) па2 (/га)4, т. е. по-прежнему очень мало по сравнению с поперечным сечением препятствия. Другая картина получается для монопольного рассеяния. Здесь придется про­ вести более подробное исследование.

Начнем со случая частот, много меньших резонансной частоты пузырька. При таких частотах можно считать, что осциллятор, которому мы уподобили пузырек, находится в квазистатическом режиме. Сжимаемость пузырька — это просто сжимаемость газа

363

в пузырьке, и для расчета рассеяния достаточно подставить эту величину в формулы § ПО. Так, при адиабатическом колебании, когда теплообмен между газом и окружающей жидкостью не успе­ вает произойти, сжимаемость газа равна ß' = I/Ру и в формуле (110.4) можно пренебрегать единицей по сравнению с отношением сжимаемостей ß'/ß. Таким образом, в области низких частот се­ чение рассеяния пузырька можно положить приближенно равным

Хотя частотная зависимость получилась такой же, как и для рассеяния на несжимаемом препятствии, абсолютная величина рассеяния выросла в огромной степени: в отношении квадратов сжимаемостей газа и жидкости. Для воздушного пузырька в воде это составляет около восьми порядков!

Пользуясь соотношениями ß = 1/рс2 и ß' = 3/рааш2, получим следующее выражение для поперечного сечения рассеяния:

мала по сравнению с единицей. Ошибка в расчете не превысит примерно 10%, если со/со0 < Ѵ 3. При повышении частоты и при­ ближении ее к резонансной, а также при дальнейшем увеличении частоты формулой (1 1 2 .2 ) пользоваться уже нельзя: хотя газ в пу­ зырьке по-прежнему будет сжиматься и расширяться квазиста­ тически, сжимаемость пузырька не будет равна сжимаемости со­ держащегося в нем газа, так как пузырек в целом как осциллятор уже не будет находиться в статическом режиме. Даже по фазе сжатие пузырька перестанет совпадать с давлением в падающей волне. Можно было бы все же воспользоваться той же форму­ лой (1 1 2 . 1 ) для расчета рассеяния, найдя специально эффективную сжимаемость пузырька на любой частоте (это была бы вообще комплексная величина). Но проще решить общую задачу о рас­ сеянии с самого начала, задаваясь первичной волной и отыскивая объемную скорость пузырька 'из граничных условий на его по­ верхности все в том же предположении о малости радиуса пу­ зырька по сравнению с длиной волны в газе, заполняющем пузьы рек. Перейдем к такому расчету.

Пусть пузырек находится в поле гармонической первичной волны о единичной амплитудой давления. Волна, излучаемая пуль­ сациями пузырька, вызванными действием этой волны, и будет искомой рассеянной волной. Ее можно записать в виде

e i k r

p ^ - i p a V — ,

где неизвестная объемная скорость определится из граничного условия, которое можно сформулировать как требование равен­

364

ства сопротивлений на границе внутри и снаружи пузырька. Сопротивление внутри пузырька найдем из формул § 89:

Давление снаружи пузырька на его поверхности равно сумме давлений в падающей и рассеянной волне, т. е.

(изменением поля падающей волны вдоль диаметра пузырька можно пренебречь). Радиальная скорость пульсаций пузырька равна и = Ѵ74яа2 (радиальной скоростью, вызванной падающей волной, можно также пренебречь). Таким образом, сопротивление на границе пузырька снаружи его равно

р1 — іщ Ѵ е іка ІА л а

V т = а К/4ла2

Приравнивая оба выражения для сопротивления, полагая

Для объемной скорости получилось выражение, аналогичное резонансной формуле для осциллятора с добротностью Q = Mka. При амплитуде падающей волны, равной р 0, величину объемной скорости будет достаточно умножить на р 0.

Теперь мы можем исследовать законы рассеяния звука пузырь­ ком при любых соотношениях между частотой падающего звука и собственной частотой пузырька, пока сохраняется условие ма­ лости радиуса пузырька по сравнению с длиной волны в газе. При выполнении этого требования газ в пузырьке сжат равно­ мерно, квазистатически.

Как и для всякого осциллятора, Существенно различными

В низкочастотной области осциллятор управляется упруго­ стью: присоединенной массой можно пренебречь. Это значит, что в формуле (112.3) в знаменателе можно пренебречь всеми чле­ нами, кроме первого. Это даст для объемной скорости величину

V = і4яасо/рсоо и для сечения рассеяния то же значение (112.2), которое мы уже получили выше из других соображений.

В другом предельном случае — случае высоких частот, когда осциллятор управляется массой (присоединенной), а упругостью можно пренебречь, — можно опустить в знаменателе все члены,

365

— величину, от частоты не зависящую и вчетверо превосходящую площадь поперечного сечения пузырька. По отношению к несжи­ маемому препятствию сечение рассеяния оказывается увеличен­ ным в 9/(/га) 4 раз. То же значение поперечного сечения рассеяния мы получили бы для вакуумной’ сферической полости в жидкости (при любой частоте). Подобные полости образуются при кавита­ ции: они лишены воздуха и давление в них не превосходит малой величины давления насыщающих паров жидкости.

Рассмотрим, наконец, резонансную область частот, когда © близко к ю0. При точном резонансе (со = со0, ' k = k 0 = со0 /с) движение пузырька управляется только потерями энергии на из­ лучение при колебаниях. В знаменателе (112.3) остается только

т. е. площадь круга радиуса кія. Это сечение больше поперечного сечения пузырька в 4/(ka)2 раз. Например, для резонансных пу­ зырьков, находящихся в воде при атмосферном давлении (неглу­ боко под поверхностью воды), имеем: а = 20 000-яа2. По отноше­ нию к сечению рассеяния несжимаемой сферы получается увели­ чение в 9i(ka)6 раз. Для воздушного пузырька вблизи свободной поверхности воды это означает увеличение сечения рассеяния на 12 порядков. Отношение амплитуд давлений в резонансном пузырьке и в первичной волне равно Q = 1//еа; для пузырька вблизи поверхности Q ^ 71. Для плоской первичной волны со­ ответственное отношение скорости поверхности пузырька и ско­ рости частиц в падающей волне равно Q2; это дает для такого же пузырька величину —5000.

Приведенный расчет показывает, что наличие даже неболь­ шого числа резонансных пузырьков на пути звуковой волны в воде должно приводить к значительному рассеянию звука. По мере «расстройки» пузырьков, т. е. при расхождении частоты падающей волны с резонансной частотой пузырька, эффективность пузырь­ ков как рассеивателей быстро убывает. Полуширина резонансной кривой равна Дсо/<в0 = Ѵ2 /г0 а. Для пузырька вблизи поверх­ ности воды это дает примерно Асо/со0 = 0,007. При такой рас­ стройке рассеяние уменьшается по энергии вдвое по сравнению со случаем точного совпадения частот.

Из сказанного вытекает, что если в воде (например, в море) имеются пузырьки различных размеров, то наблюдаемое на дан­ ной частоте / = ы/2я рассеяние практически полностью будет определяться пузырьками «резонансного размера», т. е. пузырь­ ками радиуса а ^ 327// (для пузырьков вблизи поверхности воды).

366

Пузырьки в море наблюдаются в ряде случаев: вблизи поверх­ ности, куда они попадают при волнении вследствие обрушивания гребней волн, в глубине моря («глубоководные рассеивающие слои»), где они выделяются микроорганизмами. Наконец, плава­ тельные пузыри рыб, расположенные в мягких тканях рыбы, также ведут себя как пузырьки в воде. На этом обстоятельстве основан один Ъз методов поиска рыб: посцілая в глубину моря ко­ роткий звуковой импульс в виде отрезка синусоиды и наблюдая вернувшийся отраженный импульс, рыбопоисковое судно, снаб­ женное гидролокатором, может обнаружить скопление рыб с пла­ вательным пузырем определенного размера.

Следует иметь в виду, что рассчитанная нами рассеивающая способность резонансных пузырьков сильно завышена, так как при расчете не были учтены потери механической энергии при колебаниях пузырька, всегда имеющиеся помимо излучения. Потери приводят к уменьшению резонансной амплитуды, а зна­ чит, и к уменьшению рассеяния. Как уже было сказано в § 89, имеют значение теплопроводность и другие факторы. Теплообмен, как и все остальные источники потерь механической энергии, приводит к добавлению соответственного мнимого слагаемого в знаменатель выражения для объемной скорости. Это слагаемое, как и слагаемое, соответствующее излучению, играет заметную роль вблизи резонансной частоты, т. е. как раз в условиях боль­ шого рассеяния. В результате оказывается, что на практике рас­ сеяние резонансными пузырьками велико, но не столь велико, как можно было бы ожидать, если не учитывать, помимо рассеяния, необратимых потерь механической энергии.

Зато оказывается, что резонансные пузырьки не только рассеи­ вают, но и поглощают энергию падающего звука, и вследствие большой амплитуды колебаний делают это довольно активно. Такого поглощения, например, достаточно, чтобы лишить звона звук чоканья бокалами, налитыми газированной водой или шам­ панским. В этом случае проявляется именно роль пузырьков как поглотителей звука, потому что без поглощения, при одном только рассеянии, акустическая энергия все равно оставалась бы в бокале, не уменьшаясь, и звон бы не ослабевал.

Влияние поглощения на рассеяние и подсчет самого погло­ щения удобно рассмотреть, исходя из баланса энергии пузырька как осциллятора с одной степенью свободы, колеблющегося в вы­ нуждающем поле первичной волны. Уравнение баланса энергии позволяет найти другим способом и резонансную объемную ско­ рость, и сечение рассеяния пузырька в отсутствие потерь, которое будем теперь обозначать сг0. В самом деле, пусть пузырек колеб­ лется в установившемся режиме на своей резонансной частоте. Как известно, при вынужденных резонансных колебаниях ско­ рость осциллятора находится в фазе с вынуждающей силой. За обобщенную скорость осциллятора примем объемную скорость пузырька; тогда обобщенной вынуждающей силой будет давле­

367

ние ро в первичной волне. Так как сила и скорость при резонансе синфазны, то среднее значение работы силы за период равно по­ ловине произведения амплитуд силы и скорости: (Ѵ2) р 0Ѵ.

С другой стороны, при установившихся колебаниях средняя энергия колебаний остается неизменной; следовательно, если потерь механической энергии нет, то пузырек должен всю эту по­ лучаемую от первичного поля энергию растрачивать на излуче­ ние, т. е. переводить ее в рассеянную волну. Но энергия, излу­ чаемая пульсирующим источником сданной объемной скоростью V,

равна g— pck-V'2. Баланс энергии выразится так:

что совпадает со значением объемной скорости при резонансе, полученным ранее прямым расчетом амплитуды вынужденных колебаний пузырька. Эта объемная скорость и дает сечение рас­ сеяния а 0 = 4я/&2.

Учтем теперь, помимо излучения, необратимые потери энергии, вызываемые, силами, пропорциональными скорости; таковы, на­ пример, потери вследствие вязкости и теплопроводности. Тогда баланс энергии будет выглядеть по-другому: механическая энер­ гия, получаемая пузырьком от первичного поля, будет частично затрачиваться на излучение, а частично теряться необратимо. Если обозначить обобщенный коэффициент трения через г|, то

где первый член дает излученную, а второй — поглощенную энер гию. Отсюда найдем объемную скорость пузырька:

Введем вспомогательную величину: «сечение поглощения в от­ сутствие рассеяния» стх, равную отношению мощности, расхо­ дуемой на трение при резонансном колебании в несжимаемой жидкости при давлении р 0, к плотности потока энергии в плоской волне, бегущей с той же амплитудой давления р 0 в исходной среде. В несжимаемой среде амплитуда объемной скорости, согласно

368

Подставляя в (112.9), найдем отсюда

V = Ж _____ !_____

рс (1/о0) + (і/о,) ■

Теперь легко найти и величины мощностей рассеяния и поглощения пузырьком:

отсутствие потерь и погло­ щения в отсутствие рассеяния («параллельное» сложение). Появле­

ние необратимых потерь при колебаниях пузырька всегда умень­ шает полное сечение, т. е. уменьшает полную мощность, забирае­

369