книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Соответственное значение радиальной скорости найдется по фор­ муле

д2М (t —г/с)

(105.2)

dt2

Как и в гармоническом случае, можно показать, что поле (105.1) можно получить в результате осцилляций твердой сферы. Как легко найти из граничных условий, соответственная скорость сферы радиуса а равна

'ч

При достаточно малом радиусе сферы, т. е. таком радиусе, при котором последующие члены разложений по аіс малы по сравне­ нию с предыдущими, формулы можно упростить, ограничиваясь только старшими членами по отношению к радиусу сферы. С точ­ ностью до членов, содержащих аіс в степени не выше четвертой, скорость сферы равна

Отсюда с такой же точностью найдем

М (t) = 2ла3 [и(0 + 4 - ? - т ] *

а также

В выражении для Ф первые два члена в скобках соответствуют реактивной нагрузке: их работа в среднем за достаточно большой промежуток времени равна нулю. Последний член в скобках дает активную часть нагрузки: его работа составляет излученную

340

энергию. Излучаемую мощность можно записать в таком виде

Главный член реактивной нагрузки обусловлен присоединен­ ной массой: он равен массе среды в половинном объеме сферы, умноженной на ускорение сферы. Эта часть нагрузки сохранится в несжимаемой жидкости, в которой активный член и излучаемая мощность обратятся в нуль. Если пренебрегать активной нагруз­ кой, то придем к приближенным формулам, пригодным с большой точностью при движении малой сферы:

М (і) «=* 2зта3и (t),

Можно ввести и «силу диполя» F как силу, сообщающую ско­ рость и «замороженной» сфере, выделенной в данной среде. Как и для гармонического случая, найдем

г»_огТл__ дМ Р = ЗФ = р ж .

Следовательно, звуковое поле негармонического диполя можно записать в виде

§ 106. Осцилляции и излучение звука малым твердым телом под действием сторонней силы

В предыдущих параграфах мы изучили излучение, создавае­ мое малой жесткой сферой, осциллирующей в жидкости с задан­ ной скоростью. Мы показали также, что при нахождении дви­ жения сферы заданной массы влияние реакции среды' можно учесть, добавляя к фактической массе сферы «присоединенную массу».

341

Поставим теперь те же задачи для малого тела произвольной формы: определим его излучение, если известна скорость его осцилляций, и найдем скорость осцилляций тела, если известна сторонняя сила, на него действующая. Решив эти две задачи, мы сможем найти излучение, создаваемое малым твердым телом, на которое действует заданная сторонняя сила. Движение среды вокруг движущегося тела произвольной формы не удается найти в явном виде, как мы это сделали для сферы. Поэтому обе постав­ ленные задачи допускают только частичное решение.

Для решения поставленных задач не требуется знать движение среды во всех деталях: достаточно знать реакцию среды на движе­ ние тела. Так же как и для малой сферы, реакция среды на движе­ ние малого тела любой формы практически не зависит от сжи­ маемости среды. Поэтому при определении этой реакции будем считать среду несжимаемой, а излучение будем находить ко­ свенным образом — по модулю силы, с которой тело действует на среду.

Как мы видели выше, для определения реакции среды на задан­ ное движение сферы достаточно знать только одну величину: присоединенную массу среды. Для тела любой другой формы такой одной величины нет: реакция среды существенно зависит от формы тела и от его ориентировки относительно направления его движения. Так, при движении плоской фигуры плашмя реак­ ция велика, а при движении ребром — мала. Покажем, что реак­ цию при движении по любому направлению для тела любой формы можно найти, если знать шесть величин, зависящих от формы этого тела. Рассмотрим этот вопрос в общем виде.

Пусть в несжимаемой среде, покоящейся на бесконечности, данное твердое тело совершает гармонические колебания *) вдоль какой-либо прямой. Как известно пз гидродинамики, движение, возникающее в идеальной несжимаемой жидкости при перемеще­ нии в ней твердого тела, является потенциальным и полностью определяется скоростью тела в данный момент. При этом ампли­ туда колебаний частиц среды пропорциональна амплитуде ско­ рости колебаний тела и не зависит от частоты: компоненты ско­ рости частиц являются линейными однородными функциями компонент скорости тела с коэффициентами, зависящими от

В дальнейшем удобно пользоваться тензорными обозначе­ ниями. Пусть скорость тела есть вектор и7-. Кинетическую энер­ гию среды можно записать в виде

Т= âjiUjU[.

*) Пользуясь результатами предыдущего параграфа, нетрудно провести все

рассмотрение и для произвольного движения тела.

■ 342

Коэффициенты а-а зависят от формы и величины тела и от направ­ ления выбранных осей и пропорциональны плотности среды. Обозначая ац -f- ац = цуг, можем переписать эту формулу в виде

Так как кинетическая энергия среды инвариантна по отноше­ нию к преобразованию координат, а вектор и,- произволен, то система коэффициентов [д. у 7 образует тензор. Очевидно, тензор ,u/f симметричен и, следовательно, определяется шестью величинами. Его называют тензором присоединенных масс тела. Будем считать, что тензор присоединенных масс для данного тела известен. Для частного случая сферического твердого тела тензор присоединен-

ных масс — диагональный тензор 8ц-2^-ла3р-, его диагональные

компоненты по любой оси равны присоединенной массе сферы. Зная тензор присоединенных масс, можно найти силу Фу,

с которой тело, движущееся с данным ускорением, действует на среду. Действительно, работа этой силы должна равняться при­ ращению кинетической энергии среды (внутренняя энергия не­ сжимаемой среды не меняется). Мощность силы равна Ф;иу. Приравнивая ее производной по времени от кинетической энергии, получим

вектор, то, согласно известной теореме векторной алгебры, должна быть

Очевидно, сторонняя сила Ф*, сообщающая погруженному телу данное ускорение, сложенная с реакцией среды, равна массе-

Уравнение (106.2) выражает равенство сторонней силы Ф/, действующей на тело, произведению тензора эффективной массы, на вектор ускорения тела; (106.2) есть обобщение второго закона Ньютона на тела, погруженные в жидкость: реакция среды при­ водит к тому, что эффективная масса приобретает тензорный.

343-

характер. Для погруженной сферы эффективную массу можно попрежнему рассматривать как скаляр.

Если плотность тела равна плотности среды, то сторонняя сила, сообщающая телу данное ускорение, равна

где й — объем тела. Но в этом случае можно считать, что сила

приложена прямо к среде, и следовательно, Ф;- есть сила ди­ поля F/. Отсюда следует, согласно (102.7), что в среде создастся излучение

Теперь решим обратную задачу: найдем движение, совершаемое данным телом под действием заданной сторонней силы. Восполь­ зовавшись (106.4), мы сможем после этого решить и задачу об излучении, создаваемом телом под действием данной сторонней силы.

Итак, пусть на данное тело действует сторонняя сила Ф;*. Неизвестные компоненты ускорения тела под действием этой силы найдем из уравнений (106.2). В тензорных обозначениях решения этих уравнений записываются очень просто при помощи тензора Пц, обратного тензору эффективной массы. Этот обратный тензор определяется соотношениями

Умножая уравнение (106.2) на nja, найдем неизвестные ускорения в виде

Отсюда, согласно (106.3), найдем силу диполя Ff.

Наконец, подставляя в (106.4), найдем и излучаемое поле:

Пользуясь (106.5) и (106.6), можно переписать выражение для силы диполя так, чтобы роль различия в массе тела и массе вытес­ няемой им жидкости выступила более наглядно. Действительно,

Ff = (р6 Уа + р/а) па1ф‘ + (рй — р) 6 /апа/Ф* =

= б//Ф/ + (р^ — р) Ф/fy/i

■ 344

Полученные формулы решают все поставленные задачи до конца, за исключением одного пункта: как же найти тензор при­ соединенных масс для тела данной формы? Общего ответа на этот вопрос дать нельзя. В этом и заключается смысл сделанной выше оговорки о частичном решении поставленной задачи. Для некото­ рых простейших форм тела — сферы, эллипсоида, тонкого ди­ ска — аналитические выражения для компонент тензора получить удается, но для любой формы тела задачу решить можно только приближенно, при помощи численных методов, либо экспери­ ментально, определяя ускорение тела, погруженного в данную среду, при воздействии известной силы.

Из полученных формул следует, что векторы сторонней силы, силы диполя й ускорения тела вообще не совпадают по направле­ нию. Из (106.9) или (106.10) видно, что при равенстве массы тела массе вытесняемой им жидкости сила диполя совпадает со сторон­ ней силой; но даже в этом случае ускорение тела вообще направ­ лено не по оси диполя. В общем случае произвольной формы и любой массы тела все три вектора совпадают по направлению только для трех взаимно перпендикулярных направлений дей­ ствия сторонней силы — главных направлений тензора присоеди­ ненных масс. Для этих направлений (обозначим соответственные оси через х х, х 2 и х3) отличны от нуля только диагональные ком­ поненты тензора присоединенных масс; будем обозначать их соот­ ветственно і*!, р,а, р3.

Относя движение к главным направлениям, легко составить себе наглядное представление о движении тела и об излучении им звука при различных соотношениях между плотностями тела и среды и при различной форме тела. По отношению к главным

Компоненты вектора ускорения'выразятся в этой системе коорди­ нат формулами

Для тела очень большой массы по сравнению с массой вытес­ ненного объема и компонентами тензора присоединенных масс

345

направления ускорения тела и силы диполя близки к направле­ нию сторонней силы. Чем больше масса тела, тем при данной сто­ ронней силе меньше сила диполя, а значит, и мощность излучения. Если масса тела р. больше массы вытесненного объема среды рй, то сторонняя сила заданной величины создаст наибольшее излу­ чение, если она действует вдоль оси, соответствующей наибольшей из величин PJ , р 2, р3. В обратном случае (р < рй) излучение наибольшее для оси, соответствующей наименьшей из этих ве­ личин.

Особенно интересен случай очень легкого тела, когда его массой можно пренебречь по сравнению с массой вытесненной среды и с компонентами тензора присоединенных масс. Тогда

Если главная компонента тензора присоединенных масс для данного направления мала по сравнению с массой вытесненной среды (например, компонента для продольной оси тела в виде иголки), то сила диполя много больше сторонней силы и создаст излучение, большое по сравнению с излучением, создаваемым той же сторонней силой, приложенной непосредственно к среде.

эллипсоида равна нулю, то данная сторонняя сила, приложенная к нему вдоль большой оси, создаст излучение по амплитуде при­ мерно в 24 раза большее, чем при приложении силы в перпенди­ кулярном направлении. По сравнению с силой, приложенной к эллипсоиду с той же плотностью, что и среда, выигрыш в ампли­ туде для большой оси — в 48,6 раза и для малой оси — в 2,04 раза (по мощности излучения выигрыши соответственно в 2300 раз и в 4 раза).

При приложении данной силы к безмассовой сфере амплитуда излучаемого поля увеличится в 3 раза (по сравнению с приложе­ нием силы непосредственно к среде), а значит, мощность излуче­ ния — в 9 раз.

Напомним в заключение, что при р, = рй сила диполя совпа­ дает со сторонней силой и ось диполя направлена вдоль сторонней силы. Скорость же тела и при этом условии имеет вообще другое направление, если только сторонняя сила не совпадает с одной из главных осей тензора присоединенных масс.

§ 107а Вращающийся диполь

Рассмотрим вращающийся диполь: источник звука в виде сферы радиуса а, обращающейся равномерно по окружности со скоро­ стью и. Примем, что радиус сферы мал по сравнению с длиной волны излучаемого звука и что радиус окружности обращения

346

мал по сравнению с радиусом сферы. Движение сферы есть супер­ позиция двух осцилляций по двум взаимно перпендикулярным диаметрам окружности обращения, происходящих со сдвигом фаз в четверть периода. Излучение сферы будет, следовательно, обра­ зовано суперпозицией полей двух диполей со взаимно перпенди­ кулярными осями, имеющих частоту, равную угловой скорости обращения сферы, и работающих со сдвигом фаз в четверть пе­ риода. Рассмотрим поля этих диполей в плоскости обращения. Поле первого диполя запишем, отсчитывая угол ф в плоскости обращения от оси этого диполя:

і k r — I

P i = i p a - 2 n a 3u —4 Я Г 2 е ік г cos Ф ■

она получается вращением единичной окружности вокруг своей касательной (рис. 107.1). Это — тор с нулевым просветом. «Дипольность» теперь относится к отклонению от плоскости, а не от оси: дипольные «восьмерки» получаются при сечении характеристики плоскостями, перпендикулярными к плоскости обращения.

Фаза излученного поля бежит не только вдоль радиусов-век­ торов, но и по азимуту: следы фронтов волн на каком-либо круго­ вом конусе с осью, перпендикулярной к плоскости обращения, образуют спиральные витки с постоянным шагом вдоль любого радиуса-вектора. Перемещение фронтов соответствует вращению вокруг своей оси конуса с нанесенными на него следами фронтов, с угловой скоростью обращения сферы. В плоскости обращения сферы фронты образуют архимедовы спирали. Представить себе распространение такой волны можно, начертив на'картонке архи­

347

медову спираль и приведя ее во вращение в своей плоскости во­ круг центра.

Аналогичную формулу для поля можно получить и для излу­

При этом не обязательно, чтобы сила вращающегося диполя была приложена все время в одной точке: тот же результат — вращаю­ щийся диполь — получится, например, при вращающейся силе, точка приложения которой обегает окружность, малую по сравне­ нию с длиной волны, так что сила составляет постоянный угол с радиусом-вектором точки приложения силы. При наличии не­ скольких сил, обегающих с теми же угловыми скоростями ту же или разные окружности, силой вращающегося диполя будет век­ торная сумма всех сил (здесь требуется, чтобы вся область прило­ жения сил была мала по сравнению с длиной волны).

§ 108. Дипольное излучение малых тел, осциллирующих с большой амплитудой. Дипольное излучение вращающихся тел

ленное в § 1 0 1 относительно малости смещений малой осцилли­ рующей сферы по сравнению с ее радиусом, и ограничиться тре­ бованием малости смещения только по сравнению с длиной волны. То же относится, конечно, и к дипольному излучению осцилли­ рующих несферических тел. В идеальной среде всегда можно пользоваться формулами (101.7) (для сферы) и формулами (106.4) и (106.8) для тел любой формы.

Оговорка об идеальности среды относится к вычислению поля диполя по известной скорости тела. Дело в том, что в неидеальной (вязкой) среде картина обтекания не позволяет выразить реакцию среды через присоединенные массы: жидкость прилипает к телу, увлекающему за собой пограничный слой. Для малых частичек это приводит как бы к увеличению эффективного размера части­ чек; для больших (по сравнению с толщиной пограничного слоя) тел при больших амплитудах смещений наблюдается отрыв погра­ ничного слоя с образованием вихрей, кавитационных каверн и т. п. Тогда расчет по формулам § 106, содержащим скорость тела, делается невозможным. Но даже и в этих случаях сила ди­ поля выражается формулой (106.10) через стороннюю силу, дей­ ствующую на тело, и ускорение, получаемое телом, и дипольное излучение можно найтиНю формуле (1 0 2 .6 ), несмотря на полное

348

искажение гидродинамического поля вблизи самого колеблюще­

гося тела.

Эти же соображения применимы и для вращающихся диполей, создаваемых обращающимися телами, при радиусах обращения, малых по сравнению с длиной волны, но не обязательно малых по сравнению с размерами самого тела. Этот случай важен, напри­ мер, при расчете излучения вращающихся винтов и пропеллеров. Каждая лопасть винта, вращающегося в свободной среде—это, согласно вышесказанному, вращающийся дипольный источник. Векторы сил, действующих на лопасти, равны сторонам правиль­ ного многоугольника. Поэтому векторная сумма сил, действую­ щих на среду со стороны винта, равна нулю, а следовательно, равна нулю и сила диполя винта в целом: дипольное излучение отсутствует. Но если винт работает вблизи корпуса корабля, то появляются силы, не уравновешиваемые на всех лопастях: это — силы, действующие, например, при прохождении лопасти вблизи ахтерштевня или пера руля, и силы, связанные с неоднородностью потока воды, обтекающей винт. Эта сила, появляющаяся пооче­ редно на каждой лопасти, и образует дипольный источник. Основ­ ная частота этого дипольного источника определяется угловой скоростью вращения винта, умноженной на число лопастей; бу­ дет наблюдаться также дипольное излучение кратных частот. Реально в море действительно наблюдается так называемый дис­ кретный спектр шума корабля, состоящий из этих частот. Ось диполя такого типа расположена горизонтально.

Наконец, при вращении одной лопасти, или вообще при обра­ щении какого-либо тела по окружности, излучение представляет собой вращающийся диполь. Его излучение выражается формулой

P = — F ік[~ г 1 е* <*г+ф>cosѲ,

где F — сила диполя — утроенная величина силы, действующей со стороны вращающегося тела на среду. «Восьмерочная харак­ теристика» направленности в этом случае вращается с той же угло­ вой скоростью, что и тело. На каждой плоскости, перпендикуляр­ ной к оси вращения, фронты волны оставляют след в виде вращаю­ щейся архимедовой спирали.

\