Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5135 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный строительный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Nadezhnost_ASU

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
03.03.2015
Размер:
1.78 Mб
Скачать
☆

Для состояния P2(t) принципиально кривые остаются аналогичными.

kn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.к. , то kn

tв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kr

1 kn

 

 

 

 

Модель восстанавливаемой системы с двумя параллельно включенными элементами.

Гипотеза состояний системы составим граф состояния системы:

31

xi исправное состояние xi - неисправно е состояние

P' (t) P (t) P (t)

1

1

2

На основании уравнения Колмогорова:

P (t) ( )P (t) P (t)

P (t)

 

1

1

2

 

1

1

2

2

 

3

P (t) ( )P (t) P (t)

 

P (t)

 

2

2

1

2

1

1

2

4

P (t) (

 

)P (t) P (t) P (t)

 

3

1

2

3

2

1

1

4

P (t) (

2

)P (t) P (t) P (t)

 

4

1

 

4

1

3

2

2

В результате решения уравнений в установившемся режиме, т.е. через kn и kr, получаем следующее соотношение:

P (t)

 

 

1 2

k

 

k

 

 

 

 

r1

r 2

1

( 1

2 )( 2 2 )

 

 

 

 

 

 

 

P2 (t) k 1 kr 2

 

 

 

 

 

P3 (t) kr1 k 2

 

 

 

 

 

P4 (t) k 1 k 2

 

 

 

 

т.к. P P P P 1

 

 

 

 

1

2

3

4

 

 

 

 

krs 1 k 1 k 2

krs коэффициен т готовности системы

Для случая дублирования в справочниках приводится формула вероятности состояния системы (работоспособное) в нагруженном и ненагруженном резерве.

Приближенная формула расчета надежности для n включенных элементов (параллельно).

 

n

n

 

 

 

 

 

 

s

i k j

 

 

 

 

 

 

i 1

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

j i

 

 

 

 

 

 

s 1

k k

2

k k

3

3

k k

2

 

 

2

3

1

 

1

11.12.02г

Понятие о финальных вероятностях и системах с доходами.

Теорема о существовании в установившемся режиме финальных вероятностях состояния системы. Финальные вероятности существуют, если число состояний системы конечно и из каждого состояния в другое можно перейти за конечный

интервал времени, т.е. limt Pi (t) Pi* .

32

В этом случае дифференциальные уравнения Колмогорова могут быть представлены системой алгебраических уравнений. Для рассмотрения случая с n=2:

0 ( ) P *

P *

1

2

1

2

2

 

3

0 ( ) P*

P *

2

1

1

1

2

 

4

0 (

) P* P *

1

2

2

1

1

 

4

0 (

) P

* P *

1

2

2

2

1

3

Полученная система без правой части решается с нормирующим условием:

P* P * P* P * 1

1

2

3

4

Решение этого уравнения дает значения финальных вероятностей.

Понятие о системах с доходами.

Финальные вероятности – среднее время нахождения системы в i-том состоянии. Следовательно, при доходе системы сi в единицу времени в i-том состоянии суммарный доход системы:

C P*C P*C P C

 

1

1

2

2

3

3

5.Схема гибели-размножения в моделях надежности.

5.1.Понятие системы гибель-размножение.

Дана группа из m однородных элементов, при Пуассоновских потоках отказоввосстановления группу элементов (организмов) можно представить графом-схема

«гибель-размножение». при n=4

24=16 дифференциальное уравнение

0

1

2

3

4

4

3

2

1

0

5.2. Схема с ненагруженным (холодным) резервом для группы m равнонадёжных элементов.

33

осн; резерв; 0(без восстановления)

'

(t) P0 (t)

P0

P'

(t) P (t) P (t)

1

 

 

1

0

......

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P'

 

(t) P

(t)

m

 

m 1

 

Система решается преобразованием Лапласа:

 

 

 

( t)m

 

q (t)

 

e t

 

s

 

 

m!

 

 

 

 

 

qs - отказ системы

Ts

 

- среднее время работы системы, увеличивающееся пропорционально числу

резервных элементов

t – среднее время безотказной работы одного элемента

Pm (t) 1 qs (t)

Ts Ps (t)dt mt

0

Существуют формулы для группы неравнонадёжных элементов.

Ts t1 t2 ... tm , где ti наработка до отказа I-того элемента (для неравнонадежных элементов).

const

5.3.Нагруженный резерв равнонадёжных невосстанавливаемых элементов.

осн рез; 0

34

 

 

'

(t) m P0 (t)

 

 

 

 

 

 

P0

 

 

 

 

 

 

P'

(t) (m 1) P (t) m P (t)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

......

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P'

 

(t) P

(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ps (t) 1 (1 e t )m

для равнонадежных элементов

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

Ts

 

Ps (t)dt

 

 

 

...

 

 

 

 

 

2

 

m

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

(t)

 

f (t)

 

 

 

 

 

 

 

q' (t)

 

 

 

 

 

 

 

[1 e t ]m

 

 

 

 

1

F (t)

1

 

 

(t)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

Ts

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) q' (t) p' (t) производная безотказной работы

s (t) m mtm 1 , при t 1

1mtm

5.4.Модель равнооблегченного резервирования и равнонадежной

невосстанавливаемости элементов.

рез осн

P' (t) [

(m 1)] P (t)

 

 

0

 

р

0

 

 

P' (t) [

(m 2)] P (t)

(m 1) P (t)

1

 

р

1

р

0

P'

(t) P

(t)

 

 

 

m

m 1

 

 

 

 

Решением дифференциальных уравнений через преобразование Лапласа получаем результат:

P (t) 1

( р )( 2 р )...[ (m 1) р ]

tm

 

 

s

 

 

 

 

 

 

m!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

1

 

1

 

1

...

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

р

 

2 р

 

(m 1) р

 

 

 

 

Включение результирующих элементов при облегченном резервировании дает наибольший эффект при:

( р )

 

( р )

i

i 1

 

i

 

i 1

35

6. Марковские модели надежности с дискретным временем.

Процесс перехода физической системы из одного состояния в другое можно рассматривать в фиксированные моменты времени, следующие друг за другом через определенные интервалы времени (шаги процесса), в течение шага система находится в неизменном состоянии. Граф связности имеет вид:

m=3

Pij(n) – вероятность перехода из i-того состояния в j-тое на n-ном шаге.

i (n) - вероятность i-того состояния системы

i=1,m

(n) ( 1(n), 2 (n),..., m (n))

(n) - вектор состояния системы на n-ном шаге.

Переход системы из состояния в состояние определяется матрицей переходных вероятностей на n-ном шаге.

Pij (n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (n),

P (n), ...

P

(n)

 

 

11

12

 

1m

 

 

 

 

 

P (n),

P (n), ...

P

(n)

 

 

 

 

 

Pij

(n)

 

21

22

 

2m

 

 

 

 

 

...

...

...

...

 

 

 

 

 

 

 

 

Pm2 (n) ...

 

 

 

 

 

 

Pm1(n),

Pmm (n)

Если матрица переходных вероятностей не меняется от шага к шагу, то такой процесс перехода называется однородным.

При Пуассоновских потоках отказа-восстановления, процесс всегда однороден.

Алгоритм определения состояний системы на заданном шаге.

Если можно определить вероятность системы на n-ном шаге и существует алгоритм на n+1 шаге, то случайный процесс определен на любом шаге.

Дана система с двумя состояниями m=2.

36

Разностные уравнения для аналогичной системы на интервале t имеет вид

P (t t) (1 t)P (t) ( t)P (t)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

P (t t) ( t)P (t) (1 t)P (t)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

1

(n 1) P

(n) P

2

(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

11

1

 

 

 

21

 

 

 

 

 

2

(n 1) P

 

(n) P

2

(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

1

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (n);

 

P (n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pij (n)

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P21(n);

P22 (n)

 

 

 

 

(n) ( 1(n), 2 (n))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)

 

P

 

(

(n),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

1i

 

2

(n))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P2i

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, K-тое состояние системы есть произведение k-того столбца матрицы переходных состояний на вектор состояния системы.

Т.е. для общего случая:

 

1

(n 1) P (n)

1

(n) P (n)

2

(n) P

(n)

m

(n)

 

11

 

 

21

 

 

m1

 

 

 

 

 

2

(n 1) P (n)

1

(n) P (n)

2

(n) P

 

(n)

m

(n)

 

12

 

 

22

 

 

m2

 

 

 

.....................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

(n 1) P

(n)

1

(n) P

(n)

 

2

(n) P (n)

m

(n)

 

1k

 

 

2k

 

 

 

mk

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (n 1) Pik (n) i (n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторная форма записи для однородных процессов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

(0)

 

 

 

 

Pij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

(2)

(1)

 

 

Pij

 

(0)

 

 

 

Pij

 

 

 

 

(3) (2) Pij (0) Pij 3(n) (0) Pij n

Существует уравнение Чеминема-Колмогорова для записи n-ого состояния системы для неоднородных процессов.

Понятие финальных вероятностей эргодических процессов. Существует большой класс систем, у которых после некоторого числа переходов,

вероятность i (n) стремится к постоянной величине.

lim i (n) i*

n

Также системы называются эргодическими или статистически устойчивыми. При этом различаются невозвратные состояния – состояния, в которых находится система как угодно долго без перехода в эргодический класс.

37

Каждый Марковский процесс должен иметь, по крайней мере, один эргодический класс.

7. Марковские модели надежности восстанавливаемых систем с финальными вероятностями.

Если граф состояния восстанавливаемой системы можно представить в виде схемы гибели-размножения, то в ряде случаев удается получить инженерные формулы расчета финальных вероятностей путем решения системы алгебраических уравнений.

Ограничения:

(t) const

(t) const Pi (t) Pi*

Ограниченный ремонт – одновременно восстанавливается только один отказавший элемент.

Неограниченный ремонт – одновременное восстановление всех отказавших элементов.

Ненагруженный резерв, ограниченный ремонт равнонадёжных элементов.

38

осн

 

 

 

 

 

 

 

 

рез

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pk ( 1 2 ... k )P0

 

P0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

(1 1 1 2 1

2 3 ... i )

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

Pm отказ системы

 

P m P

m

 

 

 

m

 

m

0

 

 

1 i

i 1

Ps 1 Pm

Ненагруженный резерв, неограниченный ремонт равнонадёжных элементов.

оснрез 0

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)P

m

(

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

1

 

 

2

 

 

 

m

 

 

0

 

m! 0

P0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

...

 

m

 

 

 

 

 

 

1

 

1 2

 

m!

Pm

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m!(1

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1 i!

 

 

 

 

 

 

 

39

Нагруженный резерв ограниченный ремонт равнонадёжных элементов.

оснрез осн

Pm (m (m 1) ...2 1 )P0

P0

 

 

1

 

 

 

 

 

m m(m 1) 2

... m! m

 

1

Ps 1 Pm вероятность безотказной работы

Pm

 

 

m m

 

m ... m! m

 

1

18.12.2002г

Нагруженный резерв, неограниченный ремонт, равнонадежные элементы.

P (

m

 

 

m 1

...

1

)P

 

m!

m P

m P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

1

 

 

 

 

2

 

 

m

 

 

0

 

m!

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

m

 

 

m(m 1)

 

2

... (

m(m 1)(m 2)... 1

) m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 3 ... m

 

 

 

 

 

 

 

Pm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

1

 

m

 

m(m 1)

 

2

 

... (

m(m 1)(m 2)... 1

)

m

 

1

i m!

 

 

 

 

1 2

 

 

 

1 2 3 ... m

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

i!(m i)!

40

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности