книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Г Л А В А XI

РАССЕЯНИЕ ЗВУКА

1

§ 109. Рассеяние звука на препятствии

До сих пор мы рассматривали только плоские бесконечныепрепятствия. В этой главе мы выясним, как влияет на звуко­ вую волну препятствие конечных размеров. Препятствием будем считать любое тело из другого вещества, чем среда.

Поле, измененное препятствием, удобно представлять в виде суперпозиции двух полей: первичной волны, распространявшейся в среде в отсутствие препятствия, и рассеянного поля (вторичной волны) — добавки, вызванной наличием препятствия. При этом будем считать, что излучатели, создающие первичное поле, ра­

В гл. IX, рассматривая совместную работу нескольких излуча­ телей, мы видели, что сами они могут явиться препятствиями для звуковых волн, создаваемых другими излучателями. Тогда мы пренебрегали рассеянным полем, потому что интересовались только особенностями «прямого» поля излучателей, к которому рассеяние на самих излучателях давало лишь малую поправку. Но теперь задача поставлена иначе: препятствия пассивны, ни­ какого самостоятельного излучения не создают, поле в отсутствие препятствий известно, а мы интересуемся, как основной величи­ ной, именно добавкой к первичному полю, вносимой препятствиями.

Второе замечание состоит в том, что рассеянные волны будут вторично и вообще повторно и многократно рассеиваться другими препятствиями. Такие рассеянные волны будут поправкой ш> отношению к однократно рассеянному полю, подобно тому как однократное рассеяние при совместной работе нескольких излу­ чателей было поправкой к их первичному полю. Если однократно рассеянное поле мало по сравнению с первичным, то каждая вто­ рично и многократно рассеянная волна мала по сравнению с одно­ кратно рассеянной, и ими можно пренебречь, если число рас­ сеивателей не слишком велико. Но если рассеивателей много, то по мере распространения первичной волны произойдет накопле­ ние рассеянных волн, и в результате однократно рассеянное поле уже не будет мало по сравнению с первичным даже при малости

350

рассеяния от одного рассеивателя. Тогда пренебрежение вторич­ ным и многократным рассеянием станет недопустимым. Нельзя пренебрегать вторичным и многократным рассеянием и в случаях, когда рассеяние на одном рассеивателе не мало. В настоящей книге мы не будем рассматривать эти более сложные случаи, тре­ бующие учета многократного рассеяния.

Если недопустимого накопления нет, то задачу о нахождении суммарного рассеянного поля всегда мбжно свести к задаче о рас­ сеянии на отдельном препятствии: суммарное поле получится просто как суперпозиция полей, рассеянных однократно каждым препятствием в отдельности.

Поле, рассеянное данным препятствием, зависит не только от вида самого препятствия, но и от вида первичной волны. Будем рассчитывать рассеяние для первичной-плоской бегущей волны. Расчет рассеяния для других типов первичных волн (стоячие волны, нормальные волны в волноводе и т. п.) дополнительных трудностей не представит.

Рассеяние на данном препятствии зависит от его формы и раз­ меров и от сжимаемости и плотности вещества препятствия. Ника­ кие другие свойства препятствия на рассеянии не сказываются. Если сжимаемость и плотность такие же, как у среды, то препят­ ствие не вызывает рассеяния, каковы бы ни были его размеры и форма. В противном случае рассеяние происходит.

Препятствие движется в звуковом поле не так, как двигался бы вытесненный объем среды в отсутствие препятствия, а совершает некоторое дополнительное движение. Рассеянная волна и есть поле, создаваемое этим дополнительным движением. Но такое же поле создавало бы данное тело, совершающее это дополнительное движение в покоящейся среде. Значит, задачу о рассеянии звука препятствием в звуковой волне можно свести к задаче об излу­ чении звука в покоящейся среде.

Если препятствие мало по сравнению с длиной волны, то до­ полнительное движение и рассеянное поле найти легко. Так, если препятствие имеет другую сжимаемость, чем среда, то оно изменяет свой объем либо больше, либо меньше, чем среда, в за­ висимости от того, какая сжимаемость больше. Дополнительное движение в этом случае — пульсация тела, и, следовательно, рассеяние монопольного типа. Если препятствие имеет другую плотность, чем среда, то оно либо отстает от среды, либо опере­ жает ее, в зависимости от того, какая плотность больше. Допол­ нительное движение в этом случае — поступательное движение (осцилляции) тела, и, следовательно, рассеяние дипольного типа. Подробно эти два случая разобраны в следующих двух пара­ графах.

Рассеяние сильно зависит от соотношения между длиной волны рассеиваемого звука и размерами препятствия. Найти рассеяние для любых соотношений между размерами препятствия и длиной волны не удается. Для препятствий, малых по сравнению с длиной

волны, мы дадим общее решение. Если препятствие весьма велико по сравнению с длиной волны и ограничено плавной поверхностью, радиусы кривизны которой также очень велики по сравнению с длиной волны, то найти рассеянное поле можно при помощи лу­ чевой картины (это относится, однако, только к идеальным пре­ пятствиям).

Действительно, в этом случае можно считать отдельные участки поверхности локально-плоскими и находить отражение от них по закону равенства углов падения и отражения луча. Позади тела образуется тень, по сечению равная поперечному сечению тела

(рис. 109.1). Поле перед телом можно найти как сумму падающей волны и волны, уносимой лучами от поверхности тела. Поле по­ зади тела равно нулю (мы отвлекаемся от дифракционных явле­ ний, например от проникновений поля в «геометрическую тень» и т. п.). Таким образом, рассеянное поле образовано вне тени отра­ женными лучами; в области тени оно равно падающему полю, взятому с обратным знаком, и гасит первичное поле, давая сов­ местно с ним нуль.

Найдем поток мощности рассеянного поля, уходящий от тела. Очевидно, отраженные лучи в сумме дадут поток, равный потоку мощности в первичной волне, падающей на тело. Еще столько же даст рассеянное поле в области тени, так как оно просто равно по модулю первичному полю. Итого полный поток мощности рассеян­ ного поля через любую замкнутую поверхность, окружающую тело, равен удвоенному потоку, падающему на тело. Иногда рас­ сеяние удается рассчитать точно по волновой теории (например, для сферического препятствия) для любой длины волны, в том числе

352

и для волн, при которых полная тень не образуется. В предельном случае бесконечно коротких волн такой точный расчет совпадает асимптотически с приведенным выше расчетом. Противоречий с законом сохранения энергии, конечно, нет, так как позади тела энергия суммарного поля равна нулю и мощность отсюда не уно­ сится ни первичным, ни рассеянным полем: уносят энергию только отраженные лучи, и они уносят как раз столько, сколько приносит к телу первичная волна.

К потоку частиц такой подход был бы неприменим: отсутствие частиц позади тела нельзя истолковать как результат интерферен­ ции двух одинаковых полей разного знака. Для частиц рассеяние

что лучевые картины вообще не зависят от длины волны. Пока длина волны мала по сравнению

со всеми характерными размерами тела, суммарный поток мощ­ ности рассеянной волны равен двойному потоку мощности первич­ ной волны, падающему на тело.

Рассеяние волн телами, сравнимыми с длиной волны, — наибо­ лее трудная задача. Она может быть решена только для простей­ ших случаев: рассеяние на шаре, диске, эллипсоиде и некоторых других телах. Такие задачи, а также нахождение деталей струк­ туры поля рассеяния большими препятствиями относятся к теории дифракции; в этой книге они не рассматриваются.

Поскольку рассеяние волн малыми препятствиями сильно зависит от соотношения между длиной волны звука и размерами препятствия, будем рассматривать только рассеяние гармони­ ческих волн. Частота гармонической волны, рассеянной на не­ подвижном препятствии, не меняется. Рассеяние волн с произволь­ ной зависимостью от времени можно найти при помощи метода Фурье: путем разложения первичной волны на гармонические, нахождения рассеяния каждой гармонической компоненты в от­ дельности и последующего суммирования рассеянных полей всех частот. Ввиду зависимости рассеяния от длины волны спектр рассеянных волн вообще отличается от спектра первичной волны и, кроме того, может оказаться различным для разных направле­ ний наблюдения.

В заключение этого параграфа приведем формулы допплеров­ ского сдвига частоты рассеянного звука при движении рассеива­

теля. В качестве первичного поля возьмем плоскую бегущую волну и воспользуемся гюйгенсовой картиной вторичных волн.

Обозначим через Ѳ угол между скоростью препятствия и и первичной волной р, через Ѳ' — угол между и и рассеянной вол­ ной р' (рис. 109.2). Тогда препятствие «принимает» волну (см. § 43), изменяя ее частоту в отношении (1 — М cos Ѳ) : 1, и «переизлучает» волну, изменяя частоту в отношении 1 : (1 — М cosO'), где М = и!с— число Маха для движения препятствия. В итоге, обозначая частоту первичной волны через со, найдем, что частота со' рассеянных волн различна для разных направлений наблюдения и выражается формулой

В частности, при наблюдении в направлениях 0' = ±0 сдвиг частоты равен нулю.

§ ПО. Малое препятствие, отличающееся от среды только сжимаемостью

Пусть на малое препятствие объема Q с той же плотностью, что и среда, но со сжимаемостью ß', отличной от сжимаемости ß среды, падает волна частоты со. Тогда степень сжатия препят­ ствия отличается от степени сжатия, которая была бы у элемента среды, вытесненного препятствием.

Так как препятствие мало, то можно считать, что оно нахо­ дится в однородном поле давления; поэтому приращение его объема равно —ßß'p, где р — давление в первичной волне в месте на­ хождения препятствия.

Соответственное приращение для элемента среды в объеме пре­ пятствия составило бы —ßßp. Таким образом, препятствие соз­

монопольного источника совпадает с полем, рассеянным препят­ ствием.

С другой стороны, так как плотности препятствия и среды равны, то в целом препятствие движется вместе с окружающей средой, т. е. покоится относительно окружающей среды; поэтому рассеяние дипольного типа отсутствует. Мы считали, что сжатие тела происходит в статическом режиме, т.- е. синфазное давлением в первичной волне. Мы увидим, однако, что, несмотря на малость тела по сравнению с длиной волны как в среде, так и в материале препятствия, иногда деформация препятствия оказывается не­ статической. Тогда придется изменить расчет (см. §§ 112, 113). В этом параграфе мы считаем, что эти исключительные условия не имеют места.

354

Согласно (87.4) рассеянное поле ps равно

д = - р и Ч і ( Р - Р ' ) р ^ . = - И і ( і - | - ) Р 4 ^ . (ІЮ-1)

где г — расстояние от рассеивателя до точки наблюдения. Рас­ стояние г должно быть большим по сравнению с размерами рас­ сеивателя. Рассеиваемую данным препятствием мощность найдем по формуле (90.4)

частоты зв ка. Форма и ориентировка тела относительно первич­ ной волны оказываются, в отличие от рассеяния на большом пре­ пятствии, несущественными: рассеяние определится только дав­ лением первичной волны, объемом тела и различием в сжимае­ мости тела и среды. В стоячей волне рассеяние зависит и от по­ ложения препятствия: в пучности давления рассеяние макси­ мально, в узлах отсутствует, а в промежуточных точках принимает промежуточные значения. Мощность рассеянного излучения про­ порциональна квадрату амплитуды волны в данной точке.

Эффективность, с которой данное препятствие рассеивает па­

этих двух величин, имеющее размерность площади, называют сечением рассеяния данного препятствия. Как мы видели, для тел, больших по сравнению с длиной волны, сечение рассеяния равно двойной «миделевой» площади сечения тела, перпендикулярного к направлению падения волны. В рассматриваемом случае малого препятствия получим

с поперечным сечением па2 самой сферы: их отношение есть ма­ лая величина (4/9) (ka)*. Соотношение такого же порядка полу­ чилось бы и для тела другой формы и при сжимаемости, не рав­ ной нулю *).

*) Важное исключение рассмотрим в § 112.

Любопытно отметить, что, например, для капли тумана диа­ метром 25 микрон сечение рассеяния при частоте звука 100 гц равно примерно одному барну (ІО- 2 , 1 см2) — величине, характер­

по сравнению с размерами тела, сечение рассеяния имеет порядок площади сечения тела. Зависимость сечения рассеяния от длины волны обусловлена волновой природой звука: для частиц сечение рассеяния данного тела всегда совпадает с площадью его попе­ речного сечения. Можно привести аналогии и для других волно­ вых движений. Так, торчащая из воды свая не рассеивает морские волны, которые как бы огибают сваю с обеих сторон. Но позади длинного волнолома вода спокойна — волны рассеиваются эффективно, так как волнолом велик по сравнению с длиной волны.

Другой пример: в лесу видно на очень небольшое расстояние — для малой длины волны света сечение рассеяния листа равно двой­ ной его площади. Но звук в лесу слышен далеко: сечение рассея­ ния для относительно длинной звуковой волны — это малая доля площади листа. Еще пример: в густом тумане видно только «на расстояние вытянутой руки», но слышно так же далеко, как и в ясную погоду. Поэтому-то до изобретения радиолокации устрой­ ства для создания мощных звуковых сигналов (сирены и т. п.) были необходимой частью маячного оборудования и сохраняют свое значение еще и теперь. Да и радиолокационным волнам туман не оказывает большой помехи именно потому, что длина волны велика по сравнению с каплями тумана.

Впоследних замечаниях мы стали делать заключения о рас­ сеянии звука многими малыми препятствиями, чем еще по су­ ществу не занимались. Частотная зависимость поля, рассеиваемого многими препятствиями, — та же, что и для одного препятствия. Покажем, что при хаотическом расположении препятствий сум­ марная рассеянная мощность равна мощности, рассеиваемой оди­ ночным препятствием, умноженной на общее число препятствий. Здесь следует различать два случая. Если расстояния между со­ седними препятствиями велики по сравнению с длиной волны, то, как видно из § 97, мощности, рассеиваемые отдельными препят­ ствиями, которые мы рассматриваем как «вторичные излучатели», просто'складываются.

Вслучае же «микронеоднородных» сред (см. § 19) — сред, содержащих множество препятствий, расположенных на расстоя­ ниях, малых по сравнению с длиной волны, — картина рассея­ ния совершенно другая. В самом деле, если бы препятствия рас­ полагались с постоянной концентрацией, совершенно равномерно, например в виде периодической решетки, то никакого рассеяния бы не было (хотя, как мы видели в § 19, наличие препятствий ска­ жется на скорости звука). Это ясно хотя бы из того, что боковые спектры мелкомасштабной решетки — быстро затухающие неод­

356

нородные волны (см. § 35). В оптике подобную ситуацию описы­ вают так: в правильном кристалле световые волны, рассеиваемые каждой молекулой в отдельности, уничтожают друг друга всюду, кроме направления первичной волны.

Нас, однако, интересует случай хаотического расположения препятствий, когда их концентрация постоянна только в среднем. Это можно представить себе как наложение на равномерное рас­ пределение со средней концентрацией некоторой флуктуации концентрации. Рассеяние обусловлено только этой флуктуацией.

Среднеквадратичная флуктуация числа рассеивателей в объеме,

заключающем в среднем N рассеивателей, равна У N. Если этот объем мал по сравнению с длиной волны, то все «лишние» или «недостающие» рассеиватели работают синфазно и, согласно

ствием. Что же касается соседних малых объемов, то, поскольку флуктуации в разных объемах независимы, мощности, рассеивае­ мые такими объемами, просто складываются. В итоге оказывается, что и в случае тесного (но хаотического) расположения препят­ ствий мощность, рассеиваемая каждым из них, в среднем такая же, как и при разнесении их на большое расстояние друг от друга: в среднем каждое препятствие всегда рассеивает столько же, как если бы других препятствий вовсе не было.

Сказанное позволяет характеризовать микронеоднородную среду удельным сечением рассеяния, определяющим рассеивающую способность единичного объема рассеивающей среды. Именно, если в единице объема имеется п рассеивателей, характеризую­ щихся сечением рассеяния ст, то единичному объему можно при­ писать удельное сечение рассеяния па. Бегущая волна с плот­ ностью потока мощности W потеряет в виде рассеянных волн на единице длины пробега мощность naW.

к экспоненциальному закону убывания волны при ее распрог странении.

Поэтому, обнаружив на опыте, что волна убывает по мере распространения по экспоненциальному закону, еще нельзя решить, вызвано ли это затухание действием рассеяния или пог­ лощением звуковой энергии.

357•

§ 111. Малое препятствие, отличающееся от среды только плотностью

Степень сжатия такого препятствия та же, что и окружающей среды, поэтому оно не создает монопольного рассеяния. Но ско­ рость препятствия отличается от скорости окружающих частиц среды: если плотность р' препятствия больше, чем плотность среды, то оно отстает от частиц среды, а если его плотность меньше, чем у среды, то оно обгоняет частицы. В результате препятствие движется относительно среды и поэтому создает в среде излучение дипольного типа. Это излучение и есть поле, рассеиваемое данным препятствием.

При малых размерах препятствия можно считать, что оно движется относительно среды, как в несжимаемой жидкости. Пусть скорость частиц в звуковой волне в месте расположения препятствия есть ѵ. Можно считать, что жидкость колеблется вблизи препятствия как целое. Скорость тела обозначим через и. При неравенстве плотностей она отличается от скорости среды. Скорость движения тела относительно среды равна и—ѵ. Следо­ вательно, рассеянное поле совпадает с излучением, которое созда­ вало бы данное тело, двигаясь в неподвижной среде со скоростью и — V . Поэтому, определяя силу диполя и само рассеянное поле, можем воспользоваться уравнениями (106.3) и (106.4), заменяя в них заданную скорость тела относительно среды пока неизве­

нение движения тела. Если бы оно двигалось со скоростью окру­ жающей среды, то сила, действующая со стороны среды, равня­ лась бы массе среды в объеме тела, умноженной на ускорение,

т. е. pQVj. К этому надо добавить реакцию среды, вызванную дви­

358

виде::

Отсюда найдем, интегрируя по времени, такое же соотношение

Решим эти уравнения относительно неизвестных компонент скорости тела. Умножая обе части уравнения (111.4) на тензор nja,

Таким образом, компоненты скорости тела — линейные однород­ ные функции от компонент скорости частиц среды в месте нахож­ дения препятствия, причем коэффициенты — вещественные числа. Следовательно при прямолинейных траекториях частиц среды (например, в однородной плоской волне) тело также будет коле­

Направление колебаний тела и направление силы диполя рас­ сеяния различны. Эти направления совпадают только для трех взаимно перпендикулярных направлений падения волны — на­ правлений главных осей тензора присоединенных масс. Выбирая оси координат параллельными этим направлениям, получим из (111.5)

Здесь (*!, (х2. Мз— значения компонент (Ху, для главных осей. Амплитуда колебаний тем больше, чем меньше собственная масса рассеивающего тела. Для тела в виде тонкой пустой обо­

в которых компонента тензора присоединенных масс мала. Поэтому амплутуды колебаний могут сильно различаться при различных направлениях падения волны на тело, особенно при сильной сплюснутости («тарелка») или вытянутости («игла»). Скорость велика при падении волны вдоль иглы или в плоскости тарелки и мала (примерно равна скорости среды) при падении перпенди­

359