Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

17.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 5854 55 56 57 58 > Следующая >>>

530	Гликп. 10
И	а2 (z)=^ial (0) sin (A£z) e_iK	(10.2.32)
	а2 (z)=^ial (0) sin (A£z) e_iK	(10.2.32)

Это решение ясно показывает, что при вещественных зна чениях Pi = р2 происходит непрерывный обмен энергией между двумя волноводами. Если, однако, величина Д|3 не является вещественной, то ехр (—iA|3z) уменьшается, а ехр (+ iAflz) возрастает (пли наоборот). Для достаточно больших значений z один из двух множителей становится пренебрежимо малым. Тогда имеем

fli (z)= y щ (0) е-КР+лР);	(10.2.33)
и
a2(z) = 4 - l / ^ Я! (0) е-НР+ДР);	(10.2.34)
—г

при условии, что а2 (0) = 0. Хотя обе амплитуды мод уменьшаются, при комплексном Д(3 оба волновода перено сят равные количества мощности (при условии, что cjc2не отличается существенно от единицы) после прохождения модами достаточно большого расстояния, несмотря па то, что первоначально возбуждался только один из волново дов. Периодический обмен мощностью при этом прекра щается и мощности в обоих волноводах выравниваются.

С целью изучения перекрестной связи достаточно рассмотреть передачу небольшой мощности, так как эта связь обычно является нежелательной и всегда ее стараются сделать по возможности малой. Сначала предположим, что первоначально вся мощность сосредоточена в волноводе 1 , аг (0) = 0 и Aflz 1 на конце участка связи волноводов при z = L. Из формулы (10.2.27) находим

До ( Г )

(10.2.35)

“1 (0)

Из выражения (10.2.26) получаем в том же приближении

aL(L) = al (0) e -’PL.

(10.2.36)

Мощность в каждом волноводе пропорциональна квадра ту амплитуды поля. Отношение мощностей на концах двух волноводов равно

Г _ КИМР	С2	( I Ар \| А)'2.	(10.2.37)
I “1 НО I3

Сйлль межОу Очэлектрчческим'и вЧлповчОами

53d

13 большинство практических случаев можно считать, что соотношение (10.2.24) выполняется по крайней мере при ближенно, так что окончательно получаем достаточно хорошее приближение

С’= |Д р|а1А

(10.2.38)

Важно помнить, что это соотношение справедливо только при С 1.

Итак, в этом разделе показано, что два диэлектриче ских волновода влияют друг на друга, если они распола гаются достаточно близко друг от друга. Связь между волноводами можно выразить с помощью двух уравнений связанных волн с постоянными коэффициентами связи. Связь вызывается тем, что часть поля направляемой моды одного волновода достигает другого волновода. Рассма триваемая теория связи справедлива для любого типа диэлектрических волноводов независимо от распределе ния показателя преломления по сечению волновода. Не обязательны также идентичность волноводов и мод в них, а также допустимо наличие потерь в диэлектрической среде волновода и в окружающей среде. Единственное требование для осуществления связи состоит в том, чтобы постоянные распространения двух мод были почти одина ковыми. Если в каждом волноводе может существовать только одна мода, это требование можно значительно ослабить. Одпако моды с разными постоянными распро странения ие связаны эффективно при постоянных коэффициентах связи. Таким образом, действительно интересным является случай, когда обе моды имеют оди наковые фазовые скорости.

10.3. СВЯЗАННЫЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНОВОДЫ

Применим теперь общую теорию связи к двум кон кретным случаям. В этом разделе рассмотрим связь двух одинаковых параллельных плоских волноводов, изобра женных на фиг. 10.3.1. Коэффициенты связи для задачи двух связанных одинаковых мод можно найти, используя формулу (10.2.22) из предыдущего раздела. Применение формулы (10.2.22) вместо (10.2.17) допустимо, если считать, что показатели преломления сердцевины и оболочки пс и пт — величины вещественные. Окружающая среда

34*

532	l'.'iami. IО

может иметь комплексный показатель преломления п3, но для того чтобы можно было применять формулу (1 0 .2 .2 2 ), необходимо предположить, что оболочка является доста точно толстой и потери моды, вызванные окружающей средой, незначительны. Это вполне естественное предпо ложение, так как волноводы целесообразно использовать

Волновод /	Волновод 2
Ф и г . 10.3.1. Схематическое	изображение днух связанных пло

ских волноводов в оболочке [103].

тогда, когда они направляют волны с низкими потерями. Проблема связи волноводов может быть решена более прямым путем. Сначала можно решить задачу о направляе мых модах объединенной структуры (фиг. 10.3.1). Для вол новодов в оболочке такой подход является трудно осущест вимым. Однако в предельпом случае при пт — п3 этим способом легко решить задачу о модах комбинированной

Связь между диэлектрическими волноводами

533

структуры. Читателю предлагается проделать такой рас чет в качестве упражнения. С приемлемыми приближения ми такой прямой метод приводит к выражению (10.3.12).

Изложим кратко решение задачи связи двух плоских волноводов в оболочке. Даже с помощью формулы (10.2.22) эту задачу трудно решить строго [при рассмотрении величины (1 0 .2 .2 2 ) как точной]. Одиако если допустить, что поля мод спадают до малых значений на границе оболочки при х = D, то можно существенно упростить теорию. Начнем с рассмотрения ТЕ-мод плоского волново да. Составляющая электрического поля выражается в виде

Heosxa:,	Osglz^d,	(10.3.1)
ВеУх-\-Се~Ух,	d ^ x s C j),	(10.3.1)
{Fe рх,	D^C.x<C. оо.

Функция (х) предполагается непрерывной и симметрич ной относительно пуля. Параметры, входящие в (10.3.1), равны

— «в]/ е0р0,	(10.3.2)
х = У ?i'ckl — (И,	(10.3.3)
у = У Р - п М 1	(Ю.3.4)
р= )/ р2— п?/с„.	(10.3.5)

Соотношение между Еу и Еу задаетсяформулой (10.2.2). Составляющая магнитного поля получается из (10.3.1) с помощью формул (8.3.2) и (8.3.3). Теперь положим

g-v(n-rf) 1 .	(10.3.6)
Пренебрегая квадратами этих велпчип, получим *)
В = 0,	(10.3.7)
С = Aevdcos xd,	(10.3.8)
F = ______ ---------------- epDe —y(D—d)	(10.3.9)
(Y + P) V x2+ Y2

Приближение В = 0 было сделано после вычисления F.

534 Глава 10

Коэффициент /1 можно выразить через мощность Р, пере носимую модой:

2(opn/J	(1 0 .3 .1 0 )
	(1 0 .3 .1 0 )
У

Уравнение собственных значений моды плоского волново да в оболочке отличается от (8.3.1G) лишь членом, пропор циональным квадрату (10.3.6). В духе нашего приближе ния можно считать величину (8.3.16) неизменной. Поле

моды (10.3.1)		выражено	в системе	координат	с центром
в сердцевине каждого волновода.				(10.2.23)	и (10.2.28)
Поскольку		согласно	формулам
Др = ci,	то непосредственное вычисление интеграла из
(1 0 .2 .2 2 )	дает
ДР:		4х2у3р	-2V(D-rf)e -p<H-2D)_		(Ю.3.11)

'РН + У<0 (v + P)2 (*2-1 У2)

Показатели преломления сердцевины и оболочки предпола гаются вещественными, но п3 и, следовательно, р могут быть комплексными. Это дает возможность изучить раз вязку двух волноводов, которая возникает из-за потерь

вокружающей среде.

Вчастном случае, когда оболочка и окружающая среда имеют одинаковые показатели преломления, пт = п3, полу

чим, что у = р и соотношение (10.3.11) принимает вид

др ______ -----------------

е -У(Я- 2d)

(10.3.12)

P( l + y d ) (х2+ у2)

Как упоминалось ранее, это выражение можно получить непосредственно из решения задачи о модах комбиниро ванной структуры, составленной из плоских волноводов. Моды комбинированной структуры имеют согласно форму лам (10.2.29) и (10.2.30) малоотличающиеся постоянные распространения. Разность этих постоянных представлена в (10.3.12). Такое же выражение можно найти в книге Капани [79] *).

0 В [100*] дано строгое численное решение этой задачи с при менением ЭВМ. Прим. ред.

Связь между диэлектрическими волноводами

535

Так как связь между двумя волноводами можно умень шать, увеличивая потери в окружающей среде, то важно знать влияние этих внешних потерь на потери направляе

мых мод. Потери направляемой моды можно	вычислить
с помощью простого метода теории возмущений,		анало
гичного тому, который применялся в разд. 9.6	для	вычи

сления потерь на изгибе. Метод очень прост, ограничимся

его кратким изложением и приведем конечный		результат.
Выражения для	поля (10.3.1) позволяют	вычислить
х — составляющую	вектора Пойитинга S x на границе
оболочки при х = D. Потери мощности, таким образом,
определяются выражением
	2а = Ц ^ ,	(10.3.13)

где а — амплитудный коэффициент потерь. Множитель 2 в левой части необходим, так как 2а определяет потери мощности, множитель 2 в правой части отражает тот факт, что мощность выходит по обе стороны волновода. Наличие второго волновода не учитывается. Его влияние незначительно, так как потери мощности вызваны излу чением, которое проходит через второй волновод почти без отражения. Однако даже малая отраженная мощ ность практически не возвращается к моде первого вол новода. Несложное вычисление дает результат в виде

2а =	8k 2y 3 I m (р) е 2v^D	(10.3.14)
	P(l+Y<) (2+ Y2) Iy+ p I2

Выражение (10.3.14) отражает несколько интересных свойств затухания моды. Видно, что затухание экспо ненциально уменьшается с увеличением толщины обо лочки. Таким образом, потери можно сделать произвольно малыми, выполняя оболочку достаточно толстой. Кроме того, затухание моды зависит от мнимой части р. Если р действительное, потери моды отсутствуют. Напомним, что это имеет место в случае отсутствия потерь в материа лах сердцевины и оболочки. Наличие потерь в этих мате риалах вызывает дополнительные потери моды. Параметр р может быть действительным, когда величина п3 действи

536

Глива 10

тельная п, кроме того, (3 > п3кп. Но если

Р < п3к0,

(10.3.15)

то параметр р мнимый и моды испытывают потерн даже прп действительном п3. Этот случай является другим при мером «нарушения» полного внутреннего отражения. Экспоненциально уменьшающееся поле в оболочке вне сердцевины, вызванное полным внутренним отражением на границе раздела сердцевина — оболочка, переходит в поле излучения, если показатель преломления окружаю щей среды достаточно велик. Для малых значений п3 потерн моды определяются потерями в окружающей среде.

Аналогичные выражения можно получать для ТМ-мод плоского волновода. Моды ТЕ и ТМ не связаны между собой, так как скалярное произведение их электрических полей обращается в нуль. Изменение постоянной рас пространения, вызванное связью двух симметричных ТМмод плоских волноводов, есть

др=	[2е(V-p)(D-d) _ l ]e- 2V(D-</)e—p(R- 2D)
др=	(10.3.16)
	Р [(nmxZ+ "cV2) 4d+ ncnm(Х2 -И 2)]

Видно, что связь для ТМ- и ТЕ-мод не одинакова. Толь

ко в	пределе прп пс ж пт « п3		выражения (10.3.11)
и (10.3.16) совпадают.
Выражение для потерь ТМ-мод в окружающей среде
имеет	вид
2а.	Пз	-2v(D -d)
			(10.3.17)
	2	2
			nmP + nh ’
Р (Yrf(remx2+ ncY2)- - nzn~ (я2+ У2)]

10.4. СВЯЗЬ МОД IIEп ДВУХ КРУГЛЫХ в о л о к о н

Аналогично тому, как был исследован в предыдущем разделе случай плоских волноводов, кратко рассмотрим здесь связь между модами НЕИ двух круглых оптических волокон.

Схематически два волокна представлены на фиг. 10.4.1. Выражения для поля моды волокна можно получить пз выражений для продольных составляющих электри-

Cnti31, между диэлектрическими волноводами

537

ческого и магнитного полей внутри сердцевины

EZ— AJ\ (кг) cos ф,

(10.4.1)

Hz — BJi (кг) sin ф,

где 0

г ^ а.

Воболочке имеем

£,г==[СН<11>(ф-) + £)//;г' (iyr)\ cos ф,

ll z-.[FH\l) (iyr)-\-Gll[2>(iyr)] sin ф,

где a r ^ o,

и, наконец, составляющие поля вне оболочки (в окружаю щей среде) определяются выражениями

Ёг = МИ 11) (/рг) cos ф,

(10.4.3)

fjz = Nll\li (ц>г) sin ф,

где и ^ г <С оо.

Ф и г. 10.4.1. Поперечное сечение двух связанных круглых опти ческих волокон в оболочке [103].

Остальные составляющие поля получаются из формул (8.2.7) — (8.2.10), в которые вместо к% подставляются к2, — у2 или — р2. В таком же приближении, в каком

538				Глава 10
рассматривался плоский					волновод,			коэффициенты В, С
и F оказываются связанными							соотношениями
В =	“2M 2V		Г "2 Г 1				/П(*«) ] \|
	2		1	1		кя	/t (ха) J 1
г	Ро Р (к + у2)			кя .			Шои (i-ya) \ 1 ,,
			I			Г 1			(10.4.4)
			'	уа 1. уа 7/<i>(h’e ) J /
и
			С _ Р			_	/j (ха)
									(10.4.5)
			А	В		H[l ) (iya)		'

Считая,	что поле	на границе					раздела между оболочкой
и окружающей средой мало,							имеем 4)
				D = G — Q.					(10.4.6)

Приближенные выражения для коэффициентов М и N получаются заменой функций Хапкеля их приближения ми для большого аргумента

( ^ ) - eCP-v>b,{[ ( |_ ) 2( 1 _ S ) 2 ( f _ 1 ) _ fc3Y3(.l r X )x

м =	X (" S , + » S - g - j - f К i-2cop0, - » Fy§ )y)(]l —J ) }

(10.4.7)

N =

, / 7 e ( p _ v ) b 2Fkiy2 ( " " f , г 1 7 ) + 2 ( 0 Д ^ 4

( ^ ~ 1 ) c

(10.4.8)

Коэффициент А связан с мощностью, переносимой модой, соотношением

Р = Т V f , А ' { Т#- К”*)’ (Л <y-")+J] (*«)) - 2/; (» ) х

*оР	X
х Н + Й ) V4

0Так же как и в случае плоского волновода, при вычислении

Ми N можно положить D — G = 0.

	Сияяь между диэлектрическими волноводами				539
X \ t o ’)3 ( 1 “			)	) + 2] ■/?(и°) (	Ж ) +
- 2	^	т	[ Р" " У kl- -	- "-'ТУ 5 1 ■/?(*а)} •	(Ю.4.9)
Параметры		к,	у и р снова определяются выражениями

(10.3.3), (10.3.4) и (10.3.5). Для приближенных расчетов можно использовать здесь уравнение собственных значе ний (8.2.49), так как уравнение собственных значений волновода с оболочкой для моды НЕИ отличается от урав нения (8.2.49) для случая бесконечно протяженной обо лочки только членом, который представляет собой квад рат от (10.3.6).

Вычисление интеграла в формуле (10.2.22) значительно сложнее, чем для случая плоского волновода. Этот инте грал не может быть вычислен точно. Используя систему координат с началом иа оси второго волновода, можно записать соотношение (1 0 .2 .2 2 ) в виде

Ь	2л
Л\|3= - T F f	(10.4.10)
о	о

Так как поле каждого волновода записывается в системе координат с началом иа его оси, необходимо преобразовать поля к общей для обоих волноводов системе координат, прежде чем пытаться вычислять скалярное произведение векторов электрического поля. Запишем составляющие электрического поля в системе координат каждого волно вода в виде [ср. с формулами (8.6.60), (8.6.62) и (8.6.63),

множитель i включен в функцию

bzv ~	I' zv 0 v)	<j)v,
Erv=	Frv (rv) cos </>v,		(10.4.11)

Ефу = Рфч(гч) sin <j>v.

Ипдекс v принимает значения 1 или 2 в соответствии с вол новодом, которому принадлежит составляющая поля или пачало координат. Цель записи (10.4.11) состоит в том, чтобы выделить зависимость каждой составляющей поля от г и ф. Можно показать, что скалярное произведение двух

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 5854 55 56 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ