книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

Фибоначчи сыграла и его простота. Даже любитель, по­ знания которого в математике не выходят за пределы школьного курса арифметики, может изучать свойства ряда и доказывать нескончаемое множество интересней­ ших теорем. В последнее время интерес к ряду Фибо­ наччи вновь оживился в связи с поиском оптимальных методов программирования для ЭВМ. Оказалось, что числа Фибоначчи с успехом применяются при машинной сортировке и обработке информации, генерировании слу­ чайных чисел и в методах, позволяющих быстро нахо­

392

дить приближенные значения максимумов и минимумов сложных функций, производные которых не известны *.

В США с 1963 г. издается даже специальный журнал Fibonacci Quarterly, посвященный изучению чисел Фи­ боначчи и их различных обобщений (например, чисел «трибоначчи», образующих последовательность, каждый член которой равен сумме трех предыдущих), а также других «целых чисел, обладающих какими-либо спе­ циальными свойствами».

Наиболее замечательное свойство ряда Фибоначчи (разделяемое, впрочем, и обобщенными рядами Фибо­ наччи) состоит в том, что отношение двух последова­ тельных членов ряда попеременно то больше, то меньше отношения золотого сечения и с возрастанием номера члена ряда разность между его отношением к предыду­ щему члену ряда Фибоначчи и отношением золотого се­ чения стремится к нулю. Таким образом, отношение зо­ лотого сечения ф — знаменитое иррациональное число,

равное 1,61803 ... , можно представить в виде

Золотому сечению и тесно связанному с ним ряду Фибо­ наччи, их проявлениям в природе, приложениям к ис­ кусству, архитектуре и даже поэзии посвящена обшир­ ная литература. Профессор классической филологии Принстонского университета Дж. Дакуорт в своей книге «Структурные схемы и пропорции «Энеиды» Вергилия» утверждает, что Вергилий и другие римские поэты той эпохи сознательно использовали размеры, связанные с числами Фибоначчи. О золотом сечении и числах Фибо­ наччи уже рассказывалось в гл. 23 книги «Математиче­ ские головоломки и развлечения» **.

Числа Фибоначчи, пожалуй, удивительнее всего воз­ никают при подсчете числа семян в спиралях, образую­ щих «корзинку» подсолнуха. Как показано на рис. 223,

* Свойствам чиселФибоначчи и их многочисленным приложе­ ниям посвящена брошюра Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи» (изд. 2-е; дополненное, М., изд-во «Наука», 1964 — серия «Популярные лекции по математике», вып. 6) . — Прим, перев.

** См. также книгу Г. Вейля «Симметрия» (М., изд-во «Наука», 1968) и статью А. Д. Бенукидзе «Золотое сечение», опубликован­ ную в журнале Квант (1973, № 8, стр. 22—27). О связи золотого сечения с шестнадцатисложным стихом «шаири», которым написана поэма Шота Руставели «Витязь в тигровой шкуре», рассказывается на стр. 34 и 53 того же номера Кванта. — Прим, перев.

393

Р и с . 223. Корзинка подсолнуха с 55 логарифмическими спиралями, закручивающимися по часовой стрелке, и 89 логарифмическими спиралями, закручивающимися против часовой стрелки.

головка подсолнуха как бы соткана из логарифмических спиралей, образующих два семейства: к одному отно­

в семействах различно и приближенно совпадает с дву­ мя последовательными числами Фибоначчи. У подсол­ нуха средних размеров корзинка обычно содержит 34 спирали одного и 55 другого типа. У отдельных круп­ ных экземпляров число спиралей достигает 89 и 144, а в корзинке одного гигантского подсолнуха насчитали 144 правых и 233 левых спиралей!

Тесная связь между отношением золотого сечения и числами Фибоначчи становится понятной, если п-е чис-

394

л о Ф и б о н а ч ч и п р е д с т а в и т ь в в и д е

Эта формула позволяет точно вычислять любое число Фибоначчи, но при больших п выкладки становятся до­ вольно громоздкими, хотя, воспользовавшись таблицами логарифмов, можно получить хорошее приближение Fn. Впрочем, вычислить Fn можно гораздо проще: для этого достаточно возвести в n-ю степень отношение золотого

сечения ф, разделить полученное число на У 5, а резуль­ тат округлить до ближайшего целого числа. Обе фор­ мулы для Fn не рекуррентные: они позволяют вычислять Fn непосредственно по номеру п. Рекуррентный же ал­ горитм состоит из ряда шагов, каждый из которых использует предыдущие шаги. Простейший пример рекур­ рентного алгоритма мы получим, вычисляя Fn по фор­ муле

Fn = Fn- } + Fn- 2 (при п > 3).

Сумму л первых членов ряда Фибоначчи лучше всего находить, вычитая единицу из Fn+2. Например, чтобы ответить на вопрос «Чему равна сумма 20 первых чисел Фибоначчи?», нужно взять F22, равное 17 711, и вычесть из него 1. Таким образом, искомая сумма равна 17 710.

Назовем еще несколько хорошо известных свойств чи­ сел Фибоначчи. Большинство из них доказывается со­ всем просто.

1. Квадрат любого числа F п на единицу отличается от

Как и многие другие свойства ряда Фибоначчи, это чере­ дование знаков оказывается общим свойством обобщен­ ного ряда Фибоначчи, начинающегося с любых двух целых чисел. Разность между квадратом члена обобщен­ ного ряда Фибоначчи и произведением предыдущего и последующего членов равна постоянной, знак которой при переходе от п к п + 1 меняется на противоположный. Простейший из обобщенных рядов Фибоначчи 1, 3, 4, 7, 11, 18 ... (называемый рядом Люка) имеет постоянную разность, равную 5.

2. Сумма квадратов любых двух последовательных

.членов ряда Фибоначчи Fn и F2n+i равна Fln+i '• F\ +

395

-+■ Fn+i = Fin+i- Индекс последнего числа должен быть четным. Это следует из более общей теоремы о сумме квадратов последовательных членов ряда Фибоначчи, которая всегда равна квадрату некоторого числа Фи­ боначчи с нечетным индексом.

3.Для любых четырех последовательных членов ряда Фибоначчи А, В, С и D справедливо соотношение С2—-

—Л2 — AD.

4.Последние цифры чисел Фибоначчи образуют пе­ риодическую последовательность с периодом 60. Если от

каждого числа Фибоначчи брать по две последние циф­ ры, то они также образуют периодическую последова­ тельность с периодом, равным 300. Периодичность на­ блюдается и в последовательностях, образованных тре­ мя, четырьмя, пятью и т. д. последними цифрами ряда Фибоначчи. Для трех цифр период равен 1500, для че­ тырех— 15 000, для пяти— 150 000.

5. Для любого целого числа т существует бесконечно много чисел Фибоначчи, делящихся на т без остатка, причем по крайней мере одно такое число — среди т 2 первых членов ряда Фибоначчи.

6. Каждое третье число Фибоначчи делится на 2, ка­ ждое четвертое — на 3, каждое пятое — на 5, каждое ше­ стое— на 8 и т. д. (делители сами образуют ряд Фи­ боначчи). Последовательные члены ряда Фибоначчи, так же как и последовательные члены ряда Люка, просты,

число 253 просто и.индекс его, равный 13, также прост). Иначе говоря, если индекс числа Фибоначчи выражается составным (непростым) числом, то и само число Фибо­ наччи составное. К сожалению, обратное утверждение справедливо не всегда: простой индекс отнюдь не озна­ чает, что соответствующее число Фибоначчи просто. Первым контрпримером служит Е19 = 4181. Индекс его прост, но само число разлагается на множители, отлич­ ные от 1: 4181 — 37 ^>< 113.

Если обратная теорема выполнялась во всех без исключения случаях, то был бы решен самый трудный из вопросов о числах Фибоначчи, ответ на который пока остается неизвестным: существует ли бесконечно много простых чисел Фибоначчи? Мы знаем, что простых чисел

896

бесконечно много, поэтому если бы числа Фибоначчи с простыми индексами были просты, то и простых чисел Фибоначчи было бы бесконечно много. Пока же никто не знает, существует ли наибольшее простое число Фи­ боначчи (то есть обрывается ли последовательность про­ стых чисел Фибоначчи или продолжается неограниченно далеко).

8.Если исключить тривиальные случаи 0 и 1 (0 рас­ сматривается как число Фибоначчи с нулевым индек­ сом: Е0 = 0), то единственным квадратом среди чисел Фибоначчи является F 12 = 144. Любопытно, что оно сов­ падает с квадратом своего индекса. Долгое время не удавалось установить, существует ли Fn > 144, которое было бы полным квадратом. Вопрос был отрицательно решен в 1963 г. английским математиком Дж. Коном. Он также показал, что числа 1 и 4 являются единственными квадратами среди членов ряда Люка.

9.Величину, обратную Ец = 89, можно получить, вы­ писав подряд после запятой члены ряда Фибоначчи и сложив их следующим'образом:

0,0112358

13

21

34

55

89

144

233

0,011235955040673 . . . = 1/89

Перечень свойств чисел Фибоначчи можно было бы продолжать еще долго. Не менее обширным было бы перечисление примеров того, как ряд Фибоначчи возни­ кает в различных физических и математических задачах. (В гл. 17 настоящей книги мы уже отмечали его «появ­ ление» на диагоналях треугольника Паскаля.) В 1963 г. Лео Мозер занялся изучением путей, проходимых лучом света, наклонно падающего на две сложенные вместе стеклянные пластинки. Луч, не претерпевший ни одного

397

Р и с . 224. Задача об отражении наклонно падающего луча света от двух стеклянных пластинок.

отражения, проходит сквозь пластинки по одному пути (рис. 224). Если луч претерпевает одно отражение, то возникают два пути. При двух отражениях число путей равно трем, при трех — пяти. При больших значениях числа отражений числа возможных путей образуют ряд Фибоначчи: при п отражениях число путей равно Е„+2.

Та же последовательность возникает и при рассмот­ рении различных путей, по которым пчела может пол­ зать по сотам (рис. 225). Соты простираются вправо как угодно далеко. Предположим, что пчела всегда пере­ ползает из одной ячейки на соседнюю справа. Нетрудно видеть, что из ячейки, в которой пчела изображена на рис. 224, в ячейку 0 ведет один путь, в ячейку 1 — два пути, в ячейку 2 — три пути, в ячейку 3 — пять путей

398

и т. д. Так же как и в задаче об отражении луча света, при п ячейках число возможных путей равно Fп+2.

Рассмотрим теперь «фибоначчиев ним» — игру, изо­ бретенную несколько лет назад Робертом Гаскеллом. Для игры в фибоначчиев ним нужно взять п фишек (ка­ мешков, пуговиц, монет и т. п.). Играющие делают ходы по очереди. Тот, кто открывает игру, не может забрать все фишки, но, начиная со второго хода, каждому из игроков разрешается забирать любое число фишек, если при этом не нарушаются следующие правила. При оче­ редном ходе каждый игрок должен взять не менее одной фишки, но не более удвоенного числа фишек, взятых его противником при предыдущем ходе. Например, если один игрок во время предыдущего хода взял три фишки, то его противник следующим ходом может взять не боль­ ше шести фишек. Выигрывает тот, кто берет последнюю фишку.

Если число фишек в начале игры совпадает с одним из чисел Фибоначчи, то тот из игроков, кто делает вто­ рой ход, всегда может выиграть, в противном случае выигрывает игрок, делающий первый ход. Предположим, что в начале игры имеется 20 фишек (20 — «нефибоначчиево» число). Сколько фишек должен взять на первом ходу игрок, открывающий игру, чтобы обеспечить себе выигрыш?

С числами Фибоначчи связан и следующий малоиз­ вестный прием «молниеносного» устного счета. Повер­ нувшись к зрителю спиной, попросите его написать одно под другим любые два числа и, сложив их, получить третье число, равное сумме первых двух. Подписав третье число под вторым и сложив последние два числа, зритель получит четвертое число и т. д. до тех пор, пока у него не образуется столбик из 10 чисел — отрезок обобщенного ряда Фибоначчи, у которого любой член,

Р и с . 225. Задача о пчеле, ползающей по сотам.

Д л я п я ч ее к с у щ е с т в у е т F л + 2 р азл и ч н ы х п утей .

Если число фишек в начале игры совпадает с одним из чисел Фибоначчи, например с F 12 = 144, то второй игрок всегда может выиграть. Действительно, ничто не мешает первому игроку, откры­

Таким образом, первый игрок вынужден, открывая игру, забирать столько фишек, чтобы число оставшихся фишек не совпадало ни с одним из членов ряда Фибоначчи. Но тогда второй игрок заве­ домо обеспечит себе выигрыш, следуя стратегии, которая ранее обеспечивала выигрыш первому игроку.

Докажем, что сумма первых десяти членов любого обобщен­

1.а

8.8 а + 1 3 6

9.13а+ 216 10, 21а+ 346

55а + 886

Ясно, что 55а + 886 = 11 (5 а+ 86). Обратите внимание на то, что коэффициенты при а и 6 образуют две последовательности Фи­ боначчи.

ГЛАВА 33

НОВЫЕ ИГРЫ: «ГОНКИ», «СИМ» И «ЩЕЛК!»

Среди многочисленных математических игр, появив­ шихся в последнее время, особое место занимают игры в имитацию, моделирующие самые разнообразные явле­ ния в природе и в обществе: вооруженные конфликты, загрязнение окружающей среды, операции на бирже, размножение микроорганизмов и т. д.