книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

13X 14= 70+ 12+ 100= 182

Ри с . 215. Умножение на пальцах чисел от 11 до 15.

Умножив на 10 число нижних пальцев на обеих руках, получим 70. Вместо того чтобы прибавить к 70 произве­ дение числа верхних пальцев на каждой руке, мы вычис­ ляем произведение числа нижних пальцев на каждой руке 3 X 4 = 12 и прибавляем его к 70. Наконец, к по­ лученной сумме требуется прибавить постоянную — чис­

проще всего («на пальцах») можно объяснить, если снова воспользоваться умножением биномов;

Первое слагаемое — аддитивная постоянная, равно 100, за ним идет 70 — умноженное на 10 число нижних пальцев на обеих руках, и 12 — произведение числа ниж­ них пальцев на левой руке на число нижних пальцев на правой руке.

Для чисел из пятерок, в которых последнее число заканчивается нулем, правила умножения по существу такие же, как для чисел от 6 до 10, только число ниж­ них пальцев на обеих руках умножается на другой ко­

372

эффициент и аддитивная постоянная имеет другое зна­ чение. Например, при умножении 17 на 19 (рис. 216) число нижних пальцев на обеих руках следует умножать на 20, а постоянная равна 200. Записав оба сомножи­ теля в виде биномов, получим

100+ 160 + 63 = 3 2 3

Если слагаемые в последней сумме распределить не­ сколько иначе, а именно (100 + 100) + (60 + 60) + 3, то число 323 можно будет представить в виде 200 + 120 + 3. Первое слагаемое 200 означает постоянную, слагаемое 120 — умноженное на 20 число нижних пальцев на обеих руках, а последнее слагаемое 3 — произведение числа верхних пальцев на правой и левой руке в отдельности.

Для чисел от 1 до 50 коэффициенты, на которые над­ лежит умножать число нижних пальцев на обеих руках, и константы указаны в таблице. Если последнее число пятерки, в которую попадают интересующие нас числа, оканчивается нулем, то умножение производится по пер­ вой схеме, учитывающей верхние пальцы (так же как числа, заключенные в интервале от 6 до 10). Для чисел,

Р и с . 216. Умножение на пальцах чисел от 16 до 20.

873

Таблица коэффициентов и аддитивных постоянных для умножения на пальцах чисел от 1 до 50

попадающих в пятерку, в которой последнее число окан­ чивается цифрой 5, умножение производится по второй схеме, игнорирующей верхние и учитывающей лишь ниж­ ние пальцы (по этой схеме мы умножали числа, заклю­ ченные в интервале от 11 до 15). Коэффициент, на ко­ торый умножается число нижних пальцев на обеих руках, для первой схемы равен 10d (d — номер десятка), для второй 10{d — 1). Постоянная для первой схемы (пятерок, последнее число которых оканчивается нулем) равна I00d (d — 1), для второй схемы (пятерок, послед­ нее число которых оканчивается цифрой 5)— 100 (с?— I)2.

Существуют формулы, позволяющие не различать пятерки, оканчивающиеся нулем, и пятерки, оканчиваю­ щиеся цифрой 5. Можно воспользоваться, например, сле­ дующим алгебраическим тождеством:

(а + х)(а + у) =

= 2а{х + у) + {а — х){а — у),

374

переписав его в виде

(а + х)(а + у) = = а{х + г/) + ху + а2,

где х и у — последние цифры сомножителей, а число а — первое число пятерки — принимает значения 5, 10, 15, 20, 25, 30..........

Можно ли умножать на пальцах числа, принадлежа­ щие различным пятеркам, например 17X64? Оказы­ вается, можно. Правда, при этом число нижних паль­ цев на левой и на правой руке приходится умножать на различные коэффициенты, вследствие чего весь метод не­ сколько усложняется. Кроме того, большое число всегда можно разбить на несколько меньших, с которыми вы­ числительная машина «ручного» действия легко справ­ ляется, произвести умножение, а затем сложить резуль­ таты. Например, произведение 9 X 13 на пальцах можно

образом, на руке у жителей Венеры, вероятнее всего, 3 пальца.

на пальцах в двоичной системе число п (как это делается, мы уже объясняли), разогнем все согнутые пальцы и, наоборот, согнем все пальцы, остававшиеся прямыми, что соответствует замене всех еди­ ниц нулями и всех нулей единицами. Прочитав новое число, «отло­ женное» на пальцах, получим ответ.

ГЛАВА 31

БУЛЕВА АЛГЕБРА, ДИАГРАММЫ ВЕННА И ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ *

Основателем формальной логики по праву считается Аристотель, хотя основное внимание он уделил рассмот­

* Полезным дополнением к этой главе может служить книга С. Г. Гиндикина «Алгебра логики в задачах», М., изд-во «Наука», 1972. — Прим, пгрев.

375

рению силлогизмов. Сейчас, когда логика переживает «вторую молодость» — период бурного развития — и сил­ логистика давно уже отошла на задний план, трудно

кнутой и завершенной теории».

«Приступая к силлогистическому выводу, — ирони­ чески заметил однажды Бертран Рассел,— вы должны заранее знать, что все люди смертны и что Сократ — че­ ловек. Отсюда вы делаете совершенно неожиданный для себя вывод о том, что Сократ смертен. Подобная форма умозаключений встречается на практике, хотя и чрезвычайно редко».

Далее Рассел говорит о единственном примере ис­ пользования силлогистического вывода, о котором ему когда-либо приходилось слышать. В 1901 г. редакция философского журнала Mind, выходящего в Англии, вы­ пустила специальный рождественский номер, не содер­ жавший ни одной серьезной статьи. Все материалы но­ мера носили юмористический характер. Это были шут­ ки, пародии, литературные мистификации и т. п.

Получив рождественский выпуск журнала и обна­ ружив в нем какое-то объявление, один немецкий фи­

я могу настоятельно посоветовать вам лишь одно: не изучайте традиционную логику. На нее стоило тратить силы во времена Аристотеля, но тогда и птолемеева астрономия была вполне достойна изучения».

Поворотный пункт в истории логики наступил в 1847 г., когда Джордж Буль (1815—1864), ученый-само­ учка, сын бедного английского сапожника, опублико­ вал статью «Математический анализ логики». Эта и не­ которые другие работы принесли Булю известность, и он, не имея ученой степени, получил приглашение за­ нять должность профессора математики в Куинз-Кол- ледж ирландского города Корка. Там он написал свой знаменитый трактат «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и

376

вероятности», вышедший в свет в 1854 г. в Лондоне. Основная идея труда — замена всех слов, употребляе­ мых в формальной логике, символами — высказывалась и до «Исследований законов мышления», но Буль был первым, кому удалось разработать практически пригод­ ную систему. У его современников (как математиков, так и философов) столь замечательное достижение не вызвало особого интереса. Не этим ли, в частности, объ­ ясняется крайне сочувственное и терпимое отношение Буля к чудакам, не признанным официальной наукой того времени? Об одном из таких чудаков — жителе го­ рода Корка по имени Джон Уолш — Буль написал статью, опубликованную в журнале Philosophical Ma­ gazine. Известный английский логик Август Де Морган назвал эту статью Буля «единственной биографией са­ мого необычного героя, о которой ему когда-либо при­ ходилось слышать».

Немногие современники, сумевшие по достоинству оценить гений Буля (среди них особое место занимает немецкий математик Эрнст Шрёдер), быстро усовершен­ ствовали несколько неуклюжие обозначения, предложен­ ные самим Булем. Впрочем, все «пороки» первоначаль­ ного варианта системы Буля были обусловлены стремле­ нием ее автора сделать систему как можно более похожей на традиционную алгебру. В настоящее время, говоря о булевой алгебре, математик имеет в виду абстрактную систему символов, свойства которой описываются аксио­ матически. Современная булева алгебра представляет собой не что иное, как упрощенный вариант системы, предложенный Булем в 1854 г.

Булеву алгебру, так же как и все другие абстракт­ ные алгебры, можно интерпретировать множеством различных способов. Сам Буль интерпретировал свою систему в духе Аристотеля как алгебру классов и их отношений, но, выйдя за узкие'рамки силлогистики, зна­ чительно расширил старую логику классов. Поскольку математики давно отказались от первоначальных обо­ значений, принятых в работе Буля, булеву алгебру в настоящее время принято записывать в обозначениях теории множеств. Под множеством современные мате­ матики понимают то же, что Буль подразумевал, го­ воря о классе: любой набор «индивидуальных» элемен­ тов, рассматриваемых как единое целое. Множество

877

может быть конечным (например, множество чисел 1, 2, 3; жителей штата Небраска с зелеными глазами; вер­ шин куба; планет солнечной системы или любое другое множество, все элементы которого перечислены в списке конечных размеров). Множество может быть бесконеч­ ным (таково, например, множество всех четных чисел и, быть может, множество всех звезд во Вселенной). Выделим некоторое конечное или бесконечное множе­ ство и будем рассматривать все его «собственные под­ множества» (в их число входит само множество и пустое множество, не содержащее ни одного элемента). Определив на «множестве всех собственных подмно­ жеств данного множества» операцию теоретико-мно­

Множества, подмножества и их элементы принято обозначать буквами. Универсальное множество (самое большое из рассматриваемых множеств) обозначают буквой U, пустое множество — символом 0 . Объедине­ ние, или сумма, множеств а и b (все элементы, содер­

менно множеству а и множеству Ь) записывается в виде а Г) Ь. Так, пересечение множеств чисел 1, 2, 3 и 3, 4, 5 состоит из числа 3. Если два множества а и b «равны» (например, множество нечетных чисел совпадает с множеством чисел, дающих при делении на 2 остаток 1), то между их символами ставят знак равенства: а — Ь. Дополнение множества а — все элементы универсаль­ ного множества, не принадлежащие множеству а, обо­ значают символом а'. Так, если универсальным множе­ ством выбран набор чисел 1, 2, 3, 4, 5, то дополнением множества чисел 1, 2 служит множество чисел 3, 4, 5.

Для сравнения приведем первоначальную булевскую символику. Элементы классов, классы и подклассы Буль обозначал буквами, универсальный класс — единицей,

378

рые не принадлежат одновременно а и Ь. Объединение классов во «включительном» смысле — как класс эле­ ментов, принадлежащих по крайней мере одному из классов-слагаемых, — впервые ввел английский логик и экономист Джевонс. Интерпретация Джевонса оказа­ лась намного удобнее и стала впоследствии общеприня­ той.) Пересечение классов а и b Буль обозначал а X Ь, равенство — символом а — Ь, знаком минус — вычитание (изъятие) элементов одного множества из другого мно­ жества. Дополнение множества х Буль записывал в виде 1— х. Для включения одного класса в другой специаль­ ного символа не было, но то, что все элементы класса а являются в то же время элементами класса b (в совре­

зить с помощью изящных диаграмм, или кругов, на­ званных в честь предложившего их английского логика Венна. Круги Венна используют для наглядного изобра­ жения в булевой алгебре топологических свойств пло­ скости. Пусть два перекрывающихся круга обозначают объединение двух множеств (рис. 217). В качестве од­ ного множества выберем множество однозначных чи­ сел, в качестве другого — множество 10 первых простых чисел. Прямоугольник, охватывающий оба круга, соот­ ветствует универсальному множеству. Часть прямо­ угольника, лежащая вне кругов, закрашена в темный цвет. Она. соответствует пустому множеству — пустому потому, что других чисел, кроме тех, которые находятся

сумму двух рассматриваемых множеств. Общая часть кругов содержит пересечение множеств — простые одно­ значные числа 2, 3, 5 и 7.

Условимся всегда закрашивать в темный цвет или заштриховывать пустое множество. Посмотрим, каким образом диаграмма Венна с тремя кругами позволяет

379

Ри с . 217. Изображение объединения двух множеств (теоретико­ множественной суммы) с помощью диаграммы Веяна.

доказывать древний силлогизм, столь презрительно про­ цитированный Расселом. Пусть круги обозначают соот­ ветственно множества людей, смертных и Сократов (по­ следнее множество — единичное, оно содержит лишь один элемент). Первую посылку «Все люди смертны» мы изобразили на диаграмме, заштриховав ту часть множества людей, которая лежит вне множества смерт­ ных, чтобы показать, что эта часть множества людей пуста (рис. 218, слева). Вторую посылку «Сократ — че­ ловек» мы изобразим на диаграмме, заштриховав ту часть множества Сократов, которая лежит вне множе­ ства людей (рис. 218, справа). Проверим, верно ли за­ ключение «Сократ смертен». Мы видим, что множество всех Сократов (та часть круга, которая отмечена точ­ кой) лежит внутри круга, содержащего множество всех смертных. Следовательно, заключение силлогизма пра­ вильно. Так, используя топологические свойства простых замкнутых кривых, мы получили метод построения диа­ грамм, изоморфный булевой алгебре множеств.

Мысль о другой необычайно важной интерпретации булевой алгебры высказал еще сам Буль. Он заметил, что если сопоставить истинным высказываниям единицу, а ложным — нуль, то его систему можно будет распро­ странить на высказывания, которые принимают лишь два значения истинности, то есть могут быть либо истинными, либо ложными. Сам Буль не осуществил

380

намеченную программу. Ее выполнили последователи Буля, создавшие исчисление высказываний. Этот раздел математической логики занимается изучением высказы­ ваний, которые могут быть либо истинными, либо лож­ ными и соединены бинарными («двухместными») связ­ ками типа «Если р, то <?», «Либо р, либо q, но не оба», «Либо р, либо q, либо оба», «Если и только если р, то q», «Не р и не q» и т. д. В таблице на стр. 381 по­ казано соответствие между обозначениями булевой ал­ гебры множеств и вычисления высказываний.

Соответствие между обозначениями двух интерпретаций булевой алгебры:

исчисления высказываний и булевой алгебры множеств

Изоморфизм, существующий между булевой алгеб­ рой множеств и исчислением высказываний, нетрудно понять на примере уже рассмотренного нами силлогиз­ ма о Сократе. Вместо того чтобы переводить посылку «Все люди смертны» на язык теории множеств, мы за­ меним ее двумя высказываниями, соединенными связ<

381