книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

ряду на рис. 129 равно 16. Вместо того чтобы вычитать 9 из 16, можно сложить 1 и 6. Сумма цифр равна 7, по­ этому над первыми двумя картами зритель кладет се­ мерку. Сумма значений второй и третьей карт нижнего ряда равна 8, поэтому над ними зритель кладет вось­ мерку. Так продолжается до тех пор, пока над нижним рядом не вырастет новый ряд из четырех карт. Затем все повторяется еще и еще раз, пока пирамида не до-

Рис. 129. Карточный фокус.

стигнет вершины. Верхнюю карту переворачивают, и...

оказывается, что ее значение в точности соответствует сумме значений карт в последнем ряду!

Фокус можно показывать с любым числом карт в нижнем ряду. Правда, особенно увлекаться удлинением ряда не следует: при чрезмерно большой его протяжен­ ности в колоде может не хватить карт нужных значений и пирамида останется недостроенной. Необходимые вы­ кладки не обязательно производить в уме: их всегда можно проделать на клочке бумаги.

Фокус можно показывать и в другом варианте, не требующем никакого «реквизита». Попросите кого-ни­ будь выписать в ряд 10 наугад выбранных однозначных чисел. Зная секрет фокуса, вы сможете быстро произ­ вести в уме необходимые подсчеты и указать, какое чис­ ло будет стоять на вершине пирамиды. Разумеется, в ста случаях из ста вы окажетесь правы. Каким же образом удается столь безошибочно предсказывать верхнее чис­ ло? Может быть, оно совпадает с «цифровым корнем» * суммы чисел, стоящих в нижнем ряду? Непосредственная проверка показывает, что это не так.

В действительности фокус Лорейна основан на про­ стой формуле, выведенной с помощью одной из изящ­ нейших и известнейших схем в истории математики. Схема эта известна под названием «треугольник Па­ скаля», поскольку Блез Паскаль, французский матема­ тик и философ XVII в., посвятил ей специальный трак­ тат, который так и назывался «Трактат об арифметиче­ ском треугольнике». В действительности же треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 г. — даты выхода в свет труда Паскаля. Так, треугольник Паскаля вос­ произведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI в. Петром Апианом, астроно­ мом из Ингольштадтского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китай­ ского математика, выпущенной в 1303 г. Омар Хайям, бывший не только поэтом и философом, но и математи­ ком, знал о существовании треугольника около 1100 г.,

* «Цифровым корнем» данного числа Гарднер называет отлич­ ный от нуля остаток от деления данного числа на 9. Если остаток равен 0, то цифровой корень числа считается равным 9. Подробнее о цифровых корнях см. гл. 19 «Математических головоломок и раз­ влечений». — Прим, перее.

203

в свою очередь заимствовав его из более ранних китай­ ских или индийских источников.

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его Может даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает во­ едино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь не­ обычные свойства позволяют считать треугольник Па­ скаля одной из наиболее изящных численных схем во всей математике.

На вершине треугольника стоит число 1 (рис. 130). Все остальные числа равны сумме двух чисел, располо­ женных непосредственно над ними. (Единицы, стоящие вдоль правой и левой сторон треугольника, можно также рассматривать как сумму двух чисел: единицы, распо­ ложенной строкой выше, и нуля.) Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией от­ носительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. На рис. 130 строки и диагонали перенумеро­ ваны по традиции, начиная с 0, а не с 1. Такая нумера­ ция облегчает объяснение некоторых основных свойств треугольника.

Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треуголь­ ника, выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей. Треугольными называются числа, показывающие, из скольких точек («плоских ядер») можно сложить треугольную пира­ миду (рис. 131).

Последовательность треугольных чисел расположена вдоль второй диагонали треугольника. (Обратите вни­ мание на то, что сумма любых двух последовательных треугольных чисел равна квадратному числу.) Первая диагональ дает натуральные числа — аналоги треуголь­ ных чисел в одномерном пространстве. Вдоль нулевой диагонали выстроились аналоги треугольных чисел в нульмерном пространстве, где единственно возможной «схемой укладки ядер» служит сама точка. На третьей диагонали стоят тетраэдральные числа, п-й член после­ довательности тетраэдральных чисел показывает, сколько круглых ядер можно уложить в виде п-слойного тетра­ эдра. На четвертой диагонали стоят гипертетраэдраль­ ные числа для четырехмерного пространства, на пятой— для пятимерного и т. д. до бесконечности. В целом

204

'"’fc-

Строки

0

1

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Рис. 130. Треугольник Паскаля.

можно сказать, что п-я диагональ заполнена «-мерными аналогами треугольных чисел. Даже беглого взгляда, брошенного на треугольник Паскаля, достаточно, чтобы отметить следующие любопытные факты: 10 ядер можно сложить и в виде тетраэдра, и в виде плоского треуголь­ ника; 56 гиперядер, образующих тетраэдр в пятимерном пространстве, можно уложить на гиперплоскости так, что они выстроятся в виде трехмерного тетраэдра (од­ нако если бы мы попытались выложить из 56 ядер тре­ угольник, то одно ядро осталось бы лишним).

Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диаго­ нали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого. Пусть, например, мы хотим вы­ числить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. «Спу­ стившись» по диагонали до числа 9, мы увидим, что ниже его слева стоит число 45. Оно-то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и налево. Ответ: 120. Заметим, кстати, что 120 — тетраэдральное число. Следовательно, взяв все ядра, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падаю­ щих сплошных диагоналей, образуют хорошо известную последовательность чисел Фибоначчи, в которой каждый член равен сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . Числа Фибоначчи часто встречаются в комбина­ торных задачах. Приведем лишь один пример. Рассмо­ трим ряд из п стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При п, равном 1, 2, 3, 4, . . . , число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8 , . . . , то есть совпадает с последовательными членами ряда Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи «скрыты» в его треугольнике. Это обстоя­ тельство было обнаружено только в XIX в.

206

Лишь совсем недавно было открыто еще одно инте­ ресное свойство треугольника Паскаля: частичные сум­ мы ряда Фибоначчи можно находить, стирая диагонали, параллельные левой стороне треугольника. Так, если сте­ реть слева нулевую диагональ, то на сплошных («фибоначчиевых») диагоналях останутся числа, дающие ча­ стичные суммы ряда Фибоначчи (1 = 1, 1 + 1 = 2 , 1 + + 1 + 2 = 1 + 3 = 4, 1+ 1+ 2 + 3 = 3 + 4 = 7 и т. д.).

Если стереть нулевую и первую диагонали, то на диаго­ налях Фибоначчи останутся числа, дающие частичные

налей, то на диагоналях Фибоначчи останутся /г-кратно просуммированные частичные суммы частичных сумм.

Числа, стоящие по горизонтальным строкам тре­ угольника Паскаля, — это биномиальные коэффициенты,

строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разло­ жения (х + у )п, достаточно взглянуть на п-ю строку треугольника Паскаля. (Числа, стоящие в п-й строке, упорядочены так, что, читая их слева направо, мы полу­ чим коэффициенты в разложении бинома ( х -j-у)п, рас­ положенного по возрастающим степеням х, или, что то

Предположим, что некий шейх, следуя законам го­ степриимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема? Для ответа па этот вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным 35. Если, охваченные радостным волнением, вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 7 и строки 3, то обнаружите, что седьмая диагональ и третья строка не пересекаются. Иначе говоря, метод всегда приводит лишь к правильному ответу, не давая вам ошибиться! В общем случае число, показывающее, сколькими спо­ собами можно выбрать п элементов из Множества,

207

содержащего г различных элементов, стоит на пересече­ нии п-й диагонали и г-й строки.

Связь между комбинаторикой и теорией вероятностей станет ясной, если мы рассмотрим восемь возможных исходов бросания трех монет: ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР, РГГ, РГР, РРГ, РРР. Нетрудно видеть, что три герба выпа­ дают лишь в одном случае, два герба — в трех случаях, один герб — также в трех случаях и ни одного герба — в одном случае. Числа благоприятных испытаний для по­ лучения 3, 2, 1 и 0 гербов равны 1, 3, 3, 1. Именно эти числа стоят в третьей строке треугольника Паскаля. Предположим теперь, что мы хотим узнать вероятность выпадения ровно 5 гербов при одновременном бросании 10 монет. Прежде всего необходимо подсчитать, сколько существует различных способов, позволяющих выбрать 5 монет из 10. Ответ мы получим, найдя число, стоящее на пересечении 5-й диагонали и 10-й строки. Оно рав­ но 252. Сложив все числа, стоящие в 10-й строке, мы найдем число возможных исходов. Вычисления можно намного сократить, если воспользоваться следующим свойством биномиальных коэффициентов: сумма коэф­ фициентов бинома (х -j- у )п, а именно они и стоят в п-й строке треугольника Паскаля, равна 2п. (Действительно, сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящих в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды. Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ... .) Десятая степень числа 2 равна 1024. Следовательно, вероятность выпадения пяти гербов при бросании 10 монет равна 252/ю24 = 63/г5б. (Треугольник Паскаля позволяет объяс­ нить принцип действия так называемой доски Гальтона — механического устройства, служащего для демон­ страции приближенного гауссовского распределения. *)

Заменим каждое число в треугольнике Паскаля точ­ кой. Более жирными точками будем отмечать те числа, которые не делятся нацело на некоторое целое положи­

208

ли хоть одно нечетное совершенное число. Евклиду уда­ лось доказать, что всякое число вида 2ra_I(2n — 1), где (2™— 1 ) — простое число (такие простые числа назы­ ваются числами Мерсенна), является четным совершен­ ным числом. Впоследствии Эйлер доказал, что формула Евклида охватывает все четные совершенные числа. Фор­ мулу Евклида можно представить в виде

Р (Р + 1)

2

где Р — простое число Мерсенна. Точно в таком же виде можно записать формулу для треугольных чисел. Иначе говоря, если «сторона» треугольного числа выражается числом Мерсенна, то треугольное число совершенно. Возвращаясь к разбиению точек, образующих треуголь­ ник Паскаля, на четные и нечетные, заметим, что, как нетрудно показать, формула, выражающая число точек в п-м от вершины треугольника месте на центральной оси, имеет вид 2n-1(2n — 1), то есть совпадает с фор­ мулой совершенных чисел. Таким образом, всякий раз, когда число 2™— 1 простое, число точек в треугольнике, расположенном на оси треугольника Паскаля на п-м месте от вершины, выражается четным совершенным чис­ лом. Более того, все четные совершенные числа «при­ сутствуют» в треугольном узоре, изображенном на рис. 132 как мощности соответствующих треугольных множеств. Поскольку число 24— 1 = 15 составное, чет­ вертый из треугольников, расположенных на централь­ ной оси, несовершенен. Число точек в пятом треу­

треугольнике несовершенное, а число точек в седьмом треугольнике, равное 8128, — совершенное.*)

В заключение упомянем еще одно любопытное свой­ ство треугольника Паскаля. Если «содержимое» каждой из строк от 0 до 4 читать как одно число (1, 11, 121, 1331 и 14 641), то эти числа окажутся не чем иным, как последовательными степенями числа 11, начиная с 11°== = 1. В следующей, пятой, строке «должно» было бы

* Свойствам биномиальных коэффициентов и треугольника Паскаля посвящена статья Д. Б. Фукса и М. Б. Фукса «Арифме­ тика биномиальных коэффициентов» (Квант, № 6, 1970, стр. 17—25). —

Прим, перев.

210

стоять 115= 161051, по, к сожалению, правило пере­ стает действовать. Впрочем, горю можно помочь. Обра­ тим внимание на то, что в пятой строке треугольника Паскаля впервые встречаются двузначные числа. Если числа в пятой строке рассматривать как коэффициенты при последовательных степенях числа 10, возрастающих справа налево, то нарушенное было правило окажется

го, при такой интерпретации чисел я-я строка всегда бу­ дет давать 11п.

Почти всякий, кто займется более подробным изу­ чением треугольника Паскаля, откроет другие, не ме­ нее удивительные его свойства, однако не все из этих свойств будут новыми. Ведь то, что мы рассказали, — не более чем капля в поистине безбрежном море лите­ ратуры о треугольнике Паскаля. По признанию самого Паскаля, в своем «Трактате» он вынужден был обойти молчанием многие свойства треугольника. «Поистине удивительно, — восклицает Паскаль, ■— сколь неисчер­ паемы эти свойства!»

Существуют многочисленные разновидности треуголь­ ника Паскаля и его обобщения, например «тетраэдр Па­ скаля», в виде которого располагаются коэффициенты разложения «тринома» (х + у -J- г )п.

Степень владения тайнами треугольника Паскаля чи­ татель может проверить, решив следующие пять задач:

1.Найти формулу для суммы всех чисел, располо­ женных выше я-й строки в треугольнике Паскаля.

2.Сколько нечетных чисел содержится в 256-й строке треугольника Паскаля?

3.Сколько чисел в 67-й строке треугольника Па­ скаля делятся без остатка на 67?

4.Шашка, стоящая на одной из четырех черных кле­ ток первого ряда пустой 64-клеточной доски, двигаясь по обычным правилам, может различными путями пе­ рейти на любую из четырех черных клеток восьмого ряда. Предположим, что каждая из начальных клеток соединена с каждой конечной всеми возможными мар­ шрутами. Определите, сколько существует различных маршрутов, ведущих из данной начальной клетки в дан­ ную конечную, и для какой начальной и конечной клетки число связывающих их маршрутов максимально.

211