Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

17+Лекции+по+темеТеория+вероятности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2015

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

~ 31 ~

Теорема Бернулли и её значение

Теорема: для биноминального распределения 0, событие

m	P	(1) является достоверным при n .
n	P	(1) является достоверным при n .
n
		Доказательство:

Для дискретной случайной величины xi определяет число появлений события в i-том испытании

m число появления данногособытия в n испытаниях.

(2)

i 1

M(xi

) P P n

(3)

M(xi ) P

i 1

Подставляем (2), (3) в теорему Чебышева:

M (x )

i 1

(4)

i 1 n

В результате получаем событие (1).

Значит, по теореме Чебышева, значение теоремы (1) является достоверным.

Известно, что mn w - относительная частота w P .

Значение теоремы Бернулли

Относительная частота с точностью до малого числа равна вероятности появления данного события при n .

~ 32 ~

Плотность распределения вероятностей

непрерывной случайной величины

Определение: Плотностью распределения называется функция f(x), которая связана с функцией распределения F(x) следующим равенством: f (x) F(x)

Замечание: Функция распределения F(x) является первообразной от плотности распределения непрерывной f(x) f (x)dx F(x) C .

Вероятность попадания непрерывной

случайной величины в заданный интервал

P(a x b) F(b) F(a) - (свойства F(x))

		b								b
		f (x)dx F (b) F (a) - формула Ньютона - Лейбница P(a x b) f (x)dx
		a								a
					Вычисление функции распределения
					x
					F (x) P( X x) f (x)dx	(a ,b x)

Пример:
			0,	x<0
	f(x)=		2x,	0 x 1
			0,	x 1
					Решение:
			x		x			2		1
			x		0 x 1 , F(x)= 2xdx =		x	2		1
x<0, F(X)= 0dx =0 ;						2	x		= x2; x>1 , F(x)=2	xdx =2
x<0, F(X)= 0dx =0 ;						2			= x2; x>1 , F(x)=2	xdx =2
					0	2				0
										0
	x2	=x2	= 1
2		=x2	= 1
2
			0,	x<0
F(x)			x2 ,	0 x 1
			1,	x>1

~ 33 ~

Свойства плотности распределения вероятности

1. f (x) 0 , т.к. эта функция связана с вероятностью.


2.	f (х)dx 1

		Доказательство:
Р(х ) F( ) 1

P( x )		f (x)dx 1

3.	Вероятность	того, что случайная величина попадает на интервал
	x, x x , приближенно равна произведению плотности распределения
	на длину этого интервала.
		Доказательство:

P(x x x x) F(x x) F(x) F (x) x x F (x) x f (x) x P(x x x x) f (x) x

~ 34 ~

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Дано: Х непрерывная случайная величина, принимающая бесчисленное множество значений на отрезке а;в .

Разобьем отрезок а;в на n частей и выберем внутри каждой части произвольную точку. Вместо бесчисленного значения возможных значений, получим n значений выбранных точек, которые можно рассмотреть, как возможное значение дискретной случайной величины.

Для дискретной случайной величины, математическое ожидание вычисляет-

	n
ся по формуле:	M (x) xi Pi ,
	i 1
Если xi	- длина каждого участка, то Рi можно вычислить по треть-
ему свойству плотности распределения:
	Pi P(xi x xi xi ) (xi ) xi
			n
		M (x) xi f (xi ) xi
			i 1
	n
M (x) lim	xi f (xi ) xi - определенный интеграл.
n	i 1
	i 1
			b
			M (x) x f (x)dx
			a


M (x) x f (x)dx , если x ; .

По определению дисперсия вычисляется: D(x) M x M x 2
			b
	D(x) x M (x) 2 f (x)dx
			а
Или по другой формуле: D(x) M (x2 ) M 2 (x)
			b
		D(x) x2 f (x)dx M 2 (x)
			a

~ 35 ~

Характеристики равномерно распределенной

непрерывной случайной величины

Определение: Распределение называется равномерным, если для него плотность распределения вычисляется по формуле:

0, x a

f (x) 1 , a x bb a

0, x 0

Функция распределения:

х<а

F (x) odx 0 ,

x a

x<b

F (x)

0dx

b a

x>b

F (x) 0dx

dx 0dx

b a

b 0

0, x a

F (x)

, a x b

1, x b

f (x)

Математическое ожидание:

M (x)

xf (x)dx

b a

2(b a)

b a 2

M (x) b a

~ 36 ~

Дисперсия:

(b a)

D(x) x2 f (x)dx M 2 (x) x2

b a 3

b2 2ab a2

b3 a3

x2 2ab a2

3(b

b2 ab a2

b2 2ab a2

4b2

4ab 4a2 3b

2 6ab 3a2

D(x)

b2 2ab a2

D(x)

(b a)2

Среднеквадратическое отклонение:

(x) b

(b a)2

(x) D(x) (x)

Вероятность попадания в заданный интервал:

P(c x d ) F (d ) F (c)

d a

c a

d c

b a

x a

F (x)

b a

Пример: Найти M (10X 1) по заданному графику функции распределения

F (x)

1	11	x

M (10X 1) =10M ( X ) 1. Из рисунка видно, что это равномерное распреде-

ление, поэтому: M (x) b a

M (x) 11 1 6 M (10X 1) 10 6 1 61 2

~ 37 ~

Характеристики показательного распределения

непрерывной случайной величины

Определение: Показательным распределением называется такое распределение, для которого плотность распределения вычисляется по формуле:

e x , x 0		, где - const.
f (x)	0, x 0	, где - const.
	0, x 0
			Функция распределения
		x
х<0,	F (x) 0dx 0

		0	x	e x	x
					x


x 0,	F (x) 0dx x dx					e x 1
			0		0


			1 e x , x 0
			F (x)	0, x 0
				0, x 0

f (х)

x ; f (x) 0 . e

~ 38 ~

Математическое ожидание:

M (x)

x f (x)dx x e x dx lim e x

x e x

x e

по частям: U=x dU=dx;

dV e x V

e x

	e	x

M (x) 1

lim

x ei x

x x

lim e

lim

0 b

lim

b eb

M (x) 1

Дисперсия:

											1
	D(x) x2 f (x)dx M 2 (x) x2 e x dx										1

												2
								0
								0
x2 dx				x2 e x			2	x e x dx		x2 e x
x2 dx								x e x dx

	1		x		2	2 x			2
		e		x
		e		x
									2

				b			1
lim				x2 e x dx			1

								2
		b		0
				0
	2			x		1
			e		x
	2		e		x
	2

По частям: U=x2 dU 2xdx ; dV e x V e x

~ 39 ~

																					2	2 b		2
							2 x			2			b							b
		x			2		2 x			2			b	1						b				x2	2	1
D(x) lim e			x															lim
D(x) lim e			x															lim					b
b											2					2			b				b		2	2
													0									e
													0									e

	Db			2
lim	Db					2		1	lim								2			1
						2		1									2			1
	e b					2		2									e b			2
b	e b					2		2				b 2					e b			2

																	0



												D(x)				1
												D(x)			2
															2

Среднеквадратическое отклонение: (x) 1

Вероятность попадания в заданный интервал:

P(c x d ) F(d ) F(c) 1 e d 1 e c e c e d

Функция надежности показательного распределения

непрерывной случайной величины

Пусть случайная величина Х обозначает время безотказной работы прибора, х – нормативное время до отказа прибора.

F(x) P(X x) вероятность отказа прибора (до нормативный отказ) P( X x) вероятность безотказной работы (сверх нормативный

работа)

P(X x) 1 P(X x) 1 F(x) R(x)

Функцией надежности называется вероятность безотказной сверх нормативной работы (R(x)):

e x , x 0
R(x)	1, x 0

~ 40 ~

Характеристики нормального распределения

непрерывной случайной величины

Определение: Нормальным называется распределение для которого плотность распределения вычисляется по следующей формуле:

( x a)2

, x ( ; ) , где a и b – const.

f (x)

e 2b2

Замечание: Функция распределения

F (x) в элементарных функциях не

существует, т.к. нет первообразной от функции плотности f (х) .

Математическое ожидание:

( x a)2

M (x) x f (x)dx

x e

2b2

b 2

Замена:

x a

dx b dt x b t a

(t b a) e

t e

M (x)

2 dt

неч.

ф я

интеграл 0

Замечание: интеграл на интервале симметричном относительно 0 от нечетной функции равен нулю.

Второй интеграл является интегралом Лапласа и равен 2 .

b 1

(x M )2

M (x) а f (x)

2b2

, x ;

Дисперсия:

( x M )2

2b2

D(x) x M (x) f (x)dx

M (x)

Замена:

x M

dx b dt x M b t

t2 e

t(t e

D(x)

2 dt

2 )dt

U t

dU dt

По частям:

t 2

V t e

dV t e 2 dt

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.2016186.23 Кб1915292.rtf
#
21.09.20198.95 Mб2116-20.docx
#
08.09.2019145.95 Кб1316-20.docx
#
23.09.201953.56 Кб1416-20.docx
#
03.03.2015428.47 Кб1516.docx
#
03.03.20151.3 Mб3417+Лекции+по+темеТеория+вероятности.pdf
#
25.09.201955.72 Кб2117-25.docx
#
03.03.2015235.25 Кб2917.docx
#
20.12.201835.42 Кб1618-24.docx
#
03.03.2015356.01 Кб2118.docx
#
01.05.20253.85 Mб21916.doc