книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы
.pdfНерегулярные диэлектрические волноводы. |
491 |
Выражения (8.3.12), (8.3.18) и (9.5.18) использовались для получения из (9.5.17)' выражения
де (р, и) =
(/if— щ ) А*др cos y .d cos о
2 (Ро —Р) |Х я | Р | ( Mo + "^ ) <р2 cos2 ad‘I’aZsin2 CTd) (9.5.20)
Индекс сверху «+» здесь опущен, так как оба выражения д'с+'' и (/Jr* отличаются только знаком постоянной распро странения р моды излучения; (50 — постоянная распро странения падающей направляемой моды.
Мы нашли амплитуду моды излучения, которая воз буждается в месте малого скачка плоского волновода. Используем полученный результат для вычисления потерь на излучение при искажении стенки более общего вида. Для этого рассмотрим Ad как бесконечно малый прирост
в серии скачков, приближенно описывающих |
функцию |
/ (z). Можно записать |
|
Ad = ^ d z . |
(9.5.21) |
Каждый скачок последовательности порождает моды излу
чения. |
Скачки |
расположены при разных |
положениях |
z = и. |
В точке, |
расположенной вдали от |
возмущенной |
области, все моды излучения, которые возбуждены, скла дываются так, что для дайной моды излучения, соответ
ствующей р (q — qdu), можно записать
L
Ёе(Р, X, z) = j ?е(р, и)Ес(р, X, z)du =
о
L
= Ее(р, X, z) ^ qe{р, и) du. (9.5.22)
о
Черточка над составляющей поля означает суммарное поле от всех вкладов по всем скачкам. Выражение для моды можно вынести из-под интеграла, так как оно в любом случае не содержит зависимости от положения и на каж дой ступеньке. Рассмотрение показывает, что эффективная амплитуда моды излучения, соответствующая р, представ ляется интегралом от (9.5.20). Записывая z вместо и, полу-
Нерегулярные диэлектрические волноводы |
493 |
и для нечетных мод излучения
|
|
jj |
( P o - P ) r i u |
|
|
V y (РоР sin ad —уа cos ad) cosx de 0 |
/ _d/_ |
, |
dh \ |
||
XP |
|
|
\ dz |
1 |
dz ) |
|
|
|
|
|
|
(P o - P )'l/ |
|
/L3 |
|
|
|
f |
X |
P2 sin2 ad-'r |
|
|
|
(9.5.27)
В эти выражения мы ввели функцию искажения нижней стенки волновода li (z). Таким образом, наша теория спра ведлива для произвольных деформаций обеих стенок при условии, что волновод поддерживает только ТЕили ТМ-моду низшего порядка. Если размеры волновода уве личиваются таким образом, что могут распространяться дополнительные направляемые моды, то эти моды также необходимо учесть.
Соотношения (9.5.23) — (9.5.27) справедливы для очень малых отклонений стенки, которые рассмотрены выше, и приближенно выполняются для больших отклонений стенок. Эти соотношения использовались для предсказания потерь на излучение достаточно больших скачков в виде резких сужений волновода. Даже в этих случаях было получено хорошее согласие с экспериментальными дан ными [961. Постоянная распространения (30 падающей направляемой моды и параметры х , у являются функциями от z, так как они зависят от ширины волновода. Данная теория применима в тех случаях, когда излучение покидает сужающийся волновод достаточно быстро и не может вер нуться обратно к направляемой моде. Это условие удовле творяется с хорошим приближением как для слабых длин ных сужений, так и для крутых сужений х). Применимость для последних подтверждена экспериментально в [96]. •
Сравнение выражений (9.2.38) и (9.5.23) не показывает,
х) В обоих случаях это справедливо лишь, когда пзлучепиая мощность составляет малую часть от мощности падающей волыы. Если это ие так, то полученные формулы несправедливы (см. [113]).—Прим. ред.
494 |
Глава 9 |
что они тождественны. Однако легко продемонстриро вать их идентичность в случае малого искажения волно вода, для которого было получено выражение (9.2.38). Выражения разд. 9.2 не удовлетворяются для больших отклонений стенок волновода. Теория же, представленная в настоящем раздело, имеет более широкую область при менимости.
Предположим, что отклонение стенок от их идеальной формы мало. При этом dдолжно приближенно равняться d0, а р0, х и у являются постоянными. Тогда после вынесения постоянных из-под интеграла (9.5.23) останется интеграл
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = j |
e-i(Po- n t -fc[f(z) — h(b))dz. |
(9.5.28) |
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Осуществляя интегрирование по частям, получим |
|
|||||||
/ -= [/ (L) - |
h(L)} e-'<Po-P)L - [/ (0) - h (0)] |- |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
-И (Р о -Р ) |
J [/ (z) —h (z)] е _ , ' ( Р о - Р н dz. |
(9.5.29) |
|||
В разд. |
9.2 |
|
|
о |
|
|
|
|
предполагалось, что волновод регулярный при |
||||||||
z = |
0 |
и при z = |
L. |
Таким |
образом, имеем |
/ (L) |
= 0, |
|
/ (0) |
= |
0, |
h (L) = |
0 |
и h (0) = |
0. Члены в первых |
двух |
|
квадратных скобках не дают вклада. Используя формулы
(9.2.35) п (9.2.36), получим
/ = i(po- P)L[F(p0- p ) - / / ( P o - , )|. |
(9.5.30) |
||
Подстановка |
выражения (9.5.30) |
в (9.5.23) |
приводит |
к (9.2.38). |
|
|
|
Полученный результат является важным по ряду при |
|||
чин. Прежде |
всего, он доказывает, |
что теория |
потерь па |
излучение при искажениях стенки, основанная на синтезе произвольных функций как последовательности малых скачков, приводит к таким же результатам, что и метод разд. 9.2. Кроме того, теория данного раздела была рас пространена также и на ТМ-моды, хотя получение соот ветствующих выражений методом разд. 9.2 было значи тельно более трудным. Подтверждение того, что теория потерь на излучение, основанная на потерях от индиви дуального скачка, справедлива, позволяет рекомендовать ее для решения более сложных задач таким же путем.
496 Глава 9
Результаты численных расчетов с использование;»! этого выражения приведены на фиг. 9.5.3 п 9.5.4.
На этих фигурах потери ТМ-моды представлены сплош ной кривой и для сравнения пунктирной кривой показаны потери ТЕ-моды. На фиг. 9.5.3 приведены результаты для
«1 — 1,5, |
пг = 1 |
и k0d — 1,3, |
а па фиг. 9.5.4 для пЛ— 1,5, |
||||||||||||
«2 = 1, k0d = |
1,3. |
Примечательно, |
что потери ТЕ- и ТМ- |
||||||||||||
ыод почти одинаковы. |
Это связано с тем, |
что потери |
па |
||||||||||||
|
|
|
|
4 V S |
|
|_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
----- N |
|
ш - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nN |
Д/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
s ' |
— - *ч |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
чХ |
1 |
|
н 3 |
ЛР |
|
|
||
|
|
|
/ |
|
|
|
|
\ |
|
|
|
||||
|
|
' / |
/ |
|
|
|
|
|
SS |
A 2 L |
р |
|
|
||
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
V . |
|
|
|
|
||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N4 |
|
|
|
|
|
|
/ |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
Г / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ Х Ц__ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ \ |
х____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДО/ |
0,02 |
0,05 |
01 0 2 |
0,5 |
/ |
2 |
5 |
10 |
20 |
50 /00 |
200 500 |
/ООО |
|||
|
|
|
|
|
|
|
B/d |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф и г. |
9.5.3. |
Потери |
иа |
излучение ТМ-моды (сплошные кривые) |
|||||||||||
и ТЕ-моды |
(иунктирпыс |
кривые) |
плоского волновода, |
вызванные |
|||||||||||
случайным |
искажением одной |
стороны |
поверхности раздела серд |
||||||||||||
цевина — оболочка. |
Здесь |
nt = |
1,5, |
/;2 |
= |
I, kd = |
1,3 [101]. |
||||||||
излучение, вызванные случайными дефектами стенки, практически ые зависят от поляризации падающей моды.
Соответствующая теория потерь иа излучение за счет дефектов стенки круглого диэлектрического волновода (оптического волокна) была разработана для основной моды НЕи [96]. Эта теория также основана на вычислении потерь для одного скачка. Рассмотрение искажения стен ки было ограничено симметричным изменением диаметра стержня. Полученная теория крайне сложна, поэтому приведем здесь лишь некоторые ее результаты. Потери
Ф и г. 9.5.4. То же, что на фиг. |
9.5.3, ио для гц = 1,01, п2 = 1, |
kd = |
8 |101]. |
Ф и г. 9.5.5. Потери на излучение, вызванные случайными изме нениями радиуса сердцевины круглого оптического волокна. Здесь Hi = 1,432, по = 1 , а значения ка являются параметрами; В — интервал корреляции.
---- мода Н ЕП; ---------- |
мода ТЕ„,. |
32-087
4 9 S |
Г jiuпа .9 |
моды ЫЕ1Ь вызванные случайными искажениями стенки с экспоненциальной функцией корреляции (9.4.8), пред ставлены на фиг. 9.5.5 и 9.5.6. Сплошпой кривой иа каж дой фигуре показаны потери моды НЕц, пунктирной — потерн симметричной электрической моды ТЕ01. Последняя мода в некоторых отношениях соответствует ТЕ-моде плоского волновода, но имеет частоту отсечки. Кривые па фиг. 9.5.5 соответствуют щ = 1,432, пг = 1. Значения
Ю~2 2 5 ЮГ' 2 5 Ю° 2 5 /О' 2 5 10г 2 5 103
В/а
Ф п г. 9.5.6. То же, что и па фиг. 9.5.5, но для 1ц = 1,01 >;2 = 1.
Числовые значения на кривых соответствуют разлпчпым значе ниям ка [101].
к0а отмечены как параметр на каждой кривой. Кривые, приведенные на фиг. 9.5.6, рассчитаны для 1ц = 1,01, п2 = 1; кривые для мод НЕи и TE0i очень близки. Срав нение полученных данных с результатами для плоского волновода показывает, что потери мод круглого стержня в 4 раза выше соответствующих потерь для плоского волновода. Причина такой разницы была объяснена ранее. Она вызвана тем, что плоский волновод имел одну глад кую стенку. Круглый стержень с изменяющимся диа метром соответствует плоскому слою с симметричным изме нением толщины. Необходимо, чтобы обе стенки слоя деформировались совершоиио одинаково. Потери для этого