книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

друг на друга части выкройки, в которую завернут куб, или нет, поэтому мы рассмотрим обе возможности.

Если выкройка подогнана точно и над каждой точкой заверну­ того в нее куба оказывается лишь один слой бумаги (иначе говоря, части выкройки нигде не перекрываются), то самый большой куб, какой только можно завернуть в выкройку, имеет длину ребра, рав­

ную 3/4 V 2 см.

Форма выкройки изображена на рис. 182. Пунктиром показаны линии сгиба.

Если выкройка сделана «с запасом» так, что части ее перекры­

чем в случае точно подогнанной выкройки! Более того, пересостав­ ляя (например, вырезая в одном месте и подклеивая в другом) части квадратного листа, можно построить выкройку, способную служить оберткой кубу с поверхностью, сколь угодно мало отличаю­ щейся от площади квадрата, из которого вырезают выкройку.

Один из способов получения более «емкой» выкройки состоит в том, что из квадратного листа бумаги вырезают «покрышки» для двух противоположных граней куба, а боковую поверхность куба заворачивают в ленту, склеенную из остатков квадратного листа с таким расчетом, чтобы части ленты как можно меньше заходили друг на друга. По словам автора этого решения, «предположив, что запас терпения у нас неограниченно велик, а толщина листа бу­ маги бесконечно мала, мы сумеем построить таким способом вы­ кройку, в которую можно завернуть куб, сколь угодно мало отли­

чающийся от заветного предела — куба с ребром в |^ 3/2 см».

312

Ри с . 183. Обертка для куба максимальных размеров.

Другой способ решения той же задачи состоит в построении увеличенной копии выкройки, изображенной на рис. 182 и позво­ ляющей заворачивать в один слой (без наложения частей) куб максимальных размеров. Способ построения выкройки показан на рис. 183. Увеличив центральный квадрат, мы тем самым увеличи­ ваем примыкающие к нему прямоугольники и угловые треуголь­ ники. Заштрихованные «уголки», разрезанные надлежащим образом, используются для наращивания угловых треугольников.

Поскольку площадь участков выкройки, налегающих друг на друга, можно сделать сколь угодно малой, этот метод позволяет получать выкройки, способные оборачивать лишь кубы, длина реб­

ра которых в пределе стремится к У 3/2 см.

3. Поскольку каждый из сидящих за столом либо лжец, либо правдолюбец и каждый утверждает, что сидящий слева от него лжец, число сидящих за столом должно быть четно, причем лжецы и правдолюбцы должны чередоваться. (Если бы число сидящих за столом было нечетно, то при любом способе размещения всегда найдется по крайней мере один член клуба, который будет утвер­ ждать, что его сосед слева правдолюбец.) Таким образом, когда президент сообщил, что в списке членов клуба числится 37 человек, он лгал. Отсюда следует, что секретарь, сидевший за столом рядом

313

с президентом, должен быть правдолюбцем. Поэтому названное им число членов клуба соответствует действительности.

Итак, «Клуб ЛП» насчитывает 40 человек.

4. Поскольку за каждую овцу братья получили столько долла­ ров, сколько овец в стаде, общая сумма их выручки составила п2 долларов, где п — число овец в стаде. Эту сумму они обменяли в банке на десятидолларовые банкноты и несколько серебряных дол­ ларов (число монет меньше 10).

Поскольку братья брали десятидолларовые купюры по очереди и первая и последняя купюры достались старшему брату, число де­ сятков в п2 должно быть нечетным. Квадрат любого числа, крат­ ного 10, содержит четное число десятков. Следовательно, последняя цифра числа п (п — число овец в стаде) должна быть такой, что квадрат ее содержит нечетное число десятков. Этому условию удо­ влетворяют лишь две цифры: 4 и 6 (их квадраты равны соответ­ ственно 16 и 36). Оба квадрата оканчиваются цифрой 6, следова­ тельно, число п2 (сумма денег, вырученных братьями от продажи стада) также оканчивается цифрой 6. Таким образом, после обмена денег в банке у братьев было 6 серебряных долларов. После того как младший брат взял себе серебряные доллары, старший остался ему должен 4 доллара. Следовательно, чтобы уровнять полученные доли наследства, старший брат выписал младшему чек на 2 дол­ лара.

5. При игре в тригекс победу одержит тот из игроков, кто де­ лает первый ход, но лишь в том случае, если, открывая игру, он занимает один из черных кружков (рис. 184). Независимо от пер­ вого хода противника первый игрок всегда может сделать свой вто­ рой ход так, что ответный (второй) ход противника будет заранее предопределен. Третьим ходом первый игрок занимает такой кру­ жок, что на доске образуются сразу два ряда, каждый из которых содержит по две его фишки. На следующем, четвертом, ходу пер­ вый игрок одерживает победу.

Если, открывая игру, первый игрок занимает один из угловых кружков, то второй игрок может свести партию вничью, заняв дру­ гой угловой кружок. Если же первый игрок, начиная игру, занимает одну из вершин равностороннего треугольника, расположенного

Рис . 184. Выигрышные ходы для первого игрока в тригекс.

314

мый промежуток ее истории. Половина матерей имеют первенца сына, что составляет п/2 детей. Половина остальных матерей ("А) имеет двух детей (младший ребенок сын), что дает прибавку к об­ щему числу детей в 2ге/4 ребенка. У п1& матерей Фертилии по 3 ре­ бенка, что составляет 3 -п1г и т. д. Полное число детей равно сум­

ме ряда 7г + 2U + 3/й+ 4/ie + .. •, умноженной на п. При' вычис­ лении среднего числа детей, приходящихся на одну мать, эту вели­ чину необходимо разделить на п. Таким образом, среднее число де­ тей у матерей Фертилии при га, стремящемся к бесконечности, стре­ мится к сумме ряда ‘/2 + 2А + 3/в + 4/i6 + ... .

Вычислить ее можно с помощью следующего простого приема. Разделим каждый член ряда на 2 и вычтем получившийся ряд из исходного. В результате мы придем к бесконечно убывающей гео­

Поскольку сумма прогрессии составляет лишь половину суммы ряда, последняя равна 2. Итак, мы приходим к несколько парадок­ сальному выводу: в среднем у каждой фертилийской матери будет лишь 2 ребенка.

Существует и другое, более краткое, решение той же задачи. Поскольку известно, что численность мальчиков относится к числен­ ности девочек, как 1:1, мы заключаем, что при рассмотрении до­ статочно продолжительного периода истории Фертилии мальчиков будет столько же, сколько и девочек. Каждая мать имеет лишь од­ ного сына. Следовательно, в среднем у нее должна быть и одна дочь. Таким образом, в среднем на каждую мать Фертилии прихо­ дится по два ребенка.

315

Рис. 186. Решение головоломки с узлом.

9.Чтобы завязать простым узлом веревку, один конец которой

привязан к вашей левой, а другой — к правой руке, проденьте сред­ нюю часть сложенной вдвое веревки под петлю, охватывающую вашу левую кисть (рис. 186). Надев веревку на левую руку, протяните ее назад. Веревка охватит вашу левую руку так, как показано на рис. 186, справа. Снимите теперь нижнюю петлю с левой руки. Как только вы пронесете петлю над кистью левой руки, веревка окажется завязанной простым узлом.

Продев сложенную вдвое веревку под петлю на левой руке, пере­ крутив ее на полоборота вправо и лишь затем надев вновь образо­ вавшуюся петлю на левую руку, вы получите прямой узел.

Если сложенную вдвое веревку сначала продеть сквозь кольцо, а затем проделать все манипуляции, необходимые для завязывания любого из узлов, то кольцо окажется «привязанным»: снять его с ве­ ревки, не развязывая узел, будет невозможно.

ГЛАВА 26

ТЕОРИЯ ИГР В ИГРАХ

Некоторые результаты теории игр, красивой и быстро развивающейся отрасли современной математики, были предвосхищены в начале 20-х годов этого столетия в ра­ ботах французского математика Эмиля Бореля, но основ­

316

ная теорема теории игр — теорема о минимаксе — была доказана лишь в 1926 г. Джоном фон Нейманом. Тео­ рема о минимаксе послужила краеугольным камнем в величественном и прекрасном фундаменте теории игр, заложенном почти исключительно его трудами. Вышед­ шая в 1944 г. книга «Теория игр и экономическое пове­ дение» *, написанная Нейманом в сотрудничестве с Оскаром Моргенштерном, оказала глубокое влияние на широкие круги экономистов. За время, прошедшее с тех пор, теория игр превратилась в фантастический сплав алгебры, геометрии, теории множеств и топологии, а ее применения охватывают конфликтные ситуации в раз­ личных областях человеческой деятельности, будь то экономика, военное дело или борьба фирм-конкурентов. Предпринимались попытки применить теорию игр и ко всем остальным разновидностям конфликтных ситуаций.

Обширную часть теории игр составляет так называе­ мая теория игр двух участников с нулевой суммой. Тер­ мин этот означает, что конфликтная ситуация возникает между двумя участниками (или, если число участников больше, между двумя коалициями) и проигрыш одного из участников служит выигрышем другому. В этой главе мы позникомим читателей с интересной карточной игрой для двух участников с нулевой суммой, приду­ манной известным специалистом по теории игр Руфусом Айзексом, но сначала нам необходимо овладеть основ­ ными понятиями теории игр.

Начнем с тривиальной игры. Участники ее А и В одновременно выбрасывают один или два пальца, после чего В уплачивает. А столько долларов, сколько пальцев выбросили А и В, вместе взятые. Шансы на выигрыш обоих участников игры, очевидно, не одинаковы, по­ скольку игрок А всегда выигрывает. Как следует играть А, чтобы его выигрыш был как можно большим, и как следует играть В, чтобы его проигрыш был как можно меньшим? Во многих играх для каждого из участ­ ников существуют многочисленные и довольно сложные стратегии, но в данном случае у каждого из игроков имеются лишь две возможности: он может выбросить

экономическое поведение, М., изд-во «Наука», 1970,

317

платежей» для нашей триви­ альной игры можно изобра­ зить в виде квадрата 2 X 2 (рис. 187). Две стратегии иг­ рока А условно изображены слева, две стратегии игрока

В — сверху. В клетках, стоящих на пересечении строк и столбцов указано, сколько долларов игрок В уплачивает игроку А при соответствующей комбинации стратегий. Так, если игрок А выбрасывает один палец, а игрок В — два пальца, то В уплачивает А сумму, стоящую в клетке на пересечении первой строки и второго столбца, то есть три доллара. (Платежи всегда указываются как суммы, выплачиваемые игроком В игроку А. В тех случаях, когда в действительности В получает деньги от А, счи­ тается, что В выплачивает А отрицательную сумму денег.)

Выбросив один палец, игрок А может выиграть не

(3 доллара, указанные в клетке, стоящей в левом ниж­ нем углу матрицы) называется максимином (максиму­ мом минимумов).

Выбросив один палец, игрок В может проиграть, не больше 3 долларов, выбросив два пальца, — не больше четырех долларов. Наименьший из этих максимальных проигрышей (им снова оказываются 3 доллара в ниж­ нем левом углу матрицы платежей) называется минимаксом (минимумом максимумов). Если (как в данном случае) клетка, содержащая максимин, совпадает с клеткой, содержащей минимакс, игра называется строго определенной, а о клетке говорят, что она содержит сед­ ловую точку игры. Оптимальная стратегия для каждого игрока определяется соответственно той строкой или столбцом, которые содержат седловую точку. Игрок А, выбрасывая два пальца, максимизирует свой выигрыш; В, выбрасывая один палец, минимизирует свой проиг­

318

рыш. Если каждый из игроков будет придерживаться оптимальной стратегии, то А будет получать выигрыш в 3 доллара. Эта величина называется ценой игры. При­ держиваясь оптимальной стратегии, игрок обеспечивает себе получение платежа (быть может, отрицательного), который равен цене игры или превосходит ее. Избрав неоптимальную стратегию, игрок всегда может столк­ нуться с такой стратегией противника, при которой по­ лучаемый им платеж будет меньше цены игры. В рас­ сматриваемом нами случае игра столь тривиальна, что оптимальные стратегии обоих игроков очевидны.

Седловая точка существует не у всех игр. Например, если мы превратим нашу тривиальную игру в разно­ видность игры в чет и нечет, ее матрица платежей ста­ нет такой, как показано на рис. 188. Когда оба игрока выбрасывают одинаковое число пальцев, доллар вы­ игрывает игрок А. Когда один из игроков выбрасывает два пальца, а другой лишь один палец, доллар выигры­ вает игрок В. Для игрока А максимин равен —1, для В минимакс равен 1. Таким образом, при игре в чет и не­ чет седловой точки не существует. Отсюда следует, что ни одна из стратегий не является предпочтительной ни для А, ни для В. Было бы глупо, если бы А вздумал, на­ пример, всегда выбрасывать два пальца, так как отнюдь не исключено, что игроку В пришло бы в голову выбра­ сывать один палец. Чтобы повысить свои шансы на вы­ игрыш, игроки А и В должны в определенных пропор­ циях смешивать обе стратегии. Определить оптимальное соотношение между пропорциями трудно, но симметрия игры в чет и нечет наводит на мысль, что оптимальной пропорцией служит отношение 1:1.

Здесь мы подходим к необычайно важному вопросу теории игр: чтобы смешанная стратегия была эффек­ тивной, выбор между «чистыми» стратегиями должен производиться случайным образом. Смешанная страте­ гия, основанная не на случайном выборе, таит в себе опасность проигрыша для того, кто ею будет пользо­ ваться. Предположим, что игрок А решил придержи­ ваться смешанной стратегии, выбрасывая попеременно то один, то два пальца. Раскрыв нехитрую закономер­ ность в поведении своего противника, В легко обеспечит себе выигрыш. 'Разумеется, ничто не мешает А вести более тонкую смешанную стратегию, но и тогда игрок В

319

имеет шанс, разгадав ее, обеспечить себе верный вы­ игрыш. Любопытно, что даже в тех случаях, когда А пытается выбирать смешанную стратегию случайным об­ разом, он подсознательно вносит в нее определенную за­ кономерность. Когда один из создателей теории инфор­ мации Клод Шеннон и его коллега Д. В. Хагельберджер построили две машины для игры в чет и нечет, оба автомата, играя с людьми, избиравшими стратегию на­ жатием одной из двух кнопок, неизменно одерживали победу над своими противниками. Автоматы анализиро­ вали ходы противника, обнаруживали скрытую в них закономерность, носящую вполне детерминированный, а не случайный характер, и соответственно строили свою стратегию. Автоматы Шеннона и Хагельберджера ана­ лизировали игру противника различными методами, по­ этому их можно было заставлять играть друг с другом, что они и делали «под громкие восторженные крики при­ сутствовавших жителей, заключавших пари относительно того, какая из машин выиграет».

Единственный способ понизить до нуля свои платежи при игре с такими автоматами — это воспользоваться при выборе стратегии простейшим «датчиком случайных чисел», например, подбрасывать монетку и выбирать кнопку в зависимости от исхода бросания.

Любопытным примером игры с весьма нетривиаль­ ной смешанной стратегией служит карточная игра, ма­ трица платежей которой изображена на рис. 189. У игрока А имеется «двуликая» карта: туз любой из чер­

320

ных мастей, склеенный рубашкой с восьмеркой красной масти. У игрока В также имеется двусторонняя карта: красная двойка, склеенная рубашкой с черной семеркой. Игроки выбирают одну из сторон своих необычных карт и одновременно показывают ее противнику. Игрок А выигрывает, если цвета выбранных половинок совпали, игрок В выигрывает, если цвета оказались различными. В том и в другом случаях сумма платежа в долларах равна значению карты, показанной победителем.

На первый взгляд может показаться, что оба игрока имеют равные шансы на выигрыш (или, говоря более точно, что игра имеет нулевую сумму), поскольку сумма выигрышей А ( 8 + 1 = 9 ) совпадает с суммой выигры­ шей В (2 + 7 = 9). В действительности более высокие шансы на выигрыш имеет игрок В: при надлежащем вы­ боре смешанной стратегии он может выиграть в сред­ нем по 1 доллару на каждые три игры. Поскольку ка­ ждое из чисел 1 или 8, стоящих на побочной диагонали, больше любого из двух остальных платежей, мы сразу заключаем, что седловой точки не существует. (Игра с матрицей платежей 2 X 2 имеет седловую точку в том и только в том случае, если по крайней мере одно из чисел на главной и побочной диагоналях совпадает с одним из двух остальных чисел.) Следовательно, игроки должны избирать смешанные стратегии.

Приведем один из способов, позволяющих вычислять смешанную стратегию для каждого игрока, не останав­ ливаясь на обосновании его правильности. Рассмотрим стратегию игрока А, соответствующую верхней строке

зуем дробь, числитель которой равен второму, а зна­ менатель первому числу: 15/з = 5/ь Дробь эта означает, что в оптимальной для А смешанной стратегии первая и вторая строки должны быть представлены в отношении 5:1, то есть игрок А должен показывать туз в 5 раз чаще, чем семерку. Удобным «датчиком случайных чи­ сел» для А может служить обычная игральная кость.

казаний «датчика» противник видеть не должен, иначе он сможет парировать ходы.