РГР
.pdf
|
21 |
Следует заметить, что выбранная последовательность действий опре- |
|
деляется исключительно удобством построения. |
|
y |
Масштаб сил: |
|
|
|
10 kH |
|
Масштаб длин: |
|
2 M |
P3 |
P5 |
|
|
R1 |
Q 2 |
yo |
|
P1 |
Q 1 |
P4 |
P2 |
|
|
|
x |
A |
|
|
R2 |
xo |
|
|
F |
|
Ðèñ.20 |
По чертежу находим величины проекций равнодействующей на ко- |
|
ординатные оси: |
FY = ¡40 kH: |
FX = 30 kH; |
|
22
Определяем графически координаты точек пересечения линии действия равнодействующей с координатными осями:
xo = 10 м; yo = 13:3 м:
Вычисление главного вектора системы сил.
Найд¨ем проекции главного вектора на координатные оси:
Xn
Rx¤ = Fkx = P1 ¡ P2 + P4 cos ® + Q1 sin ® ¡ Q2 = 30 kH;
k=1
Xn
Ry¤ = Fky = ¡P3 ¡ P4 sin ® ¡ F + Q1 cos ® = ¡40 kH:
k=1
Для проверки полученного результата построим силовой многоугольник из сил заданной системы (Рис.21).
|
P1 |
|
|
|
|
Масштаб сил: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Q 1 |
|
|
|
|
|
10 kH |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
P5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P4
Q 2
Ðèñ.21
По чертежу определяем величины проекциий главного вектора на координатные оси:
Rx¤ = 30 kH; Ry¤ = ¡40 kH:
|
|
|
23 |
Вычисление главного момента системы сил. |
|||
Принимая точку А за центр приведения, вычислим проекцию главно- |
|||
го момента системы активных сил на координатную ось Az. Вычисления |
|||
проводятся по формуле: |
|
||
|
|
4 |
(xk Fky ¡ yk Fkx) ; |
|
|
MAz¤ = |
|
|
|
=1 |
|
|
|
kX |
|
где xk; yk - координаты точки приложения силы с номером k, Fkx; Fky |
|||
- е¨ проекции на координатные оси. В нашем случае получаем |
|||
MAz¤ = ¡P4 cos ® ¢ 3 ¡ P1 ¢ 6 + P2 ¢ 3 ¡ P3 ¢ 4 ¡ F ¢ 12 + Q2 ¢ 7+ |
|||
|
|
|
15 |
|
+Q1 cos ® ¢ 10 ¡ Q1 sin ® ¢ 2 ¡ M = ¡400 kH м: |
||
y |
|
|
|
|
|
|
Масштаб сил: |
|
|
|
10 kH |
|
|
|
Масштаб длин: |
|
|
|
2 M |
|
|
P3 |
|
|
|
|
Q 2 |
|
|
|
P5 |
P1 |
|
|
Q 1 |
P4 |
|
P2 |
|
h1 |
|
h8 |
|
|
|
|
|
|
h4 |
h3 |
h2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
A |
|
h7 |
|
|
|
h5 |
|
|
|
Ðèñ.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
Проверим полученный результат, используя формулу: |
||||||||
|
|
|
4 |
|
¯F~k¯ |
hk: |
||
|
MAz¤ = k=1 (§1) |
|||||||
|
|
|
X |
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
Плечи сил hk измерять по чертежу в масштабе (Рис.22): |
||||||||
MAz¤ = ¡36 ¡ 144 + 36 ¡ 120 ¡ 396 + 126 + 320 ¡ 180 ¡ 6 = ¡400 kH м: |
||||||||
Построение равнодействующей. |
|
|
|
|
||||
В соответствии с теоремой о приведении системы сил к одному цен- |
||||||||
тру заданная система активных сил оказалась эквивалентной системе, |
||||||||
R |
R |
¤ |
|
|
|
|
|
|
состоящей из силы ¡! |
= ¡! |
, приложенной в центре приведения А, и |
||||||
пары сил, момент которой равен главному моменту системы сил относи- |
||||||||
|
|
|
|
R0 |
; F |
) |
|
|
тельно центра А. Построим пару сил |
(¡! |
|
|
таким образом, чтобы одна |
||||
R |
¡! |
|||||||
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
из сил пары ¡! уравновешивала силу ¡!. Для этого положим |
||||||||
|
R0 |
F |
|
R |
¤ |
|
||
R0 |
¡! |
= ¡¡! = |
¡! |
|
|
|||
и приложим силу ¡! в точке А (Рис.23). |
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Масштаб сил: |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 kH |
|
|
|
|
|
|
|
|
Масштаб длин: |
R |
|
|
|
|
|
|
|
2 M |
yo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
F |
|
|
|
x o |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ.23 |
|
|
|
|
|
25
|
(!¡ |
; F |
) |
|
|
|
|
|
|
|
Плечо пары сил |
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡! определяем по формуле |
|||||||||
|
|
h = |
¯¡!A¯ |
= 400 = 8 м: |
||||||
|
|
|
|
¯ |
M |
¤ |
¯ |
50 |
|
|
|
|
|
|
R |
¤ |
|
||||
|
|
|
|
¯ |
¡! |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
R0 |
; |
R |
F |
Силы !¡ |
|
и ¡! |
уравновешивают друг друга, оставшаяся сила ¡! и бу- |
дет равнодействующей.
¡!
Сравнивая построенную силу F с полученным ранее результатом, убеждаемся в их совпадении.
Измеряя по чертежу отрезки, отсекаемые линией действия равнодействующей на координатных осях, получаем:
40
xo = 10 м; yo = 3 ' 13:3 м:
Уравнение линии действия равнодействующей. Составим
уравнение линии действия равнодействующей
MAz¤ = x Ry¤ ¡ y Rx¤:
В нашем примере получаем:
3 y + 4 x = 40:
Отрезки, отсекаемые этой линией на координатных осях, оказываются равными
40
yo = 3 ' 13:3 м;
что совпадает с полученным ранее результатом.
Часть 4. Определение положения центра тяжести конструкции.
Левая часть конструкции образована тринадцатью однородными стержнями (Рис.24).
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
y |
|
|
|
xc2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc1 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
4 |
|
12 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3ì |
3 |
5 |
|
10 |
14 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
3ì |
|
|
|
. |
|
|
|
. |
||
|
|
C1 |
|
|
|
|||
3ì |
2 |
7 |
11 |
|
C2 |
|
||
|
|
18 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
yc1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
yc2 |
|
|
4.5ì |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
15 |
|
3ì |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
|
|
B |
x |
|
|
4ì |
|
4ì |
4ì |
2ì |
2ì |
|
|
|
|
|
|
Ðèñ.24 |
|
|
|
|
Координаты центров тяжести стержней xk; yk и их длины Lk приве- |
|||||||
дены в Таблице 1. |
|
|
|
|
|
|
||
Таблица 1
Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Координата x 0 0 0 2 2 2 2 2 2 4 4 6 6 центра тяжести стержня (м)
Координата y 1.5 4.5 7.5 9.0 7.5 6.0 4.5 3.0 1.5 7.5 4.5 6.0 6.0 центра тяжести стержня (м)
Длина стержня (м) 3 3 3 4 5 4 5 4 5 3 3 4 5
Координаты центра тяжести фермы определяем по формулам:
xc1 |
n xk Lk |
' 2:59 м; yc1 = |
n |
yk Lk |
' 5:59 м: |
||
= kPn |
|
Pn |
|
|
|||
|
=1 |
|
|
k=1 |
|
|
|
|
P |
Lk |
|
kP |
Lk |
|
|
|
k=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
27
Вес фермы пропорционален длине стержней, из которых образована ферма. Учитывая, что вес одного метра стержня по условию составляет 0.3 кН, получаем вес фермы
G1 = 0:3 ¢ 51 = 15:3 kH:
Положение центра тяжести фермы (точка C1) показано на Рис.24. Правая часть конструкции представляет собой однородную пластину
с круглыми отверстиями, радиус которых r = 1:2 м. Разобъ¨ем пластину на части, положение центров тяжести которых известно из соображений симметрии: два треугольника (тела 14 и 15), прямоугольник без отверстий (тело 16) и два круга (тела 17 и 18), площадь (вес) которых считаем отрицательной.
Координаты центров тяжести тел xk; yk и их площади Sk приведены в Таблице 2.
Таблица 2
Номер тела 14 15 16 17 18
Координата x 6.67 14.67 14 14 14 центра тяжести тела (м)
Координата y 8 2 6 7.5 4.5 центра тяжести тела (м)
2
Площадь тела (м ) 6 6 24-4.52-4.52
Координаты центра тяжести пластины определяем по формулам:
xc2 |
n xk Sk |
= 14 м; yc2 = |
n |
yk Sk |
' 5:55 м: |
||
= kPn |
|
Pn |
|
|
|||
|
=1 |
|
|
k=1 |
|
|
|
|
P |
Sk |
|
kP |
Sk |
|
|
|
k=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
Вес пластины пропорционален е¨ площади. Учитывая, что вес одного квадратного метра пластины по условию составляет 0.6 кН, получаем вес пластины
G2 = 0:6 ¢ 26:96 ' 16:18 kH:
Положение центра тяжести пластины (точка C2) показано на Рис.24. Вычислим реакции опор А и В с уч¨етом собственного веса конструк-
ции. Рассмотрим равновесие пластины. Силовая схема представлена на Рис.25.
28
|
6ì |
|
|
|
RCY |
|
P5 |
|
|
RCX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5ì |
α |
|
|
|
|
Q1 |
|
. |
Q2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
G 2 |
|
7ì |
|
|
M |
|
RBX |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RBY |
|
2ì |
2ì |
4ì |
|
|
|
|
Ðèñ. 25 |
|
|
Составим уравнение моментов относительно оси Cz; |
|
||
k=1 MCZ ³F~k´ |
= 0; |
RBY ¢8+RBX ¢9¡P5 ¢4+Q1 cos ®¢2+ |
|
n |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
+Q1 sin ® ¢ 1:5 ¡ Q2 ¢ 2 ¡ M ¡ G2 ¢ 6 = 0: |
(1) |
Рассмотрим равновесие всей системы. Силовая схема представлена на Рис.26. При составлении силовой схемы учтено, что заданная система
активных сил (за исключением силы тяжести) приведена к простейшему
¡!
виду - найдена равнодействующая этой системы сил - F .
|
|
|
|
29 |
y |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
.C1 |
F |
. |
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
G 1 |
|
G 2 |
|
|
|
|
|
|
A |
RAX |
|
B |
RBX |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RAY |
|
6ì |
|
RBY |
||||
|
|
|
10ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 26
Уравнения равновесия имеют вид: |
|
||
n |
|
|
|
kX |
|
|
|
Fkx = 0; |
RAX + RBX + Fx = 0; |
(2) |
|
=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
kX |
RAY + RBY + Fy ¡ G1 ¡ G2 = 0; |
|
|
Fky = 0; |
(3) |
||
=1 |
= 0; RBY ¢ 16 ¡ G1 |
¢ x1 ¡ G2 ¢ x2 + Fy ¢ 10 = 0: |
(4) |
k=1 MAZ ³F~k´ |
|||
n |
|
|
|
X |
|
|
|
Уравнения (4) и (1) позволяют определить |
|
||
|
RBY ' 41:63 kH; |
RBX ' ¡18:04 kH: |
|
Из уравнений (2) и (3) находим: |
|
|
|
|
RAX = ¡12 kH; |
RAY = 29:85 kH: |
|
30
Часть 5. Сила трения.
В соответствии с заданными условиями, конструкция закреплена в точке В при помощи неподвижного шарнира и свободно опирается в точке А на горизонтальную шероховатую поверхность. Опора в точке D, если она была, должна быть убрана (Рис.27).
|
P3 |
|
. |
P5 |
|
|
|
C |
q2 |
||
|
D |
|
|
|
|
3ì |
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
.C1 |
|
q1 |
|
. |
3ì |
P4 |
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
||
α |
G 1 |
P2 |
M |
|
G 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|
3ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
/////////////////////// |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
//////////// |
|
4ì |
4ì |
4ì |
|
4ì |
|
|
|
Ðèñ. 27 |
|
|
Предположим, что конструкция находится в равновесии. Силовая схема представлена на Рис.28.
Составим условия равновесия:
n |
|
|
kX |
|
|
Fkx = 0; |
F¿ + RBX + Fx = 0; |
|
=1 |
|
|
n |
|
|
kX |
|
NA + RBY + Fy ¡ G1 ¡ G2 = 0; |
Fky |
= 0; |
|
=1 |
|
= 0; RBY ¢ 16 ¡ G1 ¢ x1 ¡ G2 ¢ x2 + Fy ¢ 10 = 0; |
k=1 MAZ ³F~k´ |
||
n |
|
|
X |
|
|
где F¿ - сила трения.