книги из ГПНТБ / Пенкаля, Т. Очерки кристаллохимии

ТРАНСЛЯЦИОННОЕ ПОВТОРЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ В РЕШЕТКАХ

Элементы симметрии решеток, т. е. обычные плоскости симмет­ рии и плоскости скользящего отражения, а также обычные и вин­ товые оси симметрии, будучи трансляционнр повторенными, дают целые серии (семейства) аналогичных плоскостей и осей, парал­ лельных самим себе. Кроме того, между плоскостями или осями, принадлежащими одному семейству, появляются новые семейства плоскостей или осей симметрии. Основные элементы симметрии яв­ ляются генераторами вторичных элементов симметрии. Например,

.ілоскость симметрии, совпадающая с одной из плоскостей Р-ре- шетки, трансляционно повторяется, порождая семейство парал­ лельных, идентичных плоскостей, находящихся на расстоянии трансляций т (на рис. 3.12 плоскость обозначена А) *. Любая точка или группа атомов /, лежащая с одной стороны плоскости симмет­ рии, повторяется симметрично с другой стороны (2). Группы ато­ мов 1 и 2 повторяются потом трансляционно плоскостями симмет­ рии. В качестве вторичного** элемента симметрии возникает се­ рия параллельных плоскостей симметрии В, лежащих на половине расстояния между плоскостями А. Группы атомов 1 и 2 симмет-

* На рис. 3.12 и далее, кроме приведенных обозначений элементов симмет­ рии (см. табл. 3.4, 3.5), используются: о — центр инверсии; О — проекция атома

в правильной системе точек общего положения; ф — два накладывающихся на

данной проекции атома в правильной системе точек общего положения; 0 —

проекция атома в правильной системе точек, инвертированных центром инвер­ сии; «плюс» — атом расположен над уровнем проекции; «минус» — атом распо­

ложен под уровнем проекции; — , — и т. д. — уровень расположения элемента

симметрии или атома над (с плюсом) или под (с минусом) плоскостью проекции

вдолях трансляции. {Прим, перев.)

**Равнодействующего. {Прим, ред.)

СО

рично расположены по отношению к этим вторичным элементам симметрии.

Подобная зависимость существует также в случае плоскостей скользящего отражения (рис. 3.13).

Если узлы, находящиеся в вершинах элементарной ячейки (рис. 3.14,а), рассматривать как центры симметрии, то любая точка, не совпадающая с ними, или группа атомов (обозначена треугольником со знаком плюс) повторяется симметрично под вер­ шиной на том же самом расстоянии (треугольник со знаком ми­ нус). Пары треугольников трансляционно повторяются при каждой из вершин элементарной ячейки. Видно, что между парами тре­ угольников соседних узлов существуют центры симметрии серии В и С. Два аналогичных центра симметрии порождают на половине трансляции новый центр симметрии. Для всей элементарной ячей­ ки выявляется восемь центров симметрии: в вершинах, центрах граней и ребер, а также в центре элементарной ячейки

(рис. 3.14, б).

Трансляции, перпендикулярные к обычным, инверсионным или винтовым осям симметрии, размножают эти оси и генерируют се­ рии новых осей часто с кратностью, отличающейся от порядка ис­ ходной оси (рис. 3.15—3.18). На рисунках приведены символы про­ странственных групп, отвечающих изображенным сочетаниям эле­ ментов симметрии (см. стр. 62).

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ

Выведенные Федоровым, а несколько позднее Шенфлисом и Барлоу 230 пространственных групп представляют те геометриче­ ские законы, по которым атомы располагаются внутри кристалли­ ческих построек.

Пространственная группа — комбинация всех элементов сим­ метрии, присущих данной структуре. К одному кристаллографиче­ скому классу могут принадлежать кристаллы, отличающиеся отно­ шением осей. Аналогично к одной и той же пространственной группе принадлежат правильные системы точек с различными трансляционными расстояниями, но одинаковые по симметрии, характерной для данной группы.

Распределение пространственных групп по сингониям и видам (классам) симметрии приведено в табл. 3.6.

Пространственные группы данного кристаллографического клас­ са выводятся для решеток Бравэ данной сингонии.

Вывод основан на дифференциации элементов симметрии дан­ ного класса. Это означает, что обычные оси симметрии, присущие данному классу, заменяются трансляционным набором обычных либо винтовых осей симметрии того же порядка, а плоскости сим­ метрии— трансляционно разложенным набором обычных плоско­ стей либо плоскостей скользящего отражения типа а, Ь, с, п, d. Если в кристалле имеется центр инверсии, его заменяют восемью сериями центров инверсии (см. стр. 62) .

61

1

б

Рис. 3.14. Действие центра инверсии:

а —центросимметричное повторение точки; б —серия исходных (/) и равнодей­ ствующих (2—8) центров симметрии.

Рис. 3.15. Серия поворотных (а) и винтовых (б) осей симмет­ рии второго порядка (I) и им равнодействующие оси (II—IV).

Рис. 3.16. Серия поворотных (а) и винтовых (б, в) осей симметрии третьего порядка (I) и им равнодействующие оси (II, III).

г

Рис. 3.17. Серия поворотных (а) и вин­ товых (б — г) осей симметрии четвер­ того порядка (I) и им равнодействую­ щие оси (ІІ).

Рис. 3.18, Серия осей симметрии шестого порядка и им равнодействующие оси второго и третьего порядков.

64

66

метрии бесконечных фигур, в соответствии с теоремами об их сло­ жении (см. правила Войно на стр. 44), выводят 230 пространствен­ ных групп симметрии.

Если в пространственных группах сведем к нулю трансляцион­ ные переносы, что превратит плоскости скользящего отражения и винтовые оси в обычные зеркальные плоскости симметрии и пово­ ротные оси, получим 32 точечные группы симметрии.

Набор точек, принадлежащий данной пространственной груп­ пе, можно рассматривать как систему узлов нескольких идентич­ ных решеток Бравэ, вставленных параллельно одна в другую. Все эти взаимно расположенные решетки одинаковы по размерам и форме. В узлах кристаллических структур химических соединений каждой из таких решеток находятся атомы (ионы) только одного сорта, так как все точки (узлы) решетки Бравэ гомологичны.

Число атомов или ионов, размещающихся в элементарной ячей­ ке данной пространственной группы, зависит от положения этих атомов (ионов) по отношению к элементам симметрии решетки. Если атом (ион) находится в общем положении, т. е. не лежит на каком-либо элементе симметрии, то число симметрично повторяю­ щихся атомов максимально. Образуется общая правильная система точек, связанных между собой элементами симметрии, которая ха­ рактеризует данную пространственную группу.

Если атом (ион) находится в частном положении, т. е. лежит на каком-либо элементе симметрии, то число его симметричных повторений иногда уменьшается. Например, точка, лежащая на плоскости симметрии, повторяется симметрично в два раза реже, чем точка в общем положении. Точка, расположенная на плоско­ сти скользящего отражения, смещается в ней, но число повторений не уменьшается по сравнению с общим положением. Точка, нахо­ дящаяся на одной из винтовых энантиоморфных осей (3[ и 32, 4і и 43, 6] и 65), также повторяется на оси с сохранением кратности позиций общего положения. Точка, расположенная на одной из по­ воротных осей либо на одной из винтовых осей 42, 62, 63 и 64, сим­

метрично повторяется на самой оси меньшее число раз, чем точка в общем положении.

Количество различных систем точек общего положения равно числу пространственных групп (230). Аналогичные правильные си­ стемы точек в частных положениях могут встречаться в разных пространственных группах.

Положение точки в кристаллической решетке определяет ее собственную симметрию. Так, если точка лежит на плоскости сим­ метрии, то ее собственная симметрия определяется символом m (или символом плоскости симметрии). Если точка лежит на пере­ сечении трех перпендикулярных друг другу плоскостей симметрии, то ее собственная симметрия mmm. Точка в общем положении асимметрична. Собственная симметрия каждой точки в кристал­ лической структуре отвечает симметрии одного из кристаллографи­

63

ческих классов. Например, в пространственных группах кубической сингонии существуют точки общего положения, не имеющие ника­ кой симметрии (класс 1 триклинной сингонии); точки, лежащие в плоскости симметрии, характеризуются гемиэдрией моноклинной сингонии (т); точки, лежащие на четверной оси, — тетартоэдрией тетрагональной сингонии (4) и т. д.

Обозначения пространственных групп

Существует ряд способов обозначения пространственных групп. Наиболее рациональными и широкоиспользуемыми являются обо­ значения Германа — Могена. Каждая пространственная группа со­ держит сначала обозначение, определяющее тип решетки Бравэ:

Р — примитивная; / — объемноцентрированная; А, В, С — бокоцентрированные и базоцентрированные [А — центрированы плоскости (100); В — центрированы плоскости (010); С — центрированы пло­ скости (001)]; F — гранецентрированная; R — ромбоэдрическая.

Затем следует обозначение класса, к которому относится дан­ ная пространственная группа. Однако иногда вместо буквы т, обозначающей зеркальную плоскость симметрии, могут приме­ няться буквы а, Ь, с, п, d, показывающие наличие соответствующих плоскостей скользящего отражения, а вместо цифр 2, 3, 4, 6, опре­ деляющих порядок поворотных осей симметрии, — обозначения соответствующих винтовых осей.

Например, Cm означает пространственную группу безосного диэдрического класса симметрии моноклинной сингонии с моно­ клинной решеткой Бравэ типа С. В пространственной группе Cm имеются только зеркальные плоскости симметрии.

Обозначение Р2і/т относится к пространственной группе приз­ матического класса симметрии моноклинной сингонии 2/т. Винто­ вые оси (2\), перпендикулярные плоскостям симметрии (т), прохо­ дят в решетке Р параллельно оси У.

Обозначение Р222] характеризует пространственную группу те­

сколько сложнее. Например, полное обозначение F — 3 — или со­

кращенное РтЪс отвечает пространственной группе, принадлежа­ щей гексаоктаэдрическрму виду симметрии тЗт. В кубической ячейке F по кристаллографическим осям X, У, Z расположены по­ воротные оси четвертого порядка, перпендикулярные плоскостям

симметрии.

С направлением телесных диагоналей элементарной ячейки сов­

падают тройные инверсионные оси симметрии 3, а с диагоналями, проведенными через середины противолежащих ребер ячейки,— двойные оси симметрии, перпендикулярные плоскостям скользя­ щего отражения с,

69