книги из ГПНТБ / Мясников, В. А. Программное управление оборудованием

Дважды продифференцировав общее уравнение кривой вто­ рого порядка, получим уравнение

жении которых точка движется по траектории, являющейся за­ данной кривой второго порядка. Другими словами, для обеспе­

чения движения по кривой второго порядка вторые производныех и у должны быть такими, чтобы обращать уравнение (VI. 11) в нуль

Кроме большой сложности, программирование по такому ал­ горитму имеет еще один существенный недостаток: начальная скорость движения в этом случае определяется значениями коор­ динат х 0и у о в начальный момент времени, что не позволяет исполь­

зовать эту схему для осуществления режимов разгона от заданной скорости и торможения до заданной скорости1.

1 Если движение по траектории может быть самым различным во времени,

то и силы, действующие на точку в этом случае, также могут быть различными. В классической механике рассматривается движение по кривым второго порядка для одного из возможных законов изменения координат во времени, который однозначно определяет силы, действующие на тела, — силы всемирного тяготения.

Найдем более простой алгоритм, который должен обеспечи­ вать программирование, близкое к оптимальному. Модуль вектора полного ускорения при этом не всегда будет равен максимально допустимой величине — он может быть и меньше ее.

Вначале рассмотрим программирование такого режима, когда из точки (л'о, у о) начинается разгон до точки (хь ул), потом имеет место режим постоянной скорости до точки (,v2, у2), а от этой точки до конечной точки профиля (хк, ук) — режим торможения

(рис. 128).

Участки разгона и торможения невелики, и их во многих слу­ чаях можно полагать прямыми. Для прямой, заданной нормаль­ ным уравнением х cos а + у sin а — р = О,

(VI. 15)

Пусть значение аргумента в режиме разгона соуск будет опре­ деляться уравнением (VI.15). Режим разгона должен продол­ жаться до тех пор, пока соуск не станет равной соск, которая вы­ числяется для обеспечения режима постоянной скорости. Как только шуск. достигнет соск, так аргумент интеграторов начнет управляться в соответствии с уравнениями (VI. 10), а схема, про­ граммирующая режим разгона, отключится.

Оценим погрешность в поддержании динамического режима в режиме ускорения, которая допускается в результате аппрок­ симации участка разгона прямой линией. Положим, что участок разгона является дугой окружности радиусом R; при этом будем

считать, что окружность задана каноническим уравнением. Составляющие ускорения в режиме разгона в этом случае:

Модуль вектора полного ускорения будет

w 2= w \r 2 = w \r 2i\

откуда следует, что наибольшее ускорение имеет место в момент окончания режима разгона, т. е. тогда, когда

где V„ — скорость движения в режиме постоянной скорости.

242

Если Wn — максимально допустимое значение модуля пол­

ного ускорения, то для того чтобы максимальное ускорение, раз­ виваемое в процессе разгона, было равно Wn, необходимо выбрать

в соответствии с формулой

Во все предшествующие моменты режима разгона полное ускорение движения будет меньше Wn. Из формулы (VI. 16) сле­ дует, что \Vn должна быть больше нормального ускорения в ре­

жиме движения с постоянной скоростью, т. е.

Если отрабатываемый профиль не является дугой окружности, то в качестве величины R может браться средний радиус кри­

визны участка разгона.

Режим торможения может осуществляться аналогичным обра­ зом, но он должен выполняться точнее. Если в режиме разгона скорость Vn будет достигнута не в точке (xlt у г), а в какой-то

следующей точке, то мы проиграем лишь в быстродействии, а в случае торможения необходимо остановить обработку точно в заданной точке (хк, ук), поэтому будем полагать, что в режиме

торможения аргумент изменяется пропорционально квадрату

(а2) Уг)’> k — коэффициент пропорциональности.

Таким образом, приведенные выше уравнения определяют все параметры алгоритма, в соответствии с которым управляется аргумент в режиме торможения, за исключением координат точки (х2, у 2), которая должна быть выбрана так, чтобы модуль вектора

полного ускорения в режиме торможения был максимальным, но не превосходил предельно допустимого значения Wn.

Рассмотрим вопрос о выборе точки (х2, г/2) подробнее, для

чего предположим, что участок торможения является отрезком прямой линии, которая совпадает с осью X, и пусть точка х 2

будет началом координат. Длина участка торможения I. В этом

случае со0 — 1Д

®юрм ' “ о ^ ’ - '- 1 ^ 1 ‘1 ■>

ния не превосходило заданного, длина участка торможения должна назначаться в соответствии с форму­

0,6 с.

В случае если участок торможения 1Д является дугой окруж­ ности радиусом R (рис. 129), длина участка торможения, опреде­

ленная по формуле (VI. 19), должна быть увеличена вследствие появления . нормальной составляющей ускорения.

При управлении аргументом в соответствии с (VI.17) обеспе­ чивается прекращение отработки в заданной точке с точностью до одного импульса. Аналогичным образом можно было бы упра­ влять аргументом и в режиме разгона, но это нецелесообразно, так как потребовалась бы дополнительная информация о коорди-

244

матах точки (л:х, с/х), которая ие нужна при управлении аргумен­ том в режиме разгона в соответствии с (VI.15).

На рис. 130 изображены диаграммы скоростей и ускорений иа участках разгона и торможения при движении по прямой (рис. 130,а) и по окружности (рис. 130,6), которые получаются при исполь­ зовании рассмотренных выше алгоритмов (W x — нормальное уско­

рение). Как видно, длина участка торможения /торм будет больше участка разгона /разг; при движении по прямой /торн = 1,5/разг.

При движении с постоянной скоростью по профилю с перемен­ ным радиусом кривизны будет происходить значительное возра­ стание нормального ускорения на наиболее крутых участках про­ филя, и при наличии ограничений на модуль полного ускорения величина Vn должна выбираться такой, чтобы в месте с наимень­

шим радиусом кривизны нормальное ускорение было равно мак­ симально допустимому

При наличии участков на профиле с сильно отличающимися радиусами кривизны в случае ограничений по модулю полного ускорения может оказаться нецелесообразным использовать ре­ жим постоянной скорости, так как его применение приведет к силь­ ному увеличению времени отработки всего профиля.

ванием по модулю полного ускорения.

245

Построим годографы скоростей и ускорений при отработке кривых второго порядка, заданных каноническими уравнениями.

В случае эллипса

при движении с со = const годограф скорости также будет эллип­ сом

той траектории, в том числе и по эллипсу, годограф скорости будет окружностью.

Годограф ускорения при движении по эллипсу будет кривой

величины а21Ь и ЬЧа являются наибольшим R,mx и наименьшим

Ят1п радиусами кривизны эллипса, а отношение максимального и минимального ускорений при движении по эллипсу в режиме постоянной скорости будет

а2 b2

246

при движении с со = const годограф скорости будет гиперболой

___1

При движении в режиме постоянной скорости по любой разом-

окружности. Годограф ускорения в случае гиперболы будет кри­ вой восьмого порядка

При движении по гиперболе с со = const наименьшее уско­ рение будет иметь место при вершине гиперболы Wmln = со2/а/?2,

247

а ускорение при движении по параболе в этом режиме будет все

в режимах со = const (кривые У) и V = const (кривые 2) при

движении по параболе (Л — вектор ускорения, который остается постоянным в режиме со = const).

Ниже приведены формулы, по которым можно вычислить дина­ мические параметры генерируемых функций при воспроизведе­ нии кривых второго порядка в функции от координат воспроизво­ димых кривых в режимах постоянного аргумента и постоянной скорости.

Для режима постоянного аргумента при движении по эллипсу:

при движении по гиперболе:

при движении по параболе:

Для режима постоянной скорости при движении по эллипсу:

248

При движении по гиперболе:

С помощью этих формул и годографов можно оценить целесообраз­ ность применения того или иного режима при воспроизведении профилей, составленных из кривых второго порядка, и назна­ чить величины со и Vn в соответствии с наложенными ограниче­

ниями на динамические параметры.

Сформулируем выводы о целесообразности использования ре­ жимов со = const или постоянной скорости.

При воспроизведении эллипсов, если Wn < V jR min, целе­

сообразен режим со = const, при котором обеспечивается сниже­ ние скорости на крутых участках; со должна быть назначена та­ кой, чтобы на участке с максимальным радиусом кривизны ско­ рость не превышала допустимую. Применительно к рис. 131 это приводит к необходимости соблюдения соотношений:

249

целесообразен режим со = const, при этом со Должна быть йазначена такой, чтобы в наиболее удаленной от фокуса точке отраба­ тываемого участка гиперболы скорость и ускорение не превышали максимально допустимых. Это приводит к необходимости соблю­ дения соотношений:

Лmin

также целесообразен режим со = const, при этом со должна быть выбрана такой, чтобы ускорение и скорость в наиболее удаленной от фокуса точке параболы не превышали максимально допусти­ мых. Применительно к рис. 132 это приводит к необходимости соблюдения соотношений:

то для всех трех случаев целесоооразен режим постоянной ско­ рости.

Если отрабатываемый профиль составлен из кривых второго порядка с плавными переходами от одной кривой к другой, то целесообразность использования того или иного из рассмотренных выше режимов может быть определена в соответствии с изложен­ ной методикой. Если профиль имеет точки излома, то в этих ме­ стах необходимо производить сначала торможение, потом разгон.

Выше был рассмотрен вопрос об оптимальном программиро­ вании для случая, когда ограничены модули полного ускорения

250