книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

от, почему на изгибе диэлектрических волноводов мощ­ ность должна теряться на излучение 1).

Математическое рассмотрение проблемы потерь на из­ гибе основано на использовании того, что для очень сла­ бых изгибов распределение поля и фазовая скорость около сердцевины волновода почти такие же, как для прямого волновода. Известен также точный вид, который поле должно принимать в цилиндрической системе координат. Используем систему координат, приведенную на фиг. 9.6.2.

Ф и г. 9.6.2. Система координат, используемая для описания по­ терь па излучение изогнутого плоского волновода.

Ось у (ее обычно используют как ось г), цилиндрической системы координат выходит из плоскости чертежа. Реше­ ние уравнений Максвелла в цилиндрических координатах дается в виде

с изгиба, впервые высказанная в работе [114], была пспользовапа для количественного расчета потерь па излучение круглого диэлек­ трического волновода в [111*].— Прим. ред.

где А’о — ш У е0|л.0 н продиолагаотся, что отсутствует зави­ симость поля от у. Это решение справедливо только для 7->Ь, т. е. вне сердцевины волновода. Внутри сердце­ вины поле описывается суперпозицией функций Ханкеля первого и второго рода, а вне сердцевины для г ^ а выра­ жается через функцию Бесселя / v (n2k0r). Штрих у функ­ ции Ханкеля в (9.6.3) обозначает ее производную по аргу­ менту n2k0r. Выбор функций определяется требованием, согласно которому поле должно спадать экспоненциально в направлении увеличения г при г > b н превратиться в распространяющуюся волну при г Ъ. Функция Ханкеля второго рода удовлетворяет этим требованиям. Внутри волновода нужно использовать функции Ханкеля первого и второго рода или функции Бесселя н Неймана. Для г < а необходимо взять цилиндрическую функцию, которая не имеет особенности при г = 0. Единственной функцией, удовлетворяющей этому условию, является J v (n2k0r). Порядок v цилиндрической функции в данной задаче не обязательно должен быть целым числом, так как нет необ­ ходимости, чтобы функции изменялись периодически по ф с периодом 2л. Для данного рассмотрения не требуется определять поле внутри сердцевины волокна и для г < а.

Представление решения в виде (9.6.1)— (9.6.3) опреде­ ляется требованиями геометрии и уравнениями Максвелла. Если положить, что поле не зависит от у и изогнутый слой неограниченно простирается в направлении оси у, поле не может иметь другой формы. В то же время известно, что в пределе при Я — оо поле около сердцевины должно принимать внд (8.3.12), соответствующий симметричной ТЕ-моде прямолинейного плоского волновода.. Это усло­ вие позволяет определить постоянную В. Зная этот пара­ метр, с помощью уравнений поля можно найти мощность, текущую в радиальном направлении на бесконечном рас­ стоянии от волновода. Полученный результат можно использовать для определения потерь направляемой моды.

Строгий метод решения задачи, конечно, требует опре­ деления неизвестных амплитудных коэффициентов из гра­ ничных условий. В результате можно получить уравне­ ние собственных значений для определения v. Это урав­ нение не имеет действительных решений. Комплексные значения v определяют потери моды. Такая процедура при-

водит к точному решению задачи [106, 114]. Однако она намного сложнее следующего приближенного метода. Обойдем необходимость вычисления v из уравнения соб­ ственных значений, полагая, что постоянная распростра­ нения волны в изогнутом волноводе почти такая же, как постоянная распространения соответствующей моды в пря­ молинейном волноводе. Сравнение с модами прямолиней­ ного волновода дает соотношение

Координата отсчитывается здесь вдоль дуги изгиба оси волновода, z = R<j>. Порядок функции Бесселя опреде­ ляется, таким образом, выражением

Предполагается, что постоянная распространения |3 такая же, как у четной ТЕ-моды прямолинейного плоского вол­ новода. Она получается как решение уравнения собствен­ ных значений (8.3.16).

Для определения константы В необходимо аппроксими­ ровать функцию Ханкеля. Из формулы (9.6.5) следует, что v — величина того же порядка, что и аргумент функ­ ции Бесселя п2к0г. Введя ось х, как показано на фиг. 9.6.2, получим соотношение

Постоянная распространения моды больше постоянной распространения плоских волн в среде вне сердцевины:

При х = 0 отношение (9.6.7) больше единицы. Однако, так как х возрастает, величина (9.6.7) должна в конечном счете стать меньше единицы. Однако для больших R и малых х можно считать, что отношение (9.6.7) больше

а ^ « = Ш Г + - г Ш ‘ + т Ц ) ’ + . . .

(9.6.15)

Бесконечные ряды в правой части (9.6.15) можно , снова свернуть с помощью (9.6.12); выражение в квадратных скобках является просто геометрической прогрессией. Таким образом, можно записать

из формул (9.6.5), (9.6.9), (9.6.11), (9.6.16) и (9.6.17)

окончательно получим

H{2](nzk0r) =

V b R

Видно, что поле в виде (9.6.1), если аппроксимировать его с помощью (9.6.18), зависит от х так же, как поле в фор­ муле (8.3.12). Сравнение двух выражений дает амплитуд­ ный коэффициент В в виде

B = i V ^ i r v R y

2(0ц0Р cos KfZe^e-tP Ar th (y/P)-y]h.

N + -&-

У

(9.6.19)

Вычисление потерь на изгибе теперь не представляет труда. Коэффициент потерь мощности определяется отно­ шением вклада мощности от единичной длины волновода в поле излучения на бесконечности к мощности Р,

5 1 0 Глада i)

У читателя может возникнуть вопрос, почему потери мощности при некотором z находятся путем вычисления излучеппой мощности на бесконечном расстоянии от

Справедливость используемой нами процедуры следует из предположения, что амплитуда направляемой волны не изменяется, хотя она попользуется для вычисления потерь мощности. Допущение постоянства амплитуды типично для любой теории возмущений первого порядка. Так как радиально текущая мощность не завпспт от z (или от угла ф), не пмеет значения, какой элемент волновода фактически дает вклад. Относительные потери мощности па единицу длины постоянны и не зависят от положения вдоль осп волновода.

Данный приближенный метод расчета потерь на изгибе очень хорошо согласуется с результатом, полученным Маркатилп [106], который использовал приближенное реше­ ние комплексного уравнения собственных значений для расчета потерь волны на изгибе. Его выражения сущест­ венно сложнее полученных здесь. Однако результаты рас­ чета потерь обоими методами хорошо согласуются. Изло­ женная теория не ограничивается малой разностью

—п 2.

Значения у (или (3) должны получаться из решения уравнения собственных зпачеппй (8.3.16) пли из при­ ближенных уравнений (8 .6.1 2 ) и (8 .6.20).

Был рассмотрен только простейший случай четпой ТЕ-моды плоского волновода. Теория потерь на изгибе моды НЕИ круглого волокна намного сложнее *2). Заман­ чиво попытаться с помощью теории плоского волновода по крайней мере оценить ожидаемые потерн па изгибе для моды НЕИ круглого волокна. В этом случае потре­ буется использовать величины х, у и (3 для круглого волок-

J) Здесь автор касается вопроса локальности процесса излу­ чения на изгибе. Только при условии локальности потери могут быть выражены с помощью экспоненциальной функции,— Прим. рей.

2) См. ссылку [111*].— Прим. ред.

на вместо этих величин при а = d для плоского волно­ вода 1).

Графики зависимости нормированного радиуса кри­ визны Rid от потерь на изгибе 2аd приведены на фиг. 9.6.3

и9.6.4. Отношение показателей преломления сердцевины

иоболочки ?г1/?г2 = 1,01 для кривых на фиг. 9.6.3, а на фиг. 9.6.4 n j n 2 = 1,003. Здесь приведена зависимость,

обратная (9.6.27), с учетом приближенного решения (8 .6.1 2 ), чтобы показать, какой радиус кривизны допу­ стим, если заданы приемлемые потери на изгибе. Интерес­ но, что Rid мало изменяется в зависимости от 2оЯ. Следо­ вательно, незначительное изменение радиуса кривизны вызывает существенное изменение коэффициента потерь. Типичные рабочие условия могут иметь место при отно­ шении показателей преломлопия n j n 2 — 1,003, полуши­ рине слоя d = 1 мкм и n2kd = 12,9. Потери иа изгибе при этом изменяются от 2аd —10"10, или 2а = 0,434 дБ/км, до 2ad = 10~3, пли 2а = 43,4 дБ/м, при изменении ради­ уса кривизны от R = 2,2 м до 7? = 1 см.

О Результаты, рассчитанные по формуле плоского полиовода (9.6.24), хорошо согласуются с экспериментальными данными для моды НЕц [25].

1 0

СВЯЗЬ МЕЖДУ

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ

ВОЛНОВОДАМИ

10.1.ВВЕДЕНИЕ

Вразд. 2.7 и 9.3 было показано, что две волны могут быть связаны настолько эффективно, что возможна полная передача мощности от одной из них к другой. Этот тип связи вызывается синусоидальными отклонениями грани­ цы раздела сред сердцевины и оболочки в волноводе или синусоидальным изменением вдоль оси показателя пре­ ломления волновода. В этой главе будет рассмотрена связь между направляемыми модами двух различных вол­ новодов. Связь между волноводами также может быть вызвана изменениями геометрической формы или неодно­ родностями диэлектрической среды волновода. Мощность

водном из волноводов рассеивается нерегуляриостямн такого типа и излучается в окружающее волновод про­ странство. Если регулярный волновод поместить в поле такого излучения, то оно пройдет сквозь волновод и час­

тично отразится им, но эта мощность не перейдет ни в какую моду второго волновода. Однако если второй вол­ новод тоже имеет нерегулярности, то часть этой мощности может частично преобразоваться в направляемые моды этого волновода [104]. Такой тип связи называется связью через рассеяние. При этом механизме связи не проис­ ходит полного обмена мощностью между волноводами.

Два диэлектрических волновода, даже если оба они регулярные, могут эффективно обмениваться мощностью совсем по другой причине [103]. В гл. 9 показано, что электромагнитное поле направляемых мод в диэлектри­ ческих волноводах спадает экспоненциально в поперечном направлении от оси волновода. Если два диэлектрических волновода расположены рядом, то часть цоля одного