книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

векторов поля при таком расположении двух волноводов, как показано на фиг. 10.4.1, выражается следующим образом:

Ё| • Ei = Fzl (/'i) Ft2 (/-2) (cos ф1cos

+[E rl (>'l) Ft2 ( Г2) COS ф1COS ф 2+

+Еф1 (7'j) F%2(f'2 )su\ ф{sin ф2\ COS(^2 —<^l)+

+[/'’«[ ДО E?2 (r2) sill Ф1 cos 92 —

— En (п) Ефг (r2) cos фi sin <£2] sin (ф2— Фi)- (10.4.12)

Для того чтобы вычислить интегралы в (10.4.10), пред­ положим, что два волновода расположены далеко друг от друга. Оказывается, что получающееся в этом случае решение нашей задачи дает хорошие результаты, даже когда волноводы находятся достаточно близко. Приближе­

допущения состоит в том, что угол ф1 мало отличается от нуля. Отсюда ясно, что только те области интегрирования дают значительный вклад, где фi мало. Это связано с тем, что поле моды сильно сконцентрировано вблизи сердцеви­ ны волновода. Даже если оболочка достаточно толстая, область, близкая к сердцевине волновода, дает более зна­ чительный вклад в интеграл, поскольку в ней сосредоточено

Следующий шаг приближенного вычисления интеграла состоит в использовании приближенного выражения для радиуса i\

Функции F (ту) в (10.4.13), согласно формулам (10.4.3)

и(8.2.7), являются функцией Ханкеля первого порядка

иее производной. Так как p7-i велико, можно использовать приближение функций Ханкеля для больших значений

542 Глина 10

Индекс, h при Д[4 указывает па то, что векторы электри­

что вблизи оси каждого волновода вектор электрического поля параллелен линии, соединяющей центры волноводов. В случае вертикальной поляризации векторы электриче­ ского поля ориентированы перпендикулярно (или верти­ кально) к линии, соединяющей центры волноводов. Связь вертикально поляризованных мод отличается от связи горизонтально поляризовапиых мод несущественно. Подобное вычисление приводит к результату

В этом выражении показатели преломления пс и пт должны быть действительными, а п3 может быть ком­ плексным. Коэффициенты А, В, М и N были определены ранее в этом разделе. Параметры к0, х, у и р задаются с помощью формул (10.3.2) — (10.3.5).

Вертикально поляризованная мода не связана с гори­ зонтально поляризованной модой.

Несмотря на очевидную грубость приближений, выра­ жения (10.4.20) и (10.4.21) очень хорошо описывают связь между двумя модами НЕИ круглых оптических волокон в оболочке. Результаты по теории связи мод НЕИ были опубликованы ранее Джонсом [84], который провел срав­ нение своих теоретических результатов с измерениями Брэйси и др. [110]. Теоретические результаты Джонса хорошо согласуются с экспериментальными данными. Однако его теория ие включает случая волокон в оболочке с потерями в окружающей среде. Автором были проведены

численные расчеты для случая пт — п3, р = у. Сравнение полученных результатов с результатами Джонса показало, что они хорошо согласуются, даже когда две сердцевппы касаются друг друга. Для особого случая волокон без оболочки теория Джонса полностью согласуется с пред­ ставленной здесь теорией и обе теории хорошо согласуют­ ся с экспериментальными измерениями Брэйси [1 1 0 ].

Как и для плоских волноводов, желательно знать, какие потери моды НЕИ вызываются потерями окружаю­ щей среды, имеющей большой показатель преломления, при котором выполняется условие (10.3.15), и какие потери связаны с поглощением в окружающей среде. Используя подход, описанный в разд. 10.3, без особых трудностей получим

Здесь символ Im ( ) обозначает мнимую часть; рг — действительная часть р. Коэффициенты М 2, N 2 и M N * выражаются через коэффициент, который содержит в каче­ стве сомножителя Р, поэтому мощность Р из выражения исчезает.

10.5. П Е Р Е К Р Е С Т Н А Я С В Я З Ь

Результаты двух предыдущих разделов дают возмож­ ность рассмотреть перекрестную связь плоских и круглых волноводов в оболочке [103]. На фиг. 10.5.1 показана зависимость произведения | | d от потерь в окружаю­ щей среде для плоского волновода. Под потерями в окру­ жающей среде понимаются потери, которые испытывает плоская волна при распространении перпендикулярно оси волновода от границы оболочки первого волновода к границе оболочки второго волновода. Сплошные кривые

увеличение толщины оболочки уменьшает связь между

(R —2D)/d — имеет значения 0,2, 2,0 и 4. Уменьшение связи с увеличением значений этого параметра опять связано с увеличением расстояния между сердцевинами волноводов. Потери, представленные на оси абсцисс, даны для раз­ личных расстояний. Эти потери всегда имеют место при приближении одного волновода к другому. Их можно регулировать, осуществляя необходимую развязку вол­ новодов. На фиг. 10.5.1 связь уменьшается с увеличением потерь в окружающей среде. Действительная часть пока­ зателя преломления окружающей среды п3 выбиралась равной показателю преломления оболочки пт.

На фиг. 10.5.2 приведены аналогичные данные для круглого волокна в оболочке. Из кривых видно, что гори­ зонтально поляризованные моды связаны сильнее, чем вертикально поляризованные, а плоские волноводы свя­ заны слабее круглых волокон. Различие в связи вызвано

тем, что услоя > Тволонпа- С увеличением величины у поле концентрируется плотнее около сердцевины н умень­ шается та его часть, которая достигает другого волновода.

На фиг. 10.5.3 показана зависимость потерь мод от потерь 2ак0 Im (п3) в окружающей среде. В случае плоско­ го волновода радиус сердцевины а необходимо замеппть на полутолщпну слоя d. Аналогично толщина оболочки

ной особенностью кривых фиг. 10.5.3 является слабая зависимость потерь мод от потерь в окружающей среде пос­ ле первоначального быстрого нарастания от пулевого

определяются преимущественно толщиной оболочки. Такой

US Глава 10

чает, что необходимо иметь 2аа < 10"° дБ. Из кривых на фиг. 10.5.3 только самая верхняя кривая для моды ЫЕИ показывает превышение допустимых потерь моды. Далее предположим, что перекрестная связь для волно­ вода длиной 1 км составляет С = 10-6. Согласно выраже­ нию (10.2.38), для этого необходимо, чтобы ) Ар | а < < 10-12. Все кривые на фиг. 10.5.1, кроме самой верхней, удовлетворяют этому требованию. Ни одна из кривых верхнего набора на фиг. 10.5.2 для (b — а)/а = 5 не может быть использована до тех пор, пока не будут обес­ печены высокие потери в окружающей среде. Такое срав­ нение потерь при перекрестной связи позволяет сделать следующий вывод. Если развязывать два параллельных волновода путем увеличения потерь в окружающей среде, то одновременно будут увеличиваться потерн мод до недопустимо высокого уровня. Или, другими словами, если толщина оболочки недостаточна для получения нуж­ ной изоляции мод, то она также недостаточна, чтобы предохранить моды волновода от потерь в окружающей среде. Это заключение может быть доказано более основа­ тельно, чем только на примере представленных здесь двух простых случаев [103]. Таким образом, увеличивая потери в окружающей среде, нельзя уменьшить перекрест­ ную связь двух диэлектрических волноводов. Если тол­ щина оболочки достаточна для развязки двух волноводов, то потерн в окружающей среде не нужны. Потери же мод, вызванные потерями в окружающей среде, ста­ новятся слишком большими.

Здесь мы не рассматриваем перекрестную связь за счет рассеяния. Интересующие читателя результаты можно найти в [104]. Заключение относительно желаемых потерь в окружающей среде справедливо и для перекрестной связи за счет рассеяния. Если рассеяние на дефектах волновода является источником перекрестной связи, то существует тесная связь между величиной возникающей перекрестной связи и соответствующими потерями мод. Можно опять сделать вывод, что если уровень перекрест­ ной связи достаточно высок, то потери за счет рассеяния направляемых мод также высоки и недопустимы. В прин­ ципе, конечно, можно подавить поперечную связь за счет рассеяния увеличением потерь в окружающей среде.

Эти потери не сказываются на характере распространения мод, если оболочка достаточно толстая. Однако если потери в окружающей среде необходимы для надежной изоляции волновода, то волновод оказывается настолько плохим, что добавочные потери за счет рассеяния делают его совершенно непригодным. Однако есть одно исключение. Если потери за счет рассеяния вызываются не случайны­ ми дефектами волновода, а систематической синусоидаль­ ной деформацией на протяжении всей длины обоих вол­ новодов, то потери мод могут быть не слишком боль­ шими, а перекрестная связь при этом может быть значи­ тельной. В этом случае потери в окружающей среде будут желательны для развязки волноводов.

Результаты, изложенные в этой главе, можно исполь­ зовать, разумеется, и для расчета характеристик направ­ ленных ответвителей. Выражения для коэффициентов связи (10.2.17) и (10.2.18) являются достаточно общими и могут применяться к любому типу диэлектрического волновода.