книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

действий: попросите вашего приятеля перевернуть выбранную на­ угад монету, затем любую другую монету и снова первую монету. Вероятность достичь успеха при первой же попытке равна '/з- Если

вероятностей равна вероятности достичь успеха не более чем за две попытки, но это неверно.

Рассмотрим, как влияют первые две попытки на каждый из шести равновероятных вариантов раскладки монет: ГГР, ГРГ, ГРР, РГГ, РГР, РРГ. Соображения симметрии позволяют при первых двух попытках переворачивать любые две монеты. Успех дости­ гается в четырех случаях из шести, следовательно, вероятность достичь благоприятного исхода испытания не более чем за две попытки равна ‘/в = 2/з.

Если требуется, чтобы все три монеты были обращены вверх гербами, то успех заведомо достигается при семи попытках. Дей­ ствительно, из восьми исходных раскладок монет запретной объяв­ лена лишь раскладка ГГГ. Следовательно, перебрав семь вариан­ тов, вы сумеете рано или поздно получить заветную комбинацию

ГГГ. Существует легко запоминаемая стратегия поиска. Перенуме­ руем монеты числами 1, 2, 3 и будем испытывать их в последова­ тельности 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3. Вероятность добиться успеха при первой

шеренгу, из которых по крайней мере с всегда оказываются вы­

242

(включая его самого), рост которых образует монотонно возрастаю­ щую последовательность; b — максимальное число солдат, стоящих слева о'т данного солдата (включая его самого), рост которых об­ разует монотонно убывающую последовательность. Нетрудно видеть (доказательство этого утверждения предоставляем читателю), что каких бы двух солдат мы ни взяли, по крайней мере одно из двух чисел а или b у них будет отличаться. Иначе говоря, у двух солдат могут совпадать либо числа а, либо числа Ь, но отнюдь не оба числа.

Предположим, что 10 солдат выстроены в такой последова­

а и 6 не могут в этом случае превосходить с. Поскольку у любых двух солдат пары чисел а и Ь не совпадают, число с должно быть достаточно велико, чтобы мы могли набрать по крайней мере 10 различных пар а и 6.

Может ли с быть равным 3? Нет, потому что при этом мы

больше, чем нужно. Отсюда мы заключаем, что независимо от рас­

7. 25 коней не могут одновременно перейти с одного поля мини­ доски 5 X 5 на другое. Это легко доказать с помощью проверки на четность. Конь всегда ходит с поля одного цвета на поле другого

243

цвета. Доска 5 X 5 имеет 13 полей одного цвета и 12 полей друтого. Ясно, что 13 коней не могут пойти на 12 полей так, чтобы по крайней мере два из них не оказались на одном и том же поле. Приведенное доказательство применимо ко всем доскам с нечетным числом полей.

ГЛАВА 20

СЕКРЕТЫ ЭСТРАДНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЕЙ

Способность молниеносно производить в уме ариф­ метические действия отнюдь не свидетельствует о высо­ ком уровне общего развития и в еще меньшей степени о наличии математических способностей. Некоторые из выдающихся математиков не могли без ошибки подсчи­ тать, какую сумму им надлежит получить сдачи при покупке какой-нибудь мелочи. В то же время многие профессиональные «чудо-вычислители» (хотя и не луч­ шие из них) во всем, что не касалось арифметических выкладок, были людьми весьма неразвитыми.

Тем не менее великие математики нередко отлича­ лись способностью мгновенно производить в уме слож­ нейшие расчеты. Например, Карл Фридрих Гаусс произ­ водил вычисления с такой быстротой и так искусно, что ему мог бы позавидовать любой эстрадный вычислитель. Не без тщеславия он любил говорить о себе, что на­ учился вычислять раньше, чем говорить. Как-то раз отец Гаусса, бравший подряды на строительные работы, под­ считывал, сколько он должен уплатить своим каменщи­ кам за неделю. Трехлетний Фридрих озадачил отца, сказав:

— Папа, ты ошибся...

Мальчик назвал число, которое действительно ока­ залось правильным, хотя установить это удалось лишь после кропотливой проверки. Самым удивительным было то, что никто не учил малолетнего ревизора арифметике.

244

Джон фон Нейман был разносторонним математиче­ ским гением, обладавшим способностью производить сложнейшие вычисления, не прибегая к карандашу и бумаге. В своей книге «Ярче тысячи солнц»* Р. Юнг (цитируя другого ученого) описывает следующий слу­ чай. «Однажды в кабинете Теллера собрались Ферми, фон Нейман и Фейнман. Я также присутствовал, так как мне предстояло выполнять планируемые здесь вычис­ ления. Возникало и отвергалось много разных идей, и через каждые несколько минут у Ферми и Теллера по­ являлась необходимость быстрой численной проверки. И тогда ученые начинали действовать: Фейнман с по­ мощью настольного арифмометра, Ферми с помощью маленькой логарифмической линейки, которую постоян­ но носил с собой, а фон Нейман обходился собственной головой. Голова обычно срабатывала быстрее, и было поразительно, как близко совпадали все три ответа».

Способность к устному счету таких первоклассных математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Вал­ лис, не может не вызывать восхищения. Однако все их достижения в этой области меркнут по сравнению с чу­ десами, которые демонстрировали на эстраде профес­ сиональные «чудо-вычислители». Многочисленные пред­ ставители того племени акробатов и жонглеров ума с успехом подвизались в прошлом веке на подмостках Англии, континентальной Европы и Америки. Многие из них начинали свои выступления, еще будучи малень­ кими детьми. И хотя некоторые из вычислителей пи­ сали о своих методах и подвергались обследованию в лабораториях психологов, большую часть своих секре­ тов они, по-видимому, утаивали или, скорее всего, сами до конца не понимали, каким образом им удается де­ лать то, что они делают.

Первый из американских эстрадных вычислителей Зера Колберн родился в 1804 г. в Кэботе (штат Вер­ монт). Так же как у его отца, прабабушки и по крайней мере у одного из братьев, у Зера было по шесть пальцев на каждой руке и ноге. («Лишние» пальцы были ампу­ тированы, когда Зера исполнилось 10 лет. Как знать, может быть, именно они способствовали пробуждению

* Р. Юнг, Ярче тысячи солнц, М., Атомиздат, 1960, стр. 245.

245

у Зера интереса к счету и вычислениям?) Таблицу ум-- ножения всех чисел до 100 он выучил задолго до того, как научился писать и читать. Отец Зера, бедный фер­ мер, быстро понял, какое золотое дно таят в себе не­ обычайные способности сына, и, когда Зера исполнилось всего лишь 6 лет, отправился с ним в первое турне. В возрасте 8 лет Колберн выступал в Англии. Сохра­ нились официальные протоколы его выступлений. Он мог почти мгновенно умножать одно на другое два че­ тырехзначных числа и задумался лишь на миг, когда ему предложили перемножить два пятизначных числа. Когда Колберна попросили умножить 21 734-на 543, он тотчас же назвал ответ: 11 801 562. На вопрос, каким об­ разом ему это удалось, Колберн ответил, что 543 — это 3X181. Поскольку умножать на 181 легче, чем на 543, он сначала умножил 21 734 на 3, а полученный результат умножил на 181.

Вашингтон Ирвинг и другие поклонники необыкно­ венного таланта мальчика собрали достаточную сумму денег, чтобы отправить юного Колберна в школу сначала в Париже, а затем в Лондоне. Что произошло дальше, доподлинно не известно: то ли вычислительные способ­ ности Колберна ослабели, то ли он просто потерял инте­ рес к выступлениям на эстраде. По возвращении в Аме­ рику (ему тогда было 20 лет) он в течение 10 лет служил священником методистской церкви. Его необы­ чайная автобиография была опубликована в 1833 г. под названием «Воспоминания Зера Колберна, написанные им самим,... с изложением оригинальных методов вы­ числений». Колберн умер в возрасте 35 лет, будучи пре­ подавателем иностранных языков в Норвичском универ­ ситете (г. Нортфилд, штат Вермонт).

Английским соперником Колберна был Джордж Пар­ кер Биддер, родившийся в 1806 г. в Девоншире. По пре­ данию, отец Биддера, по профессии каменщик, научил сына лишь считать. Арифметику Биддер «открыл» само­ стоятельно, играя шариками и пуговицами. Когда ему исполнилось 9 лет, он в сопровождении отца отправится в свою первую гастрольную поездку. Типичным среди вопросов, которые задавали ему любопытные, был, на­ пример, такой: «Если Луна находится на расстоянии 123 256 миль от Земли, а звук распространяется со ско­ ростью 4 мили в минуту, то сколько времени потре­

246

буется звуку, чтобы пройти путь от Земли до Лупы (в предположении, что звук может распространяться в безвоздушном пространстве)?» Менее чем через минуту мальчик ответил: «21 сутки 9 часов 34 минуты». Как-то раз, когда Биддеру было 10 лет, его попросили извлечь квадратный корень из 119 550669 121. Результат был по­ лучен через 30 секунд: 345 761. В 1818 г., когда Бид­ деру было 12, а Колберну 14 лет, оба вундеркинда встре­ тились в Дербишире и вступили в состязание друг с другом. В своих мемуарах Колберн утверждает, что победа досталась ему, но лондонские газеты того вре­ мени отдают пальму первенства Биддеру.

Профессора Эдинбургского университета убедили Биддера-старшего предоставить им право позаботиться об образовании сына. Мальчик с успехом окончил кол­ ледж и впоследствии стал одним из лучших инженеров Англии. В основном ему приходилось заниматься строи­ тельством железных дорог, но наибольшую известность он снискал как автор проекта и руководитель постройки доков Виктории в Лондоне. С возрастом Биддер не утратил способности производить в уме головоломней­ шие выкладки. Незадолго до его смерти, последовавшей в 1878 г., кто-то, упомянув, что в одном дюйме уклады­ вается 36 918 длин волн красного света и что свет рас­ пространяется со скоростью 190 000 миль в секунду, по­ интересовался, сколько волн красного света успевает достичь сетчатой оболочки глаза в течение одной се­

И Колберн, и Биддер вычисляли произведения боль­ ших чисел, разбивая их на части и умножая слева на­ право «перекрестным методом». Например, вычисляя произведение 236 X 47, Колберн сначала разбивал со­ множители на части— (200 -f 30 + 6) X (40 + 7), — а за­ тем действовал так, как показано на рис. 151. Попро­ буйте, закрыв глаза, вычислить какое-нибудь произве­ дение по методу Колберна и вы убедитесь, что он позволяет производить вычисления в уме гораздо легче, чем обычный способ умножения справа налево. «Прав­ да, этот метод... требует использования гораздо боль­ шего количества чисел, чем обычные правила, — пишет Колберн в своих мемуарах, — но не следует упускать из виду, что перья, чернила и бумага обходились Зера

247

Ри с . 151. Вычисление произ­ ведений методом Зера Кол­ берна.

200

весьма дешево». (В своей книге Колберн говорит о себе в третьем лице.) По­ чему производить вычис­ ления в уме с помощью «перекрестного метода» легче, чем по обычным правилам? Выступая в лондонском Институте гражданских инженеров с лекцией о своих методах вычислений, Биддер так ответил на этот вопрос: «На каждом этапе метод

позволяет иметь дело с одним и только с одним фак­ том. Лишь его необходимо удерживать в памяти до тех пор, пока очередной этап вычислений не будет завер­

шен».

Другая причина, по которой эстрадные вычислители предпочитают умножать числа слева направо (хотя они редко признаются в этом), заключается в том, что, умно­ жая слева направо, они получают возможность называть цифры произведения до того, как вычисление его будет закончено. Эстрадные вычислители прибегают и к дру­ гим уловкам, чтобы создать у зрителей впечатление, буд­ то время, затрачиваемое ими на получение ответа, мень­ ше того, которое они затрачивают в действительности. Так, например, они повторяют вопрос, а затем отвечают так, будто результат мгновенно пришел им в голову, хотя вычислять ответ они начинают еще до того, как зритель успевает назвать последнюю цифру второго со­ множителя. Иногда вычислитель выигрывает еще не­ много времени, притворившись, будто не расслышал вопроса, и попросив повторить его еще раз. Читая сооб­ щения очевидцев о «мгновенных».вычислениях, произво­ димых тем или иным чудесником на эстраде, всегда над-

248

лежит вводить поправку на подобные «отвлекающие ма­

невры».

Так называемые вычислители-«идиоты» не представ­ ляют особого интереса, и я упомяну лишь одного из них. Должен заметить, что все они отнюдь не были столь безнадежными идиотами, как считала публика. Кроме того, они значительно уступали эстрадным вычислителям с более развитым интеллектом по скорости, с которой производили арифметические действия.

Одним из первых представителей «умственно непол­ ноценных» вычислителей был английский фермер Джедедия Бакстон, живший в XVIII в. Всю свою жизнь он был фермером и никогда не выступал перед публикой. Тем не менее слух о его необыкновенных способностях распространился по округе и достиг Лондона, куда Бак­ стон был вызван, дабы члены Королевского общества могли убедиться в том, что имеют дело с «чудом при­ роды». Во время пребывания Бакстона в Лондоне кто-то вздумал пригласить его в Друрилейнский театр на тра­ гедию Шекспира «Ричард III» с прославленным акте­ ром Дэвидом Гарриком в главной роли. На вопрос о том, как ему понравился спектакль, Бакстон ответил, что Гаррик произнес 14 445 слов и сделал 5202 шага по сцене. У Бакстона была непреодолимая страсть подсчи­ тывать и измерять решительно все, что попадалось ему на глаза. Рассказывают, что, пройдя по полю, он мог с необычайной точностью назвать его площадь в квад­ ратных дюймах и тут же перевести их в... «квадратные толщины волоса» (из расчета 48 волос в одном дюйме). Бакстон никогда не учился и не умел читать, писать и обращаться с цифрами.

Примером вычислителей с высокоразвитыми умствен­ ными способностями может служить профессор матема­ тики Эдинбургского университета Александр Крейг Эйткен *. Он родился в 1895 г. в Новой Зеландии. В отли­ чие от большинства людей, способных «молниеносно» производить в уме вычисления, Эйткен ничем не проявлял

* На советской эстраде долгие годы с успехом выступал вы­ числитель (или, как он сам называл себя, артист-математик) Ро­

«Артист-математик» (Наука и жизнь, № 5, 1968, стр. 118—122).—

Прим, перев.

249

своего дарования до 13 лет. Впрочем, и в этом воз* расте его интерес пробудился в основном к алгебре, а не к арифметике.

В 1954 г., почти через сто лет после исторической лекции Биддера, Эйткен выступил перед лондонским Обществом инженеров с докладом на тему «Искусство устного счета (доклад сопровождается демонстрацией различных приемов устного счета)». Доклад Эйткена — это авторитетный отчет о том, что происходит в уме человека, способного, не прикасаясь к карандашу и бу­ маге, быстро производить сложнейшие вычисления, от­ чет тем более ценный, что исходит от человека, наде­ ленного такой способностью.

Совершенно необходимой предпосылкой к деятель­ ности «чудо-вычислителя» служит врожденная способ­ ность быстро запоминать числа. Все выдающиеся вычис­ лители обладали этой способностью и нередко демон­ стрировали ее в своих выступлениях. Десятилетний Биддер с легкостью называл по порядку все цифры 40-значного числа, которые зрители по его просьбе сооб­ щали ему в обратном порядке. Многие эстрадные вычис­ лители, заканчивая свое выступление, могли безоши­ бочно называть все «участвовавшие» в нем числа.

Существуют различные мнемонические приемы, поз­ воляющие заменять числа словами, которые поддаются запоминанию с помощью других мнемонических прие­ мов, однако все они слишком медленны для того, чтобы ими можно было пользоваться на сцене, и мастера-вы­ числители ими, несомненно, не пользовались. «Я ни­

ким недоверием. Они лишь отягощают случайными и не относящимися к делу ассоциациями способность, кото­ рая должна проявляться в чистом, незамутненном виде».

Здесь же Эйткен упомянул об одном забавном слу­ чае, о котором он прочитал в газетах. Современного французского эстрадного вычислителя Мориса Дагбера обвинили в «бессмысленной трате времени и энергии», когда он запомнил 707 знаков десятичного разложения числа п, полученного в 1873 г. Вильямом Шенксом. «Мне было приятно сознавать, — сказал Эйткен, — что я проделал это за несколько лет до Дагбера и не встретил никаких трудностей. Мне пришлось лишь разбить знаки

250

на строки по 50 цифр в каждой строке, затем каждые 50 цифр разбить на 10 групп по 5 цифр, а затем прочи­ тать эти пятерки с соблюдением определенного ритма, как стихотворение. Запоминание 707 знаков, получен­ ных Шенксом, было бы абсолютно бессмысленным заня­ тием, если бы оно не было так просто».

Через 20 лет после того, как современные ЭВМ поз­ волили вычислить я с точностью до нескольких тысяч знаков, Эйткен узнал, что несчастный Шенке ошибся в своих вычислениях и последние 180 знаков привел не­ верно. «Мне доставило удовольствие, — продолжал Эйт­ кен,— выучить правильное значение я до 1000-го знака. И снова я не встретил никаких трудностей. Единствен­ ное, что потребовалось, — это «сшить» уже хранившиеся в моей памяти цифры с новыми там, где Шенке допустил ошибку. Я считаю, что секрет успеха заключается в уме­ нии расслабляться, в полной антитезе умению сосредо­ точиться. Важную роль играет заинтересованность. Слу­ чайная последовательность чисел, не представляющих никакого интереса с точки зрения математики,- произво­ дила бы на меня отталкивающее впечатление. Если бы мне потребовалось запомнить их, я бы, разумеется, смог это сделать, но не без внутреннего сопротивления».

Здесь Эйткен прервал свою лекцию, чтобы привести на память (с явным соблюдением ритма) 250 знаков де­ сятичного разложения я. Кто-то из присутствующих по­ просил его продолжить «чтение» десятичного разложе­ ния я с 301-го знака. После того как Эйткен назвал 50 знаков, его попросили перейти сразу к 501-му знаку, что он и сделал, назвав еще 150 знаков. Все цифры были названы без единой ошибки (присутствовавшие прове­ ряли правильность называемых Эйткеном знаков по таб­ лице) .

Используют ли эстрадные вычислители, манипули­ руя числами, свое «внутреннее зрение», «видят» ли они мысленно те числа, с которыми работают? Единого от­ вета на этот вопрос дать нельзя. Некоторые вычисли­ тели представляют числа написанными на доске или на листе бумаги, другие предпочитают воспринимать числа на слух, третьи просто не в состоянии объяснить, как они работают. Французский психолог Альфред Вине входил в состав комитета, созданного в конце прош­ лого века Французской Академией наук для изучения

251