книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

что племена с ограниченным запасом слов для обозна­ чения чисел владели довольно хитроумными способами счета на пальцах рук и ног, привлекая порой и другие части тела. Например, вместо того чтобы запоминать слово, означающее 15, первобытный человек мог запом­ нить, что он остановился на большом пальце левой ноги.

Системы счисления, принятые у первобытных наро­ дов, как правило, имеют основание 5, 10 или 20. По еди­ нодушному мнению всех антропологов (разделявшемуся таким авторитетом, как Аристотель), это связано с тем, что у человека на одной руке — 5 пальцев, на двух ру­ ках— 10 и на руках и на ногах — 20 пальцев. Из общего правила имеются довольно многочисленные исключения. Некоторые автохтонные * культуры в Африке, Австра­ лии и Южной Америке используют двоичную систему. Реже встречается троичная система. Так, одно из племен в Бразилии пользуется при счете тремя суставами каж­

на промежутках между пальцами.

Пятеричная система счисления (с основанием 5) была распространена гораздо шире, чем все остальные. На многих языках «пять» и «рука» либо полностью сов­ падают, либо тесно связаны с общим более древним словом. Например, «пенча» по-персидски означает «ру­ ка», а «панча» на санскрите означает «пять». Индейцы племени таманакос в Южной Америке употребляют для обозначения числа 5 то же слово, что и для обозначения «всей руки». Слово «шесть» по-таманакски означает «один палец на другой руке», семь — «два пальца на

21— «один на руке у другого индейца». «Два индейца» означают 40, «три индейца» — 60. У жителей древней Явы и у ацтеков продолжительность недели составляла

* Коренные. — Прим, перед.

362

5 дней. Некоторые историки считают, что римское число X (десять) составлено из двух римских пятерок V' (одна из них перевернута), а число V в свою очередь возникло из стилизованного изображения человеческой руки.

Во многих языках слова, служащие для обозначения чисел, нередко совпадают с названиями пальцев рук, ног или других частей человеческого тела. Так, англий­ ское слово digit (цифра) происходит от латинского слова finger — палец и свидетельствует о том, что англо­ саксы на ранних этапах своего развития считали на пальцах. Здесь также имеются довольно забавные ис­ ключения. На языке маори число 4 обозначается тем же словом, что и собака. Вероятно, это связано с тем, что у собаки четыре ноги. На языке вымершего племени южноамериканских индейцев абипонес слово 4 означало «птичью лапу» — «три пальца впереди и один сзади».

Системы счисления с основаниями 6 и 9 у первобыт­ ных племен встречаются чрезвычайно редко. По-види­ мому, это объясняется тем, что, когда у людей возникала потребность называть числа больше 5, они обычно на­ чинали считать не на одной, а сразу на двух руках и принимали десятичную систему счисления. Основание 10 использовали древние китайцы, египтяне, греки и римляне. Одной из достопримечательностей математики древнего мира по праву считается шестидесятеричная система, заимствованная вавилонянами у шумеров. С по­ мощью этой системы древние вавилоняне достигли заме­ чательных успехов в математике. Принятое нами деле­ ние часа на 60 минут, минуты — на 60 секунд и наши угловые меры — отзвуки вавилонской шестидесятерич­ ной системы. В настоящее время наиболее распростра­ ненным (даже среди наиболее отсталых племен) яв­ ляется основание 10. Как показало произведенное в 20-х годах обследование 70 африканских племен, все они пользовались десятичной системой счисления.

Если основанием системы служит число больше 5, то оно редко бывает простым. Так, в «Кратком очерке истории математики» У. У. Роуза Болла, опубликован­ ном в 1908 г., упоминается семеричная система счисле­ ния западноафриканского племени бола и одиннадцатеричная система древних маори. Широкое распростране­ ние получили двадцатеричные системы, среди которых особое место занимает система майя. Создатели ее

363

Рис . 211. Сложение двух чисел в «венерианских» обозначениях.

использовали нуль и позиционные обозначения, поэтому система майя была одной из лучших систем счисления, принятых в древнем мире, и оставляла далеко позади неуклюжую римскую систему. Отзвуки двадцатеричной системы и поныне встречаются в таких языках, как французский (в котором число 80 передается, как quatre-vingts — «четырежды двадцать»), английский и в особености датский, где числительные представляют со­ бой любопытную смесь десятичной и двадцатеричной си­ стем.

Очевидная связь между основаниями 5 и 10 наиболее распространенных систем счисления и числом пальцев на одной и двух руках навела многих писателей-фанта- стов на мысль о том, что основания систем счисления внеземных цивилизаций также должны быть связаны с числом пальцев обитателей других планет.

Представим себе, что телекамера ракеты, совершив­ шей посадку на поверхность Венеры, передает на Землю «пример на сложение», нацарапанный кем-то из абори­ генов на расположенной вблизи от места посадки скале, который показан на рис. 211. Предположим, что жители Венеры так же, как и мы, пользуются позиционной си­ стемой обозначений, а в качестве основания выбрала число пальцев на руке. Спрашивается, сколько пальцев на руке у жителя Венеры?

364

В настоящее время общепринятой является десятич­ ная система и человечество вряд ли откажется от нее в пользу системы с каким-нибудь другим основанием, не­ смотря на то что, например, двенадцатеричная система обладает рядом преимуществ по сравнению с ней. Так, основание двенадцатеричной системы имеет 4 делителя, в то время как основание десятичной системы лишь два. Двенадцатеричная система находила немало горя­ чих приверженцев на протяжении веков. Рядом преиму­ ществ, в основном с точки зрения специалистов по тео­ рии чисел, обладают системы счисления с простым основанием. В пользу систем с основанием 7 и 11 вы­ сказывался, например, известный французский матема­

сятичную систему, считая на пальцах, — писал в конце прошлого века американский математик В. Джонсон.— Мы же, если учесть достоинства восьмеричной системы, должны испытывать чувство глубокого сожаления от того, что наши предки не пропускали больших пальцев, хотя природа достаточно ясно выделила их среди про­ чих пальцев руки как бы для того, чтобы уберечь чело­ веческий род от возможной ошибки.»

Рассказывая о недесятичных системах счисления в гл. 36 книги «Математические досуги», я упомянул о странной номенклатуре, разработанной двумя мате­ матиками, отдававшими предпочтение шестнадцатерич­ ной системе счисления. К этому следует добавить, что восьмеричная (или смешанная двоично-восьмеричная)

5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е и F составляет важную часть языка некоторых современных вычислительных уст­ ройств».

Первобытные племена отличаются одно от другого не только выбором основания системы счисления, но и спО’ собами счета. Большинство людей — «правши», они луч­ ше владеют правой рукой, поэтому счет обычно начи­ нается с пальцев левой руки. У одних племен счет

365

ведется по раз и навсегда установленному порядку, у других — меняется от случая к случаю. Считая, люди мо­ гут начинать с большого пальца или мизинца, дотраги­ ваться до соответствующего пальца левой руки указа­ тельным пальцем правой руки, загибать пальцы на левой руке или, наоборот, начать с пальцев, сжатых в кулак, и разгибать их по мере счета. На Андаманских островах, расположенных в Бенгальском заливе, местные жители начинают счет с мизинца и дотрагиваются до называе­ мых пальцев левой руки кончиком носа. Жители одного из островов' в Торресовом проливе между Австралией и Новой Гвинеей считают до 5 на пальцах левой руки, затем, вместо того чтобы переходить на правую руку, дотрагиваются указательным пальцем правой руки до запястья левой руки, левого локтя, левого плеча, соска левой груди и грудины, после чего продолжают счет на правой половине тела, дотрагиваясь по очереди до соска правой груди, правого плеча и т. д. Математики обратили внимание на то, что те части тела, до которых при счете дотрагиваются, выражают порядковые номера (первый, второй, третий и т. д.) элементов пересчиты­ ваемого множества, в то время как вытянутые одновре­ менно пальцы выражают кардинальные числа (мощно­ сти) этих множеств.

Древние греки разработали сложную систему услов­ ных обозначений, позволяющую считать на пальцах от единицы до нескольких тысяч. Об этой системе упоми­ нает «отец истории» Геродот, но до нас о ней дошли лишь отдельные отрывочные сведения. Не менее слож­ ные системы «палечных» числовых обозначений, разра­ ботанные в древнем Китае и других странах Востока, сохранились до нашего времени и используются при за­ ключении сделок на базарах, когда запрашиваемую или предлагаемую цену нужно показать тайком от откружающих. Римская система обозначений чисел на паль­ цах описана многими древнеримскими авторами. В VIII в. преподобный Беде посвятил первую главу своего трак­ тата «О вычислении времени» (речь шла о вычислении различных знаменательных дат, и в частности даты важ­ нейшего христианского праздника пасхи) римской си­ стеме числовых обозначений на пальцах, которую он расширил, доведя до миллиона. (Миллион по Беде обо­ значали хлопком в ладоши.)

366

Р и с . 212. Иллюстрация из книги Луки Пачоли (1494 г.).

Счету на пальцах уделяло внимание большинство учебников арифметики в эпоху Средневековья и Воз­ рождения. На рис. 212 воспроизведена иллюстрация из первой итальянской математической книги, оставившей заметный след в истории науки. Она вышла в свет в 1494 г. Ее автор францисканский монах Лука Пачоли впоследствии написал книгу о золотом сечении, иллю­ страции к которой были выполнены его другом Лео­ нардо да Винчи. Именно эту систему числовых обозна­ чений имел в виду римский поэт Ювенал, когда писал в «Сатирах»: «Тот счастлив, кто... к концу годы свои

367

на правой считает руке», то есть счастлив тот, кто до­ живет до 100 лет (пальцы правой руки для обозначения сотен были нововведением системы, описанной в трак­ тате Пачоли). Каждый (или почти каждый) символ су­ ществует в двух зеркально-симметричных вариантах: для правой и для левой руки. Многие символы из-за плохого качества гравюры, не передающей мелких раз­ личий, кажутся одинаковыми. Обозначения чисел на пальцах порождали и некоторые мистические толкова­ ния. Так, число 30 считалось символом супружества: большой и указательный палец, образуя кольцо, знаме­ новали узы, связывающие мужа и жену. Число 60 счи­ талось символом вдовства: кольцо разрывалось.

Во всех старых методах счета на пальцах использо­ валась десятичная система счисления, однако ничто не мешает приспособить пальцы для счета в системах счис­ ления с любым другим основанием. Особенно легко «пе­ рестроить» нашу природную вычислительную машину для работы в простейшей — двоичной — системе: под­ нятый или опущенный палец можно сравнить с триггер­ ными устройствами тех современных ЭВМ, которые используют двоичную систему. В одном из возможных вариантов двоичного счета на пальцах в «нулевом» по­ ложении обе руки сжаты в кулак и обращены тыльной стороной ладоней вверх. Вытянутый палец соответствует единице (в соответствующем разряде). На пальцах рук можно «изобразить» любое двоичное число от 1 до 1111111111 (последнее число эквивалентно в десятич­ ной системе числу 1023). Единице соответствует вытяну­ тый мизинец правой руки, числу 10 (в двоичной си­ стеме)— вытянутый безымянный палец правой руки. Два вытянутых пальца — мизинец и безымянный — означают двоичное число 11 (или десятичное 3). На рис. 213 по­ казано, как выглядит отложенное на пальцах двоичное число 500. Немного попрактиковавшись, можно научить­ ся не только быстро откладывать на пальцах нужные двоичные числа, но и производить двоичное сложение и вычитание. Руки можно использовать и как вычислитель­ ную машину для решения не слишком сложных задач двузначной логики (при этом единица будет соответ­ ствовать истинным, а нуль — ложным высказываниям).

Любое двоичное число, записанное с помощью одних лишь единиц, в десятичной системе имеет вид 2h— 1,

368

изображения которого требуется вытянуть все 10 паль­ цев, равно 210— 1. В связи с этим возникает интересная задача. Предположим, что нам нужно вычесть из 1023 или любого меньшего числа, изображаемого «частоко­ лом» единиц, некоторое число п. Можете ли вы указать способ, позволяющий произвести вычитание на пальцах быстро и легко?

Поскольку в Средние века и в эпоху Возрождения лишь немногие знали таблицу умножения дальше, чем 5 X 5 — 25, и умели считать на абаке, было разработано множество простых методов, позволяющих получать про­ изведения чисел от 6 до 10. Один из наиболее употреби­ тельных методов, названный в одной книге 1492 г. «ста­ ринным правилом», заключался в использовании допол­ нений сомножителей до 10. (Дополнением числа п до 10 называется число 10 — п.) Чтобы умножить 7 на 8, по старинному правилу нужно было взять дополнения 7 и 8 до 10, то есть числа 3 и 2. Разность между любым из сомножителей и дополнением другого сомножителя до 10 равна 5 — числу десятков в произведении 7 на 8. Произведение самих дополнений 3 и 2 равно 6. При­ писав 6 справа к 5, находим ответ: 7 X 8 = 56.

Вспомогательным вычислительным устройством при таких выкладках нередко служили пальцы рук. Каждому пальцу на правой и на левой руке приписывали опреде­ ленное число: мизинцу — 6, безымянному пальцу — 7, среднему — 8, указательному — 9 и большому— 10. Что­ бы умножить 7 на 8, «семеркой» на одной руке касались

369

Э у 2 = 6

5 *10= 50

7x8 = 50+ 6= 56

4х 4= 16

У

7x1 0 = 70 + 0 = 70

Р и с . 214. Умножение на пальцах чисел от 6 до 10.

«восьмерки» на другой руке (рис. 214, вверху). Обра­ тим внимание на пальцы рук, оказавшиеся выше сопри­ коснувшихся пальцев 7 и 8. На правой руке выше «вось­

остальные — нижними. Число нижних пальцев на обеих руках указывает число десятков в ответе (в нашем слу­ чае их 5), произведение числа верхних пальцев на каж­

цах было распространено по всей Европе.

В настоящее время этот метод имеет большую педа­ гогическую ценность не только потому, что позволяет заинтересовать школьников младших классов, но и своей тесной связью с умножением биномов.

Вернемся к уже рассмотренному примеру — вычисле­

положив биномы один под другим, произведем умно­ жение:

5 + 2

х5 + 3

15 + 6

2 5 + 10

25 + 25 + 6 = 56

Два первых слагаемых в Последней строке состав­ ляют в сумме число нижних пальцев на обеих руках, умноженное на 10. Последнее слагаемое равно произ­ ведению верхних пальцев.

Умножение на пальцах нетрудно обобщить и на числа больше 10, хотя для тех пятерок чисел, у которых «замыкающее» число оканчивается на 5, правила при­ ходится слегка изменять. Рассмотрим, например, числа 11, 12, 13, 14 и 15. Пусть требуется вычислить произве­ дение 13X14. Распределив числа по пальцам так, как показано на рис. 215, коснемся «четырнадцатым» пальцем одной руки (какой именно — правой или ле­ вой, — безразлично) «тринадцатого» пальца другой руки.

371