книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

с упорядоченными парами чисел в планиметрии или с упорядоченными тройками чисел в геометрии трехмер­ ного пространства. Более того, евклидову геометрию точ­ но таким же образом можно обобщить на случай про­ странства любого целого и положительного числа измерений. При каждом п пространство будет евклидо­ вым, хотя его топологические свойства при переходе от одного п к другому будут изменяться: квадрат нельзя непрерывно деформировать в отрезок прямой, куб — в

квадрат, гиперкуб — в куб и т. д.

Свойства четырехмерных фигур можно изучать раз­ личными способами. Можно доказывать, например, тео­ ремы четырехмерной геометрии, выводя их из аксиом и ранее доказанных теорем. Можно действовать иначе: ввести систему координат w, х, у, z и изучать уравнения, описывающие интересующие нас геометрические места точек. Однако четырехмерный гиперкуб выделяется сре­ ди прочих четырехмерных фигур своими особенно про­ стыми свойствами, и поэтому о многих из них мы можем получить довольно полное представление по аналогии с его «младшими братьями» — кубом, квадратом и отрез­ ком прямой, — оставаясь на интуитивном уровне.

Отрезок прямой имеет две конечные точки. Вершины квадрата, порожденного движением отрезка, можно раз­ бить на две пары: начальное и конечное положения кон­ цов отрезка. Следовательно, число вершин квадрата вдвое больше числа концов отрезка прямой, то есть рав­ но четырем. Две прямолинейно движущиеся точки по­ рождают два отрезка прямых. Кроме того, сам отрезок также движется и, следовательно, занимает определен­ ное начальное и конечное положения. Таким образом, к двум отрезкам, прочерченным концами отрезка, сле­ дует присоединить еще два отрезка, с которыми совпа­ дает исходный отрезок в начале и в конце движения. Следовательно, число отрезков прямых, ограничивающих квадрат, равно четырем. Аналогично этому куб, поро­ жденный движением квадрата, имеет восемь вершин — вдвое больше, чем у квадрата, поскольку вершины куба можно рассматривать как начальное и конечное поло­ жения вершин квадрата. При движении каждая из вер­ шин квадрата описывает отрезок прямой. Эти четыре «новорожденных» ребра следует прибавить к четырем сторонам квадрата в начальном положении и четырем

192

сторонам квадрата в его конечном положении. Следова­ тельно, полное число ребер у куба равно 4 + 4 + 4 = 12. Ребра куба ограничивают 1 + 1 + 4 == 6 граней: две гра­ ни (1 + 1) — начальное и конечное положения квадрата, порождающего куб, остальные грани — «новорожден­ ные».

Предположим теперь, что обычный трехмерный куб мы передвинули на единичное расстояние в направлении четвертой оси, перпендикулярной трем остальным. На­ глядно изобразить эту ось мы не в состоянии, поскольку осуждены на пожизненное заточение в трехмерном про­ странстве, но сосчитать основные элементы четырехмер­ ного гиперкуба все же можем. Сосчитав каждую верши­ ну трехмерного куба дважды — в ее начальном и конеч­ ном положениях, — найдем, что у гиперкуба имеется 2 X 8 = 16 вершин. Каждая вершина трехмерного куба, двигаясь, описывает единичный отрезок — одно из ребер гиперкуба. Всего таких ребер столько, сколько вершин у трехмерного куба, то есть 8. Присоединив к ним 12 ре­ бер, служащих ребрами трехмерного куба в его началь­ ном положении, и 12 ребер трехмерного куба в конечном положении, обнаружим, что у гиперкуба насчитывается

рождает 1 квадрат, но к этими 12 «новоиспеченным» граням мы должны еще прибавить 6 граней куба в на­ чальном положении и 6 — в конечном. Таким образом, у четырехмерного гиперкуба имеются 12 + 6 + 6 = 24 двумерные грани.

Не следует думать, будто гиперкуб ограничен этими 24 гранями. Они лишь образуют скелет гиперкуба так же, как ребра обычного трехмерного куба образуют его скелет. Куб ограничен двумерными гранями, имеющими форму квадрата. Гиперкуб ограничен трехмерными гра­ нями, имеющими форму куба. Перемещая куб на единич­ ное расстояние вдоль «невообразимой» четвертой коорди­ наты, мы заставляем каждую из его граней-квадрагов перемещаться на единичное расстояние вдоль перпенди­ кулярного ей направления и, следовательно, порождать куб. К шести кубам, порожденным гранями исходного куба, следует прибавить еще два: исходный куб в

кубических граней. Они-то и ограничивают гиперкуб, об­ разуя его гиперповерхность.

Число элементов в «кубах» пространств размерности от 0 до 4 приведено в следующей таблице.

Эту таблицу с помощью простого, но оттого не менее удивительного приема можно продолжить до сколь угод­

Нетрудно видеть, что коэффициенты произведения совпадают с числами, стоящими в третьей сверху строке таблицы (п — 2). Более того, если любой строке таб­ лицы, соответствующей размерности k, сопоставить мно­ гочлен {2х + l) ft и умножить его на 2 х + 1, то получится следующая строка. Предположим, например, что нас интересует число «деталей» пятимерного гиперкуба. За-

194

Рис . 124. Проекция куба на плоскость.

писав строку, соответствующую четырехмерному гипер­

вательно, у пятимерного гиперкуба имеется 32 вершины, 80 одномерных ребер, 80 двумерных квадратных граней, 40 трехмерных кубических граней, 10 четырехмерных ги­ перкубических граней и, наконец, он сам— «единствен­ ный и неповторимый» пятимерный гиперкуб.

Возьмем теперь проволочную модель — скелет— куба и осветим ярким источником света. Поворачивая модель, мы будем получать на стене или любом другом экране различные тени. Если источник света расположен доста­ точно близко от проволочной модели, то, повернув ее надлежащим образом, можно заставить модель отбра­ сывать на экран тень, изображенную на рис. 124. Сеть

Рис . 125. Проекция четырех­ мерного гиперкуба на трех­ мерное пространство.

теневых линий на плоско­ сти обладает всеми топо­ логическими свойствами куба. Например, муха не может обойти по непре­

рывному маршруту все ребра куба, не проходя-ни одно­ го ребра дважды, как не может обойти и линий сети на получившейся двумерной проекции куба.

На рис. 125 изображена аналогичная проекция ребер четырехмерного гиперкуба в трехмерное пространство, точнее, проекция на плоскость трехмерной модели, ко­ торая в свою очередь служит проекцией четырехмерного гиперкуба. Все элементы гиперкуба, различимые на рис. 125, нетрудно отождествить с деталями модели, хотя шесть из восьми кубов на проекции изображены в иска­ женном виде (так же как четыре из шести граней на плоской проекции обычного трехмерного куба). Перечис­ лим эти восемь кубов: большой куб, малый куб, распо­ ложенный в центре модели, и шесть шестигранников, окружающих малый куб. (Попробуйте самостоятельно отыскать все восемь кубов на другой трехмерной модели гиперкуба, полученной при проектировании его в трех­ мерное пространство под другим углом и изображенной на рис. 123, г.) Как и в случае куба, обе модели и сеть ребер «натурного» гиперкуба обладают одинаковыми то­ пологическими свойствами. На этот раз муха может со­ вершить прогулку по всем ребрам гиперкуба и обойти их все по непрерывному маршруту, не проходя ни одно из ребер дважды. (В общем случае мухе удастся удовлет­ ворить свою страсть к разнообразию — непрерывным маршрутом без повторяющихся участков — лишь на ги­ перкубах в пространствах четной размерности, посколь­ ку только в пространствах четной размерности в каждой вершине гиперкуба встречается нечетное число ребер.)

Многие свойства единичных гиперкубов можно выра­ зить с помощью простых формул, применимых к гипер­

196

кубам всех размерностей. Так, например, длина диаго­

налей единичного квадрата равна У 2. Длина_ самых

«длинных» диагоналей единичного куба равна У 3. В об­ щем случае диагональ, соединяющая противоположные

ницы. Естественно напрашивается следующий вопрос: при каких размерах куба его объем численно равен его поверхности? Ответив на этот вопрос, читатель сможет без труда ответить еще на два вопроса:

1.При каких размерах гиперкуба его гиперобъем (за единицу которого принят объем единичного гиперкуба) численно равен гиперплощади (измеряемой в кубических единицах — объемах единичных трехмерных кубов) его гиперповерхности?

2.Как выглядит формула, выражающая длину ребра «-мерного куба, «-мерный объем которого численно ра­

вен ( « — 1)-мерному объему его «поверхности»?

В книгах по занимательной математике часто можно встретить задачи о кубах, условия которых (в отличие от их решений) допускают непосредственное обобщение на случай четырехмерного гиперкуба. Рассмотрим, на­ пример, задачу об отрезке прямой наибольшей длины, который помещается внутри единичного квадрата. Ясно, что таким отрезком служит диагональ квадрата, длина

которой составляет У 2 . Каков, по-вашему, наибольший квадрат, который можно поместить внутри единичного куба? Успешно ответив на этот весьма непростой вопрос, читатель может попытать счастья в решении еще более сложной задачи о кубе наибольшего размера, помещаю­ щемся внутри единичного четырехмерного гиперкуба. Решение задачи о размещении внутри единичного куба квадрата наибольших размеров дано в конце главы. Ре­ шение второй задачи (о размещении куба максимальных размеров внутри единичного гиперкуба) целиком предо­ ставляется на усмотрение читателей.

197

Разрезать

А^

Рис. 126. Развертка квадрата (вверху) и куба (внизу).

Кодной интересной комбинаторной задаче, связан­ ной с четырехмерным гиперкубом, лучше всего подойти, как обычно, начав с аналогичных задач для квадрата и куба. Разрезав контур квадрата в одной из его вершин (рис. 126), мы сможем развернуть его границу в виде отрезка прямой. Для этого следует лишь представить себе, что каждая из вершин квадрата — это шарнир, и вращать стороны до тех пор, пока они не расположатся вдоль одной прямой, то есть не окажутся в одном и том же одномерном пространстве. Чтобы получить развертку куба, необходимо разрезать его поверхность вдоль семи ребер и поворачивать грани вдоль оставшихся ребер до тех пор, пока все грани не расположатся в одной и той же плоскости, образуя одну из фигур гексамино (шесть квадратов, примыкающих один к другому вдоль сторон). Предположим, что мы не различаем асимметричные фи­ гуры гексамино, переходящие друг в друга при отраже­ нии. Сколько различных (с нашей точки зрения) фигур

198

гексамино можно построить, разворачивая поверхность куба на плоскость?

Аналогичным образом можно разрезать восемь кубов, образующих внешнюю поверхность четырехмерного ги­ перкуба, и получить его развертку. Нам трудно предста­ вить себе, каким видит развертку четырехмерного гиперкуба обитатель четырехмерия (с трехмерной сет­ чаткой?). Тем не менее восемь кубов, ограничивающих гиперкуб, действительно образуют его поверхность: ника­ кой обитатель четырехмерия не может коснуться гипер­ булавкой ни одной точки внутри гиперкуба, не проколов при этом в том или ином месте один из кубов, так же как в обычном трехмерном пространстве мы не можем коснуться булавкой любой точки внутри куба, не прон­ зив при этом одной из граней куба. Однако точки куба, не лежащие на его гранях, расположены «внутри» куба лишь для нас, обитателей трехмерия. Для четырехмер­ ного существа любая точка куба, образующего «наруж­ ную» грань гиперкуба, непосредственно доступна наблю­ дению: поворачивая гиперкуб в своих гиперпальцах, он видит точки гиперграней так же, как мы — точки граней куба.

Еще труднее представить себе, каким образом трех­ мерный куб в четырехмерном пространстве может вра­ щаться вокруг своих двумерных граней. Восемь кубов, образующих границу гиперкуба, соприкасаются друг с другом гранями! Рассматривая трехмерные модели ги­ перкуба, нетрудно понять, что 24 квадратные грани слу­ жат местами сочленения кубов, причем каждая из них разделяет (или, наоборот, соединяет) два куба. Про-

’ведя разрез вдоль 17 из этих 24 граней, мы смо­ жем повернуть кубы во­

круг оставшихся двумер­ ных «шарниров» так,

Р и с. 127. Наибольший из квадратов, умещающихся вну­ три единичного куба.

199

200

Самый большой квадрат, который только можно поместить в единичном кубе, изображен на рис. 127. Его вершины находятся на расстоянии ‘Д от соответствующих вершин куба. Его площадь

равна 9/s, а сторона — 3Д У~2~- Читатели, которые помнят извест­ ную задачу о проталкивании куба наибольших размеров сквозь отверстие квадратного сечения, прорезанное в меньшем кубе, несо­ мненно, узнают своего старого знакомого: найденный нами квад­ рат есть не что иное, как максимальное сечение квадратного отве|ь

кубе.

На рис. 128 изображены 11 различных фигур гексамино, кото­

ГЛАВА 17

НЕИСЧЕРПАЕМОЕ ОЧАРОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ

Этот удивительный математический фокус придумал математик и психолог Гарри Лорейн. Зрителю вручают колоду карт, из которой извлечены дамы, валеты, ко­ роли и десятки, и просят выложить на стол в один ряд вниз рубашкой любые пять карт. Лорейн тотчас же оты­ скивает в колоде некую карту и кладет ее над рядом рубашкой вверх (рис. 129). После этого зритель выкла­ дывает из карт пирамиду, придерживаясь сЛедующих правил.

«Значения» каждой пары карт, расположенных в ниж­ нем ряду по соседству друг с другом, складываются. Если сумма превышает 9, то производится «вычеркива­ ние девятки» (то есть берется вычет по модулю 9). Это действие можно производить очень быстро, если вычи­ тание девятки заменить сложением цифр получившейся суммы. Например, значение первых двух карт в нижнем

201