книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

5. Предположим, что в фокусе Лорейна начальный ряд выложен из п карт. Как с помощью треугольника Паскаля вывести простые формулы, позволяющие вы­ числять значения самой верхней карты?

на 67. (Аналогичное утверждение для любой строки, номер которой выражается простым числом.)

4. Задача о шашке-путешественнице решается очень быстро, если клетки занумеровать так, как доказано на рис. 133. Для каж­ дой начальной позиции числа образуют перевернутый треугольник Паскаля, обрезанный краями доски. Число, стоящее в клетке, ука­ зывает, сколькими путями может достичь ее пешка из данной на­

ряду. Вычислить значение верхней карты позволяет «усеченный» треугольник Паскаля с п числами в строке, лежащей в основании. Поясним сказанное на примере.

Предположим, что в нижнем ряду выложено шесть карт со зна­ чениями 8, 2, 9, 4, 6, 7. Строка треугольника Паскаля длиной в 6 чисел содержит числа 1, 5, 10, 10, 5, 1. Заменим десятки их цифро­ выми корнями (для чего, не вычитая девяток, просто сложим циф­

торыми следует брать значения карт. Поскольку все «веса», кроме второго и предпоследнего, равны 1, умножаем на 5 значения карт, стоящих на втором и предпоследнем месте в нижнем ряду, и скла­ дываем полученные произведения со значениями остальных четырех карт. Цифровой корень полученной суммы и будет значением верх­ ней карты.

Все вычисления нетрудно производить «в уме», поскольку все промежуточные результаты можно заменять их цифровыми кор­ нями. Так, получив при умножении на 5 значения второй и пред­ последней карт 10 и 30, мы тотчас же заменим их цифровыми корнями, равными 1 и 3, что дает в сумме 4. К 4 прибавляем зна­ чения остальных карт, каждый раз заменяя получающуюся сумму ее цифровым корнем. Окончательный результат равен 5. Это и есть значение верхней карты. *

Для ряда из 10 карт значение верхней карты получается еще быстрее. В этом случае цифровые корни соответствующих бино­ миальных коэффициентов равны 1, 9, 9, 3, 9, 9, 3, 9, 9, 1. Поскольку число 9 сравнимо с 0 по модулю 9 (иначе говоря, делится на 9 без

212

Рис. 133. Решение задачи о шашке-путешественнице.

остатка), набор коэффициентов можно переписать в виде 1, 0, 0, 3, О, 0, 3, 0, 0, 1. Следовательно, чтобы вычислить значение верхней карты, необходимо лишь умножить на 3 значения карт, стоящих на четвертом месте от начала и от конца ряда, прибавить к полу­ ченным произведениям значения первой и последней карт и вместо полученной суммы взять ее цифровой корень. Значения шести ос­ тальных карт можно полностью игнорировать!

Необычайно эффектный вариант фокуса предложил Л. Восбург Лионе. Зритель называет любое однозначное число, которое он хо­ тел бы видеть на вершине пирамиды. Затем выписывает в ряд 9 наугад выбранных им однозначных чисел, вы дописываете к ним десятое число, причем зритель указывает, куда именно вы должны поместить свое число — перед рядом или после него. Сложив три «ключевых» числа, взятых с соответствующими весами, вы, разу­ меется, без труда подбираете число так, чтобы пожелание зрителя непременно исполнилось.

213

Значение верхней карты можно вычислять не только с помощью вычетов по модулю 9, но по любому другому модулю. Необходи­ мые формулы дает треугольник Паскаля, в котором биномиальные коэффициенты заменены вычетами по выбранному модулю. Пред­ положим, например, что исходный ряд содержит 8 однозначных чисел и что в качестве модуля сравнения выбрано число 7. Соот­ ветствующая строка треугольника Паскаля после замены бино­ миальных коэффициентов вычетами по модулю 7 имеет вид: 1, О, О, 0, 0, 0, 0, 1. Следовательно, чтобы вычислить верхнее число, необ­ ходимо лишь сложить первое и последнее числа исходного ряда и, если сумма окажется двузначным числом, вычесть из нее семерку. Убедиться в том, что треугольник Паскаля позволяет получить не­ обходимые формулы независимо от того, какое число мы вычерки­ ваем (при получении «цифровых корней» мы, например, вычерки­ ваем девятки), предоставляется читателю.

ГЛАВА 18

ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ДЛЯ ИГР С ДВУМЯ УЧАСТНИКАМИ

Слово «игра» обычно употребляется как синоним слова «развлечение». В этой главе мы рассмотрим игры в более узком смысле — как состязание двух участни­ ков. Мы расскажем о старых и новых играх, для кото­ рых известны оптимальные стратегии. Свой рассказ мы начнем с трех игр, между которыми существует забав­ ная и несколько удивительная связь.

1.Девять карт со значениями от туза до девятки выкладываются на стол. Играющие по очереди берут по одной карте. Выигрывает тот, кто первым возьмет три карты, сумма значений которых равна 15.

2.На рис. 134 изображена схема дорог. Каждая до­ рога имеет свой номер. Играющие по очереди «блоки­ руют» дороги (закрашивают дорогу в свой цвет на всем

еепротяжении, даже'* там, где дорога проходит через «города»-кружки). Чтобы ходы можно было отличать, каждый из играющих пользуется карандашом одного из двух цветов. Победителем считается тот, кому удастся закрасить в свой цвет три дороги, ведущие в один и тот

214

Рис. 134. Схема дорог в игре «Пробка».

же город. (Придумавший игру голландский психолог Джон А. Мишон назвал ее «Пробка», поскольку цель игры состоит в том, чтобы, блокируя дороги, создавать «пробки» на перекрестках.)

3. Каждое из слов: рыба, клин, нить, небо, сок, бусы, тор, сеть, река — напечатано на отдельной карточке. Карточки разложены на столе надписями кверху. Иг­ роки по очереди берут со стола по одной карточке. Вы­ игрывает тот, кто первым возьмет три карточки со словами, имеющими общую букву. (Эту игру придумал математик Лео Мозер.)

Во всех трех играх возникает один и тот же вопрос: как закончится игра — выигрышем того, кто делает пер­ вый ход, того, кто делает второй ход, или вничью, — если оба игрока делают наилучшие ходы?

Наиболее проницательные читатели, вероятно, уже догадались, что все три игры изоморфны обычной игре в крестики и нолики (то есть по существу не отличаются

215

от нее). Убедиться в этом совсем нетрудно. Начнем с первой игры. Выпишем все тройки цифр от 1 до 9, дающие в сумме 15. Таких троек ровно 9. Их можно разместить на обычной «доске» для игры в крестики и нолики в виде магического квадрата:

2 9 4

7 5 3

6 8

Каждая строка, каждый столбец и любая из двух диа­ гоналей содержат числа, образующие одну из 9 троек. Взяв одну из карт, игрок как бы совершает ход в кре­ стики и нолики. Выигрышная комбинация в картах со­ ответствует выигрышному расположению крестиков или ноликов — занятию строки, столбца или диагонали на магическом квадрате. Всякий, кто достиг гроссмейстер­ ского уровня игры в крестики и нолики и помнит маги­ ческий квадрат, сразу ж§ становится непобедимым игро­ ком и в карточный вариант игры в 15.

Карта дорог на рис. 134 топологически эквивалентна симметричному графу, изображенному на рис. 135, слева. Граф в свою очередь эквивалентен «двойствен­ ному» графу, полученному при соединении центров де-

Рис. 135. Граф игры в «Пробку» и ее двойник в крестиках и но­ ликах.

216

вяти клеток, на которых обычно играют в крестики и нолики (рис. 135, справа). Каждая из нумерованных клеток магического квадрата соответствует одной (и только одной) дороге, носящей тот же номер на схеме, а каждый город на схеме отвечает строке, столбцу или одной из главных диагоналей магического квадрата. Как и в первом случае, между игрой в «Пробку» и кре­ стиками и ноликами имеется соотношение эквивалентно­ сти.

Изоморфизм между придуманной Мозером игрой в слова и игрой в крестики и нолики становится очевид­ ным, если девять слов записать в клетках доски, рас­ черченной для игры в крестики и нолики:

СОК клин река

бусы небо рыба

сеть НИТЬ тор

Любые три слова, стоящие в одной строке, одном столбце или на одной диагонали, имеют общую букву. Всякая другая тройка слов ни одной общей буквы не имеет. И в этом случае, так же как и в «Пробке», стоит лишь запомнить магический квадрат, как тот, кто по­ стиг тайны беспроигрышной игры в крестики и нолики, становится непобедимым игроком в новую игру.

Поскольку при рациональной игре обоих участников партия в крестики и нолики заканчивается вничью, все три описанные нами игры также должны завершаться вничью, хотя тот из игроков, кто делает первый ход, имеет ощутимое преимущество перед вторым, не дога­ дывающимся, что он играет в «замаскированный» ва­ риант крестиков и ноликов, или не овладевшим всеми секретами этой древней, но вечно юной игры.

Поняв, что все три игры по существу тождественны, вы различаете за внешней оболочкой скрытый внутрен­ ний механизм. Такого рода «прозрение» весьма ценно.

Математика изобилует «играми», не имеющими на первый взгляд ничего общего между собой, но в дей­ ствительности представляющими собой лишь различные наборы символов и правил для игры в одну и ту же

217

Рис. 136. Начальная позиция при игре в ним или в «Кегли».

игру. Например, как показывает великое открытие Де­ карта — аналитическая геометрия, алгебру и геометрию можно рассматривать как по существу тождественные, но внешне различные «игры».

Существует множество игр «хватательного» типа, в которых игроки по очереди забирают по одному эле­ менту или целому подмножеству из некоторого множе­ ства. Выигравшим считается тот, кто возьмет последний элемент. Среди игр этого типа особой известностью пользуется ним. Правила игры в ним просты. Фишки (монетки, камешки и т. п.) раскладывают в несколько рядов. Число рядов и число фишек в каждом ряду про­ извольно. Играющие по очереди забирают любое число фишек, но лишь из одного ряда. Выигрывает тот, кто забирает последнюю фишку. Оптимальная стратегия при игре в ним легко формулируется с помощью двоичной системы (см., например, гл. 14 книги «Математические головоломки и развлечения»).

Одна из начальных позиций при игре в ним изобра­ жена на рис. 136. Шестнадцать карт разложены в 4 ряда. В первом ряду — одна карта, во втором — три, в треть­ ем — пять и в четвертом — семь. Чтобы определить, кто из игроков — делающий первый или делающий второй

218

ход — может выиграть, мы записываем число карт в каждом ряду в двоичной системе, а полученные числа складываем «столбиком»:

Если сумма чисел, стоящих в каждом столбике, как

«безопасной». Это означает, что делающий первый ход, играя против рационально мыслящего противника, за­ ведомо обречен на поражение. Независимо от того, ка­ кой ход он сделает, позиция после его хода станет «опас­ ной» (по крайней мере в одном столбце сумма чисел станет нечетной) и противник очередным ходом сможет превратить позицию в безопасную. Именно то обстоя­ тельство, что противник неизменно оставляет после себя безопасную позицию, гарантирует ему выигрыш.

Удивительный вариант игры в ним предложил фран­ цузский математик Мишель Энон: для игры в новую разновидность нима требуются не фишки, а... ножницы и обрезки бечевки. Чтобы лучше разобраться во всех тонкостях игры Энона, мы начнем издалека — с более «древнего» варианта игры в ним, известного как игра в «Кегли».

«Кегли» были изобретены Генри Э. Дьюдени, они описаны в его первой книге «Кентерберийские головоломки». Основную идею и название игры Дьюдени заим­ ствовал из древней игры, широко распространенной еще в XIV в. В первозданном ее варианте участники стре­ мились сбить выстроенные в один ряд кегли деревян­ ным шаром, диаметр которого был подобран таким об-

4разом, что шар мог сбить либо одну, либо две стоящие рядом кегли.

Вматематический вариант кеглей лучше всего играть на обычном столе. Вместо кеглей берут монеты, карты или любые другие мелкие предметы. Так же как и при игре в ним, их выстраивают в несколько рядов, каждый из которых может содержать любое число предметов.

219

Таблица I

Двоичные числа k для анализа игры в «Кегли» — число звеньев не больше 70

220

Новое по сравнению с игрой в ним состоит в том, что предметы, стоящие в одном ряду, рассматриваются как звенья одной цепочки. Делая очередной ход, игрок впра­ ве взять либо одно, либо два смежных звена цепочки. Если выбор игрока остановился на звеньях, находя­ щихся в середине цепочки, она естественно, распадается на дйа обрывка. Например, если игрок возьмет среднюю карту из нижнего ряда раскладки, изображенной на рис. 136, то «великолепная семерка» распадется на два обрывка, каждый из которых содержит по 3 звена. Та­ ким образом, по мере развития партии число обрывков цепочки, как правило, увеличивается.

«Кегли» также легко поддаются анализу с помощью двоичной системы, хотя и не столь простому, как игра в ним. Каждой цепочке мы ставим в соответствие неко­ торое двоичное число, которое после перевода в десятич­ ную систему не совпадает с числом звеньев в цепочке (исключение составляют лишь одно-, двух- и трехзвен­ ные цепочки). Энон составил таблицу чисел k, сопостав­ ляемых цепочкам длиной от 1 до 70 звеньев (таблица I). При числе звеньев, большем 70, возникает любопытная

Таблица II

Двоичные числа k для анализа игры в «Кегли» —число звеньев больше 70

221