книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

Рис . 106. Простой метод приближенной трисекции произвольного угла.

позволяет провести «трисектрису» исходного угла с ошибкой, меньшей, чем неизбежная неточность чертежа. Известно множество приближенных методов трисекции, точность которых выше, но все они требуют существен­ но больших затрат времени и труда.

Абсолютно точную трисекцию произвольного угла можно осуществить, лишь нарушив одно из традицион­ ных ограничений. Многие кривые, в частности гипер­ бола и парабола, служат идеальными «трисекторами». Другие методы точной трисекции используют бесконеч­ ное число последовательных приближений, а сама «трисектриса» — прямая, отсекающая треть исходного угла, — получается в результате предельного перехода. Однако проще всего нарушить классические ограниче­ ния на использование циркуля и линейки можно путем нанесения на линейку двух точек. Для этого, собствен­ но, даже не требуется наносить на линейку какие-ни­ будь метки: чтобы провести отрезок прямой, достаточ­ но использовать концы линейки, ее ширину или просто прижать к ребру линейки ножки циркуля.

Один из лучших способов такой «жульнической» три­ секции был обнаружен в трудах Архимеда. Предполо­ жим, что требуется произвести трисекцию угла AED (рис. 107). Проведем полуокружность с центром в вер­ шине угла Е и продолжим вправо сторону DE. Не ме­

162

Рис . 108. Устройство Альфреда Кемпе для трисекции угла.

из рисунка, устройство Кемпе производит трисекцию любого угла автоматически. Принцип, положенный в ос­ нову прибора, допускает обобщение: увеличивая число параллелограммов с пересекающимися сторонами, мож­ но получить устройство, которое будет делить произ­ вольный угол на любое число равных частей.

Устройство, известное под названием «томагавк», не имеет движущихся частей, не требует проведения ка­ ких-либо предварительных геометрических построений и, безусловно, гарантирует точную и быструю трисекцию любого угла (рие. 109). Его нетрудно изготовить из обыкновенного картона. Верхний край томагавка AD разделен на три части точками В я С. Кривая часть его контура представляет собой дугу окружности с центром в точке В и радиусом АВ. Томагавк помещают так, что­ бы точка D оказалась на одной стороне «трисектируемого» утла, дуга окружности касалась другой стороны угла, а правый край рукояти проходил через вершину угла. Прямые, проходящие через вершину угла и точки В я С, делят угол на три равные части. Если угол слишком «острый» и томагавк просто не умещается, его всегда можно предварительно удвоить (один или не­ сколько раз)/ произвести трисекцию большего угла, а затем уменьшить полученный угол вдвое (столько же раз, сколько был удвоен исходный угол),

164

сомнений у тех, кто его понимает, во всем мире все еще находятся любители, которые тешат себя надеж­ дой, будто им все же удалось решить задачу и со­ блюсти при этом все требования. Типичный «трисектрист», как правило, достаточно разбирается в элемен­ тарной геометрии, чтобы изобрести свой способ «реше­ ния» неразрешимой задачи, но недостаточно хорошо владеет математикой, чтобы проследить до конца дока­ зательство невозможности трисекции или обнаружить ошибку в своих рассуждениях. Предлагаемый им спо­ соб трисекции зачастую столь сложен, а доказательство столь громоздко, что обнаружить ошибку, которая заве­ домо там имеется, бывает нелегко даже искушенному геометру. Профессиональным математикам нередко при­ ходится получать письма с подобными «доказатель­ ствами». Поскольку поиск ошибки сопряжен с непро­ изводительной затратой времени и не сулит ничего интересного, они обычно стараются как можно скорее отослать полученные материалы автору, даже не пытаясь вникнуть в детали «доказательства». У «трисектриста»

Р и с . 109. «Томагавк» для трисекции произвольного угла.

165

неизменно создается впечатление, будто все математики участвуют в заговоре, чтобы лишить его великое откры­ тие заслуженной известности. После того как труд будет отвергнут всеми математическими журналами, «трисектрист» обычно излагает свое решение в отдельной книге или брошюре, которую издает за собственный счет. Иногда он публикует свой метод в отделе объявлений местной газеты, добавляя, что рукопись с полным до­ казательством «надлежащим образом оформлена».

Последним из любителей-математиков, получивших широкую известность в США в связи с трисекцией угла, был преподобный Иеремия Джозеф Каллахан. В 1931 г., будучи ректором Университета Дюкеня в Питтсбурге, он заявил, что ему удалось решить задачу о трисекции любого угла. Агентство Юнайтед Пресс распространило длинную телеграмму, текст которой был составлен самим отцом Каллаханом. Еженедельник «Тайм» поместил его портрет и весьма доброжелатель­ ную статью о столь революционном открытии. (Кстати сказать, в том же 1931 г. преподобный Каллахан опуб­ ликовал книгу в 310 странц «Евклид или Эйнштейн», в которой, «доказав» знаменитый постулат Евклида о па­ раллельных и тем самым продемонстрировав миру «аб­ сурдность» неевклидовой геометрии, лежащей в основе общей теории относительности, он «ниспровергал» тео­ рию Эйнштейна.) Репортеры и люди, далекие от мате­ матики, были возмущены неслыханным поведением про- фессионалов-математиков, которые, даже не взглянув на построение преподобного Каллахана, в один голос заявили, что оно неверно. Наконец, в конце 1931 г. вы­ шла брошюра Каллахана «Трисекция угла». Матема­ тики оказались правы: Каллахан не справился с три­ секцией угла. Взяв угол, он утроил его, после чего сно­ ва нашел исходный.

3 июня 1960 г. достопочтенный Дэниель К. Инуйе, представлявший в Конгрессе США Гавайи, произнес речь, в которой всячески превозносил заслуги некоего Мориса Киджеля, художника-портретиста из Гонолулу, сумевшего разрешить не только задачу о трисекции угла, но и задачи о квадратуре круга и удвоении куба. Киджель и К. Юнг написали книгу об этом эпохальном событии под названием «Два часа, которые потрясли математический мир» и небольшую брошюру «Решение

166

ГЛАВА 14

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ ФИЗИКА

В этой главе мы решили для разнообразия поме­ стить серию задач, носящих в основном нематематиче­ ский характер. Для их решения необходимы умение ло­ гически мыслить и некоторые (самые элементарные) познания в области физики, поэтому такие задачи с до­ статочным основанием можно назвать физическими. Лишь в редких случаях задачи сформулированы так, чтобы ввести читателя в заблуждение. Тем не менее даже нарочито запутанные задачи не сводятся лишь к одной игре слов, а допускают вполне «серьезное» ре­ шение.

1. Некоторым читателям, вероятно, приходилось ви­ деть следующую необычную игрушку. В цилиндре, на­ полненном водой, плавают песочные часы (рис. ПО). Если цилиндр перевернуть, то происходит нечто забав­ ное: песочные часы остаются на дне до тех пор, пока какое-то количество песка из их верхней части не пере­ сыплется в нижнюю часть, после чего они медленно всплывают. Казалось бы, что пересыпание песка не должно сказаться на общем запасе плавучести часов. Можете ли вы объяснить принцип действия этой игрушки?

2. Сплошной (без внутренних пустот) кусок железа, имеющий форму бублика, нагревают. Что произойдет при этом с диаметром «дырки от бублика»: увеличится она или уменьшится?

3. Из тонкого картона вырежьте подкову размером чуть больше зубочистки. Прислоните подкову к зубо­ чистке так, как показано на рис. 111. Можно ли под­ нять одновременно подкову и зубочистку с помощью еще одной зубочистки, которую вы держите одной ру­

168

кой? Касаться подковы или зубочистки, служащей ей опорой, чем-нибудь, кроме зубочистки, которую вы дер­ жите в руке, запрещается. Подкову и зубочистку тре­ буется поднять одновременно и подержать над столом. Как это сделать?

4. Следующий старый анекдот не лишен физического смысла.

Грузовик с контейнером в кузове подъезжает к шат­ кому мостику. Водитель останавливает машину, выходит из кабины и начинает изо всех сил колотить по кон­ тейнеру. Случайно проходивший мимо фермер спраши­ вает у водителя, что, собственно, тот делает,

1 Ш //// \

[ТгМтт

169

— Я везу в контейнере 200 голубей, — объясняет во­ дитель. — Весят они немало, а мост не внушает дове­ рия. От шума голуби взлетят, вес контейнера умень­ шится, и я благополучно перееду мост. Главное, чтобы голуби не сели, пока машина не сойдет с моста.

Предположим, что контейнер с голубями воздухо­ непроницаем (и не сообщается с внешней средой). Что можно сказать о рассуждениях водителя?

5.Наполните стакан водой и бросьте в него не­ большой кусочек пробки. Покачавшись на волнах, пробка «причалит» к стенке стакана. Можно ли заста­ вить пробку плавать в центре стакана? В стакане не должно быть ничего, кроме воды и пробки.

6.В седьмой главе сказочной повести Льюиса Кэррола «Сильвия и Бруно (окончание)». Немецкий про­ фессор рассказывает о том, что его соотечественникам нет необходимости отправляться в плавание, чтобы испытать все прелести боковой и килевой качки. Же­ лая испробовать острые ощущения, жители страны, из которой прибыл Профессор, надевают на оси своих эки­ пажей овальные колеса. Слушавший Профессора Барон замечает, что он способен понять, каким образом оваль­ ные колеса заставляют экипаж совершать килевую качку, но каким образом они вынуждают экипаж кре­ ниться с борта на борт, ему совершенно неясно.

— Милорд, колеса повернуты относительно друг друга, — отвечает Профессор. — Когда одно из оваль­ ных колес, сидящих на общей оси, стоит на вершине, другое стоит на боку. Поэтому сначала поднимается одна сторона экипажа, затем — другая и при этом эки­ паж испытывает сильную килевую качку. Да, чтобы разъезжать в наших экипажах-лодках, надо быть хо­ рошим моряком!

Можно ли в действительности так подобрать поло­ жения четырех овальных колес, чтобы экипаж, дви­ гаясь, испытывал боковую и килевую качку, о которой рассказал Профессор?

7. Группа друзей решила провести выходной день на лоне природы.

— Захватил ли ты масло и уксус для заправки са­ лата?— спросила миссис Смит своего мужа.

170

—Конечно! — ответил мистер Смит. — А чтобы не возиться с двумя бутылками, я слил их вместе в одну бутылку.

—Глупее ничего нельзя было придумать, — негодую­

ще фыркнула миссис Смит. — Я люблю, когда в са­ лате много масла и чуть-чуть уксуса, а Генриетта, на­

из одной бутылки нужные порции масла и уксуса, су­ мел заправить салат каждому участнику пикника по его вкусу. Как это ему удалось?

8. Представьте себе, что вы заперты в комнате, где (так же как и на вас самих) нет ничего металли­ ческого, кроме двух совершенно одинаковых с виду железных брусков. Один из брусков намагничен. Уста­ новить, какой именно, можно, подвесив каждый из брусков на нити, обвязанной вокруг середины бруска: намагниченный брусок будет вести себя, как стрелка компаса, то есть указывать на север. Нельзя ли более простым способом установить, какой из брусков намаг­ ничен?

9. Кубик льда плавает в ведерке с водой. Вся си­ стема находится при температуре 0°С. К ней подво­ дится такое количество тепла, которое достаточно для того, чтобы растопить лед, не изменив температуру си­ стемы. Что произойдет с уровнем воды в ведерке: он повысится, понизится или останется неизменным?

10. С потолка спортивного зала до пола свисают два каната, подвешенные примерно на расстоянии полу­ метра один от другого. Для соревнований по перетяги­ ванию каната желательно использовать как можно большую часть обоих канатов. Срезать канаты вы­ звался искусный гимнаст. В зале нет ни лестницы, ни других предметов, на которые можно было бы встать, поэтому свою миссию смельчак может выполнить лишь одним-единственным способом: взобраться с ножом в зубах по канату и перерезать оба каната как можно выше. Потолок в зале так высок, что падение даже с 7з его высоты неминуемо привело бы к гибели

171