книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

□ С

Рис. 118. Решение задачи о стеганом одеяле миссис Перкинс для

квадратов порядка от 1 до 12.

з

наименьших порядков (рис. 118). Для квадратов поряди ков 1 и 2 решения тривиальны. Квадрат порядка 3 до­ пускает разбиение на 6 квадратов (пять квадратов по­ рядка 1 и один квадрат порядка 2). Если не считать поворотов и отражений, то разбиение квадрата порядка 3, изображенное на рис. 118, единственно. Число 4 крат­ но 2, поэтому квадрат порядка 4 так же, как и квадрат порядка 2, допускает разбиение на 4 одинаковых квад­ рата. Поскольку такое разбиение представляет собой не что иное, как увеличенный вдвое («раздутый») вариант разбиения квадрата порядка 2, введем новое дополни­ тельное условие: потребуем, чтобы порядки квадратов,

18°

на которые разбивается данный квадрат, были взаимно просты, то есть не имели общих делителей. Тогда наи­ меньшее число квадратов, на которые можно разбить квадрат порядка 4, станет равным 7 (схема разбиения показана на рис. 118). Разбиение, удовлетворяющее до­ полнительному условию (отсутствие общих множителей у порядков квадратов, составляющих данный квадрат), называется «взаимно простым разбиением». Если поря* док квадрата выражается простым числом, то любое раз­ биение такого квадрата будет взаимно простым. Если порядок квадрата выражается составным числом, то от­ нюдь не всякое его разбиение будет взаимно простым. Поэтому, получив разбиение квадрата составного поряд­ ка, необходимо убедиться в том, что оно взаимно про­ сто, ибо в противном случае минимальное разбиение квадрата будет всего лишь тривиальным повторением минимального разбиения квадрата, порядок которого совпадает с наименьшим из множителей, содержащимся в разложении порядка исходного квадрата. Итак, задача о стеганом одеяле миссис Перкинс точно формулируется следующим образом: найти минимальное взаимно про­ стое разбиение квадрата произвольного порядка. (Усло­ вимся в дальнейшем для краткости называть взаимно простые разбиения простыми разбиениями.) Решения за­ дачи для квадратов порядка от 1 до 12 представлены на рис. 118.

Если порядок квадрата совпадает с одним из чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (каждый член последо­ вательности равен сумме двух предыдущих), то при ми­ нимальном симметричном простом разбиении стороны меньших квадратов также выражаются числами Фибо­ наччи. Для квадратов порядка 1, 2, 3, 5 и 8 (рис. 118) минимальное симметричное разбиение совпадает с мини­ мальным разбиением, но для квадрата порядка 13 это уже не так. Симметричное разбиение квадрата порядка 13 на квадраты, стороны которых выражаются числами Фибоначчи, показано на рис. 119. Удастся ли вам полу­ чить минимальное разбиение квадрата' порядка 13? (В отличие от симметричного разбиения, содержащего 12 квадратов, минимальное разбиение содержит всего лишь

11квадратов. Оно несимметрично, то есть не переходит

всебя при зеркальном отражении.) Задача имеет един­ ственное решение.

183

Р и с . 119. Симметричное разбиение квадрата порядка 13.

минимальные простые разбиения для квадратов лю­ бых порядков, и формулы, выражающей минимальное число участвующих в разбиении квадратов как функ­ цию порядка «разбиваемого» квадрата. Задача о стеганом одеяле миссис Перкинс пока остается непри­ ступной: мы не располагаем ни общим методом ее реше­ ния, ни общей формулой. Конуэй доказал, что число квадратов, участвующих в минимальном простом раз­ биении квадрата порядка /г, не меньше log2 п и не больше

б ф К п + П В 1965 г. верхнюю оценку Конуэя удалось улучшить: Дж. Б. Траструм показал, что число квадра­ тов в минимальном простом разбиении не превышает 6 log2 п. Однако и в усиленном варианте оценки еще весьма далеки от явной формулы для числа квадратов, участвующих в разбиении.

В своей статье Конуэй упоминает работу Лео Мозера, также посвященную решению задачи о стеганом одеяле миссис Перкинс. Лео Мозеру принадлежат также реше­ ния и других, не менее интересных задач, связанных с составлением квадрата из других квадратов меньших размеров. Рассмотрим, например, квадраты, длины сто­ рон которых совпадают с членами гармонического ряда

72 + 7з + 74 + Чъ ■ • • . По мере увеличения числа та­ ких квадратов сумма длин их сторон неограниченно воз­

данно в этом пределе появление числа я). Нетрудно убедиться, что я2/6 — 1 чуть больше 0,6. Лео Мозер был первым, кто задумался над вопросом: можно ли разме-

184

A i

Аз 'Ал

O'Vv77^ьХ{о,у\|

Ч Ч ч7& /’§'

Р и с . 120. Решение задачи о размещении бесконечной последова­ тельности «гармонических» квадратов в единичном квадрате.

стить бесконечную последовательность «гармонических» квадратов внутри единичного квадрата так, чтобы ника­ кие два квадрата не перекрывались? Ответ на этот во­ прос оказался утвердительным и довольно простым. Найденное Мозером решение показано на рис. 120. Сна­ чала единичный квадрат разбивается на полосы шири­ ной в V2, V4, Vs, • • • • Поскольку сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии V2 + V4 + Vs + • •.

185

равна 1, внутри единичного квадрата помещается беско­ нечно много таких полос. «Гармонические» квадраты в порядке убывания их размеров выстраиваются внутри полосок («левофланговый» квадрат внутри каждой по­ лоски строго соответствует ей по ширине). Таким спосо­ бом бесконечную последовательность квадратов удается с комфортом разместить внутри единичного квадрата, причем чуть меньше 0,4 его площади остается свободной. Лео Мозеру и его сотруднику Дж. У. Муну удалось до­ вести задачу до ее естественного предела — «изъять все излишки». Они доказали, что бесконечную последова­ тельность «гармонических» квадратов можно разместить в квадрате со стороной 5/б, но нельзя разместить ни в каком квадрате меньших размеров. Им же принадле­ жит и ряд других результатов, в том числе изящное до­ казательство того, что любой набор квадратов, суммар­ ная площадь которых равна 1, можно расположить внут­ ри квадрата площадью в 2 единицы так, что никакие два квадрата, входящие в набор, не будут перекрываться.

Одна из наиболее удивительных задач, связанных с составлением большого квадрата из квадратов мень­ ших размеров, была предложена Ричардом Б. Бритто­ ном. Прочитав статью Татта о квадрировании квадрата — разбиении его на попарно различные квадраты, — Брит­ тон задал себе вопрос: нельзя ли разбить квадрат на меньшие квадраты со сторонами, длина которых выра­ жается последовательными натуральными числами 1, 2, 3, 4, 5, ... . Такое разбиение было бы возможно в том

достигала значения, которое является квадратом какого-

Любопытно, что ни при каком другом п частичная сум­ ма ряда 1 + 4 + ■ •• не равна квадрату целого числа.

Доказательство уникальности числа 4900 имеет лю­ бопытную историю и тесно связано с одной разновид­ ностью трехмерных «фигурных» чисел, известных под названием пирамидальных чисел. Член последовательно­ сти пирамидальных чисел с номером п указывает, из скольких ядер можно сложить правильную четырехуголь­ ную пирамиду в п слоев так, что в верхнем ее слое бу­ дет находиться 1 ядро, в следующем — 4 ядра, затем—■

186

9 ядер и т. д. Нетрудно видеть, что п-я частичная сумма ряда пирамидальных чисел равна I2 + 22 + З2 + •.. + п2. Формула, выражающая n-ю частичную сумму как функ­ цию п, известна: она имеет вид

п (п + 1) (2п + 1 )

61 '

В старинной задаче, приводимой во многих книгах по занимательной математике, требуется найти наименьшее число ядер, из которых можно было бы сложить и пра­ вильную четырехугольную пирамиду, и однослойный квадрат. С точки зрения алгебры задача сводится к оты­ сканию наименьших целых положительных значений т и п, удовлетворяющих диофантову уравнению

Французский математик Эдуард Люка, а позднее и Генри Э. Дьюдени высказали предположение о том, что

Иначе говоря, 4900 — единственное число, большее 1, ко­ торое является одновременно квадратным и пирамидаль­ ным. Доказать правильность гипотезы Люка и Дьюдени удалось лишь в 1918 г. Дж. Н. Ватсону.

Итак, единственной шахматной доской, на разреза­ ние которой резать вдоль линий, разделяющих клетки,

квадрата не доказана, ре­ зультаты Татта и его коллег делают его маловероятным. Найти строгое доказатель­ ство невозможности разбие­ ния, по-видимому, не очень

Рис . 121. Решение задачи о ми­ нимальном простом разбиении квадрата порядка 13.

187

трудно. Гораздо интереснее другой вопрос (в этом и со­ стоит задача Бриттона): какова наибольшая площадь части квадрата порядка 70, которую можно покрыть квадратами из набора квадратов последовательных по­ рядков от 1 до 24? (Разумеется, использовать все 24 квад­ рата невозможно.) Квадраты не должны попарно пере­ крываться и выступать за границы большого квадрата порядка 70. Несмотря на упорные усилия, окончательное решение задачи Бриттона до сих пор не получено.

ОТВЕТЫ

Решение задачи о минимальном простом разбиении квадрата порядка 13 (на 11 меньших квадратов) показано на рис. 121. Для тех читателей, которых заинтересует отыскание минимальных раз-

Р и с. 122. Задача о наиболее плотном покрытии квадрата порядка 70.

188

биений для квадратов более высоких порядков, сообщаю, что квад­ раты порядков от 14 до 17 допускают минимальные простые раз­

ка 40 очевидным образом допускает разбиение на 16 квадратов.) Данные о числе квадратов в минимальном простом разбиении квад­ ратов перечисленных порядков заимствованы из статьи Дж. X. Ко­ нуэя. Как сообщил Конуэй, особенно трудно найти минимальное простое разбиение (на 15 квадратов) квадрата порядка 41.

В лучших из известных решений задач Бриттона незакрытой остается лишь часть квадрата площадью в 49 квадратных единиц,

до 24 (расположение меньших квадратов внутри большого квадрата одинаково с точностью до поворотов и отражений и перестановок квадратов порядка 17 и 18) и отсутствует лишь квадрат порядка 7. Минимальность решения остается недоказанной. Одно из лучших решений изображено на рис. 122.

ГЛАВА 16

МОЖНО ЛИ НАГЛЯДНО ПРЕДСТАВИТЬ СЕБЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНУЮ ФИГУРУ?

Способен ли человеческий разум наглядно представ­ лять себе четырехмерные фигуры?

Знаменитый немецкий физик и физиолог Гельмгольц утверждал, что способность видеть четырехмерные фи­ гуры присуща человеку. Необходимо лишь снабдить мозг надлежащими «входными данными». К сожалению, наш повседневный опыт ограничен трехмерным пространст­ вом и в нашем распоряжении нет никаких научных дан­ ных, которые позволяли бы утверждать, что четырехмер­ ное пространство действительно существует. (Четырех­ мерное евклидово пространство не следует смешивать с четырехмерным неевклидовым пространством-временем теории относительности, в котором роль четвертой коор­ динаты играет время.) Тем не менее при надлежащей тренировке человек мог бы развить в себе способность наглядно представлять четырехмерный гиперкуб (тессе-

189

ракт). «Человеку, который посвятил бы этой задаче всю жизнь, — писал Анри Пуанкаре, — вероятно, удалось бы мысленно представить себе четвертое измерение». Чарлз Говард Хинтон, эксцентричный американский математик, некогда преподававший в Принстонском университете и написавший популярную книгу «Четвертое измерение», разработал особую систему, которая позволяет склады­ вать из разноцветных кубиков трехмерные модели раз­ личных сечений четырехмерного гиперкуба. Хинтон пола­ гал, что человек, достаточно долго игравший его «игруш­ кой», в конце концов обретет интуитивное представление о четырехмерном пространстве. «Я не могу утверждать этого со всей определенностью, — писал он,—ибо мне не хотелось бы быть причиной напрасной траты времени другими людьми в том случае, если я ошибаюсь (что отнюдь не исключено). Что же касается меня лично, то я считаю, что мне удалось развить зачатки четырехмер­ ной интуиции...»

Разноцветные кубики Хинтона слишком сложны, что­ бы их можно было описать или объяснитьих устройство здесь (свою систему тренировки четырехмерной интуиции Хинтон подробно изложил в специальной книге, вышед­ шей в 1910 г. под названием «Новая эра мышления»). Однако ничто не мешает нам, изучая простейшие свой­ ства четырехмерного гиперкуба, сделать первые шаги к той чудесной способности видения четырехмерных фи­ гур, которую начал ощущать в себе Хинтон.

Возьмем точку и сдвинем ее вдоль прямой на рас­ стояние, равное единице (рис. 123, а). Каждую точку единичного отрезка можно «занумеровать», поставив ей

всоответствие число, заключенное между 0 и 1. Сдви­ нем теперь единичный отрезок на единичное расстояние

внаправлении, перпендикулярном прямой, на которой лежит сам отрезок (рис. 123,6). Единичный отрезок опи­ шет при этом («заметет») единичный квадрат. Обозна­ чим одну из вершин квадрата 0, а концы его сторон, пересекающихся в «нулевой» вершине,— 1. Введя таким образом систему координат х и у, мы можем поставить

всоответствие каждой точке квадрата упорядоченную пару чисел — ее координаты. Следующий этап построе­ ния гиперкуба так же ясен, как и предыдущие: сдвинем единичный квадрат на расстояние, равное единице, в на­ правлении, перпендикулярном осям х и у (рис. 123,в),

190

8

Рис. 123. Последовательные этапы построения гиперкуба.

иполучим единичный куб. Выбрав за оси х, у и г три

ребра, сходящихся в одной из вершин куба, поставим в соответствие точкам куба упорядоченные тройки чи­ сел — координаты х, у, z точек.

Хотя наше геометрическое воображение на следую­ щем этапе построения гиперкуба становится бессильным, логически ничто не мешает нам сдвинуть единичный куб на расстояние, равное единице, в направлении, перпен­ дикулярном всем трем осям: х, у и z (рис. 123,г). Фигу­ ра, которая получится в результате сдвига, и будет еди­ ничным гиперкубом. В каждой из вершин гиперкуба сходятся по 4 взаимно перпендикулярных ребра. Вы­ брав любую из вершин гиперкуба за начало координат, а сходящиеся в ней ребра — за оси координат w,-х, у, z, мы сможем поставить в соответствие каждой точке ги­ перкуба упорядоченную "четверку чисел. Аналитическая геометрия позволяет обращаться с этими упорядочен­ ными четверками чисел так же, как обращаются

191