книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Для малой осциллирующей сферы момент, а значит, и поле диполя остаются неизменными, если изменять радиус и скорость сферы так, чтобы величина иа3 оставалась неизменной: можно уменьшить объем осциллирующей сферы, увеличив во столько же раз ее скорость (и обратно), не меняя излученного поля. Прибли­ женное значение касательной скорости частиц на поверхности сферы равно V2wsin Ѳ, так что относительная скорость скольже­ ния частиц относительно поверхности осциллирующей сферы равна

противоположном направлении (Ѳ = л). В сечении плоскостью, проходящей через ось диполя, характеристика имеет вяцкардиоиды (1 + cos Ѳ)/2 (рис. 101.2). Такой «кардиоидный излучатель» можно в принципе реализовать при помощи одной сферы, совершающей одновременно пульсации и осцилляции с соответственно подобран­ ными амплитудами. При ka < 1 суммарное давление на поверх­ ности сферы приближенно равно

рг=а = — /рсоМ e ika [(1 — ika) cos Ѳ— ihn].

Первый член в скобках — вклад диполя, второй — монополя. По амплитуде вклад монополя — малая добавка по сравнению с вкладом диполя. Но она приводит, тем не менее, к большому изменению характеристики направленности излучателя.

330

В настоящее время большое внимание уделяется вопросу об определении характеристики направленности различных сложных излучателей по измерениям их поля вблизи излучателя: такие измерения, естественно, проще, чем измерения на большом расстоя­ нии, где характеристика уже образовалась. Рассмотренный пример показывает трудность этой задачи: малые погрешности измерения ближнего поля давлений данного излучателя могут привести к рез­ кому отличию расчетной характеристики направленности от фак­ тической.

§ 102. Присоединенная масса диполя. Сила диполя

Найдем, с какой силой нужно действовать на безмассовую сферу данного радиуса а, чтобы сообщать ей данную скорость и. Требуемая сила — это взятая с обратным знаком реакция среды на движущуюся сферу, и ее можно найти непосредственно, инте­ грируя давление, создаваемое сферой, по всей ее поверхности. Преобразуя (101.4), найдем давление на поверхности сферы в виде

Вследствие симметрии поля достаточно учитывать только состав­ ляющую сил давления вдоль оси диполя: перпендикулярные к оси симметрии компоненты сил давления взаимно уничтожаются. Искомая сила, с которой сфера действует на среду, найдется по формуле

Ф = I pr=a cos ѲdS,

.s

где интегрирование распространено на всю поверхность S сферы. Реакция среды на сферу равна, очевидно, —Ф.

Поскольку давление одинаково во всех точках одной параллели (Ѳ = const), в качестве элемента интегрирования можно взять полоску между двумя близкими параллелями, считая переменной интегрирования полярный угол. Площадь такой полоски равна

331

Отсюда находим механический импеданс безмассовой сферы, по­ груженной в жидкость:

Импеданс оказался комплексным: сила по фазе отличается от скорости. Реактивная часть импеданса отрицательна и, следова­ тельно, импеданс имеет массовый характер. Соотношение между реактивной и активной частью импеданса зависит от соотношения

тем, что нормальные скорости частиц на поверхности осциллиру­ ющей сферы убывают от полюсов к экватору (ср. § 97).

Практически наиболее важен противоположный предельный случай — малый радиус сферы по сравнению с длиной волны {ka -С 1). В этом случае в самом первом приближении, пренебре­ гающем сжимаемостью среды,

Пока нас интересует только модуль силы, погрешностью, обуслов­ ленной отбрасыванием членов высших порядков по малой вели­ чине ka, можно пренебрегать.

Отметим, что скорости частиц вблизи сферы практически оди­ наковы при наличии и при отсутствии сжимаемости, а плотность кинетической энергии вблизи сферы в сжимаемой среде велика по сравнению с плотностью потенциальной энергии (потенциаль­ ная энергия равна нулю при отсутствии сжимаемости).

Если масса сферы отлична от нуля и равна, например, р, то для сообщения сфере той же колебательной скорости потребуется

332

добавить к силе Ф еще силу, равную массе сферы, умноженной на ее ускорение, т. е. силу, сообщающую ту же скорость сфере вне среды.

Следовательно, результирующая сторонняя сила Ф *, сооб­ щающая погруженной сфере массы р, скорость и, должна быть равна

лирующей сферы в несжимаемую жидкость как бы увеличивает массу сферы на величину (2/3) 'яа3Р, равную массе среды в поло­ винном объеме сферы. Эту эффективную добавку к массе назы­ вают присоединенной массой осциллирующей сферы. Кинетиче­ ская энергия присоединенной массы, колеблющейся со скоростью и, равна, как легко проверить, кинетической энергии несжимаемой жидкости при колебании погруженной в нее сферы со ско­ ростью и. Динамическое поведение погруженной сферы при осцил­ ляциях таково, как если бы на нее навесили эту присоединенную массу.

Аналогично, хотя и более сложно влияет реакция среды и на тела другой формы (см. § 106). Собственная частота колебаний груза, закрепленного на пружине, понижается при погружении груза в жидкость, и по изменению частоты можно йайти присоеди­ ненную массу. Аналогично меняется частота колебаний маятника данной длины при погружении в среду. При точных определениях силы тяжести по наблюдению качаний маятника присоединенную массу воздуха приходится учитывать; по сравнению с качаниями в вакууме период колебаний маятника в воздухе увеличен.

Мы нашли силу, с которой следует действовать на малую сферу в несжимаемой среде, чтобы сообщить ей данную колебательную скорость. Учет сжимаемости, как сказано выше, почти не меняет силу. Поэтому можно найти излученное поле, пользуясь най­ денным значением силы для несжимаемой среды, в которой излучения нет. При помощи уравнений (100.3) и (102.4) можно выразить поле малой осциллирующей сферы через силу Ф или силу Ф *:

р-J—2 Рі ^ 4кг

Если плотность материала сферы равна плотности среды (так будет, если сфера образована «замороженным» участком среды), то сторонняя сила, которую будем в этом случае обозначать через F, равна

333

и поле выражается через эту силу так:

В дальнейшем будем также пользоваться тензорной записью этой формулы:

Силу F будем называть силой диполя. Если сила диполя на­ правлена вдоль оси X, то

Мы видим, что силу диполя можно считать сторонней силой, прилагаемой непосредственно к среде: малую сферу, выделенную в среде, считаем отвердевшей и к ней и прикладываем силу. Полу­ чающееся звуковое поле не зависит от размера этой сферы, а только от приложенной извне силы.

Замечательно, что выражение для поля излучения, создаваемого силой, приложенной к сфере, малой по сравнению с длиной волны, удается написать, исходя из величины силы, возникающей при движении сферы в несжимаемой среде, т. е. в среде, в которой излу­ чения нет. Выясним, какая при этом делается погрешность. Сохраняя в (102.3) член следующего порядка малости по ka, найдем более точные выражения для сил:

Ф = — і- 1- ла3 ро)и [ 1 + і ~Y (ka)3j ,

(102.9)

F = — і2яа3рсои ^ 1+ i -g- (ka)3^ .

Таким образом, переход к несжимаемой среде приведет к отно­ сительной ошибке в модуле сил порядка всего (ka)6 (абсолют­ ная погрешность в фазе сил получится порядка (ka)3). Соответ­ ственно сила диполя, создающая в несжимаемой среде скорость и,

создаст при наличии сжимаемости скорость и 1 — i-^-(foz)3J .

Малая ошибка в амплитуде всегда несущественна. Малая ошибка в фазе существенна только при подсчете излучаемой мощ­ ности: при пренебрежении малым мнимым членом получим, что сила и скорость имеют разные мнимости, что соответствует пол­ ному отсутствию излучения (см. § 104). В полученных уточнен­ ных выражениях главный член соответствует реактивной компо­ ненте силы, а малая добавка другой мнимости — активной ком­ поненте.

Для диполей можно поставить тот же вопрос, что был поставлен в § 93 для монополей: каково поле нескольких одновременно

334

работающих диполей? Как и там, необходимо раньше всего усло­ виться: что значит неизменная работа данного диполя при нали­ чии в среде других диполей? Мы будем считать по определению, что диполь работает неизменно, если сила диполя не изменилась. Будем считать, кроме того, что диполи «прозрачны» (ср. § 93). Тогда для полей диполей имеет место принцип суперпозиции.

Если к отвердевшей сфере приложить две силы и Г 2 оди­ наковой частоты и фазы, то сфера будет двигаться так, как если бы к ней была приложена равнодействующая F x + F 2 обеих сил, т. е. силы диполей складываются. Если силы действуют на две разные отвердевшие сферы, то при расстоянии между сферами, малом по сравнению с длиной волны, совместное действие сил также равно­ сильно одному диполю с силой jFx + F 2. Отсюда следует, что если в области, малой по сравнению с длиной волны, действуют синфазно сторонние силы одинаковой частоты F u F 2, F3, то в резуль­ тате будет создано дипольное излучение с силой результирующего диполя, равной равнодействующей всех сторонних сил Fx + /% +

ких точках), то дипольное излучение отсутствует: малое остаточное излучение имеет другую характеристику направленности, чем диполь (четырехлепестковую характеристику). Легко также ви­ деть, что по амплитуде вдали от места приложения сил остаточное поле относится к полю диполя, соответствующего одной силе F, как kL : 1, где L — расстояние между точками приложения сил -j-F и —F. Это полностью аналогично тому, что амплитуда поля двух одинаковых близкорасположенных противофазных монополей относится к амплитуде одиночного монополя с той же объемной скоростью так же как kL : 1 .

Из сказанного следует, что можно и не «замораживать» данный малый участок среды, к которому приложена данная сила. Ко­ нечно, движение отвердевшего участка отличается от движения жидкого участка, к которому приложены те же сторонние силы: жидкий участок деформируется под действием сил, а твердое .тело сохраняет свою форму и движется как целое. Тем не менее диполь­ ное излучение в обоих случаях одинаково: действительно, замо­ раживание участка жидкости равносильно добавлению сил упру­ гости, препятствующих относительному перемещению частиц данного участка. Но силы упругости — это внутренние по отно­ шению к участку силы, а равнодействующая внутренних сил всегда равна нулю. Несущественна также и форма (малого) участка, по которому распределена сила. Во всех случаях излученное поле определится формулой (1 0 2 .6 ); в частности, ось диполя направлена по равнодействующей сил.

335

Если же сторонние силы приложены не к самой среде, а к по­ груженному в нее телу другой плотности, чем среда, то эта сила не будет равна силе диполя и картина излучения будет другой и будет зависеть от того, является ли тело твердым, а если нет,— то от характера распределения сил по телу. Этот вопрос рассмо­ трим в § 106.

Интересный пример суперпозиции двух прямо противополож­ ных диполей — излучение камертона. В силу симметрии колеба­ ний ножек камертона результирующая сила, действующая с их стороны на воздух, равна нулю. Поэтому равно нулю и дипольное излучение. Слышен только остаточный слабый звук. Поворачивая камертон вокруг его оси, легко заметить, что характеристика направленности остаточного излучения имеет четыре максимума. Так как остаточное излучение мало, колебательная энергия ножек расходуется медленно и камертон звучит долго.

Другой интересный пример — акустическое поведение корабля, качающегося на волнении. Центр тяжести корабля при вертикаль­ ной качке то поднимается, то опускается. Следовательно, на него действует вертикальная сила со стороны воды, а по закону дей­ ствия и противодействия он действует на воду с равной противо­ положной силой. На первый взгляд эта сторонняя по отношению к воде сила должна вызывать излучение дипольного типа в воде, происходящее с частотой вертикальной качки корабля. В дей­ ствительности, однако, такое дипольное излучение корабля пол­ ностью отсутствует. Дело в том, что морское волнение само по себе не создает излучения звука в воду (см. § 33). Корабль же отличается, с акустической точки зрения, от вытесненного объема воды только неизменностью своей формы (тем, что корпус корабля — твердое тело). Механически форма поддерживается силами упру­ гости корпуса, т. е. внутренними силами. «Замораживая» вытес­ ненный объем воды, мы пришли бы к той же акустической ситуа­ ции. Но в этом случае, по сравнению с водой в отсутствие корабля, добавились бы только силы, в сумме дающие нуль, а они диполь­ ного излучения не создают.

§ 103. Влияние идеальных стенок на излучение диполя

Действие идеальной стенки на поле диполя можно заменить действием мнимого изображения диполя в плоскости границы как в зеркале, как это делалось в § 93 для монополя. Согласно сказанному в предыдущем параграфе силу диполя будем считать неизменной.

Чтобы найти мнимое изображение диполя, представим его в виде пары одинаковых противофазных монополей; тогда, отразив каждый из монополей в отдельности, получим отраженный диполь. Мнимое изображение диполя также есть диполь. На рис. 103.1 показаны случаи абсолютно жесткой и абсолютно мягкой стенок. Показаны как сами противофазные монополи, так и моменты

336

диполей. Компонента момента, параллельная стенке, отражается как монополь: синфазно от жесткой стенки и противофазно от мягкой стенки. Наоборот, нормальная компонента момента ди­

Практически первый случай — жесткая стенка — важен особенно для воздушной акустики, поскольку твердые тела и поверх­ ность воды могут считаться твердыми границами для воздуш­

компонента момента, перпендикулярная к стенке. Рядом с жесткой стенкой произвольный дипольный источник ведет себя как диполь с осью, параллельной стенке, а рядом с мягкой стенкой — как диполь с осью, перпендикулярной к стенке. Граница как бы пово­ рачивает характеристику направленности диполя, ставя ее ось параллельно границе в случае жесткой стенки и перпендику­ лярно — в случае мягкой стенки. Так, подводный диполь с любым направлением оси, расположенный на малом расстоянии от сво­ бодной поверхности воды, эквивалентен диполю с вертикальной осью: излучение цилиндрически-симметрично относительно вер­ тикальной оси и теряет направленность в •горизонтальной пло­ скости.

В частности, поле диполя, расположенного у жесткой стенки перпендикулярно к стенке, уничтожается его мнимым изображе­ нием, а поле диполя, параллельного стенке, удваивается. Вблизи свободной границы картина обратная: сила, приложенная -к сво­ бодной границе перпендикулярно к ней, излучает двойное поле по сравнению с такой же силой в неограниченной среде, а сила, приложенная параллельно границе, ничего не излучает.

337

Вблизи свободной границы теряет горизонтальную направлен­ ность не только дипольный излучатель, но и дипольный приемник. Например, дипольный гидрофон вблизи свободной поверхности воды не имеет направленности в горизонтальной плоскости и его’ характеристика направленности цилиндрически-симметрична от­ носительно вертикальной оси. И, вообще, горизонтальную на­ правленность теряет любая система излучателей или приемников, расположенная на расстоянии от свободной поверхности, малом по сравнению с длиной волны.

§ 104. Мощность излучения диполя

Мощность, излучаемую дипольным источником звука, можно рассчитать как поток мощности, уходящий от источника через замкнутую поверхность, окружающую источник, например сферу большого радиуса г, описанную из источника как из центра. При kr » 1 давление и радиальная скорость стремятся соответ­ ственно к величинам

Поле можно рассматривать локально как плоскую волну, бегу­ щую по радиусу; в частности, ріѵ = рс. Плотность потока мощности есть (1 /2 ) рѵп а полный поток мощности, выходящей через поверхность сферы, а значит, и мощность излучения ди­ поля найдутся интегрированием этой плотности по всей поверх­ ности сферы.

Таким образом, искомая мощность есть (ср. с (97.3))

Для случая, когда диполь образован малой сферой радиуса а, получим, пользуясь (101.6), (102.4) и (102.5), следующие выраже­

среднюю мощность силы диполя при ее воздействии на осциллиру­ ющую сферу. Эта мощность равна (Ѵ2) и RzF, что дает после под­ становки соответственных значений из (102.9) снова тот же ре­ зультат (104.2): J = (Чв)па2рс (ка)*иг.

Излучение диполя весьма мало эффективно даже по сравнению с излучением монополя: отношение1 активной части силы к реак­

338

чаемая малой осциллирующей сферой, относится к мощности, излучаемой пульсирующей сферой того же радиуса и с той же

То, что осциллирующая сфера (диполь) излучает много меньше, чем пульсирующая сфера (монополь), можно объяснить наглядно тем, что при осцилляциях разности давлений впереди и позади малой сферы успевают выравниваться местными потоками — перетеканием жидкости от мест с большим давлением к местам с меньшим давлением. При пульсациях же избыточное давление создается сразу по всей поверхности сферы,— жидкости перете­ кать «некуда».

Подобная же картина наблюдается и при колебаниях струн. Струны музыкальных инструментов почти не излучают воздушных звуковых волн и практически весь слышимый нами звук создан колебаниями деки, возбуждаемой струнами. Воздух не успевает обтекать большую деку, как он обтекает тонкую струну, и поэтому создаваемые декой сжатия передаются в воздух в виде волны, а не местных потоков.

§ 105. Негармонический дипольный источник

Мы видели, что поле гармонического дипольного источника можно рассматривать как производную поля гармонического мо­ нополя по координате точки, в которой расположен источник. Аналогично можно прийти к дипольному источнику негармони­ ческого типа, дифференцируя по координате источника поле не­ гармонического монополя.

В самом деле, возьмем в качестве объемной скорости монополя величину

V ( t ) = ^ M ( t ) ,

Дифференциал этого поля конечен: он соответствует полю двух монополей противоположных знаков, разнесенных на расстоя­ ние dx:

339