книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

482 Глава О

Если провести сравнение, то увидим, что требуемый отно­ сительный допуск почти одинаков во всех трех рассмотрен­ ных случаях.

Далее рассмотрим плоский волновод, у которого раз­ ница показателей преломления (9.4.14) его сред состав­ ляет 1%. Для основной моды (фиг. 9.4.5) при k0dQ= 8 с cl0 = 1,28 мкм и для потерь мощности в пике при B/d0 = = 10, составляющих 6 -10-:*, получим

Случай, когда кроме падающей моды, могут распростра­ няться две паразитные направляемые моды, представлен на фиг. 9.4.7. Для k0d0 = 23 и d0 = 3,00 мкм полные потери па излучение и преобразование моды составляют 3,4 •10-2, и требуемый допуск, который получается из обыч­ ных условий, равеи

Требуемые относительные допуски для волновода с малой разностью показателей преломления сред также почти оди­ наковы для случаев, когда волновод направляет одну моду пли три моды. Требуемый допуск для такого волновода намного мягче, чем для волновода с большой разностью показателей преломления сред. Из этого следует, что вол­ новод с большой разностью показателей преломления сред более чувствителен к потерям, вызываемым случайным искажением стенки, чем волновод с малой разностью пока­ зателей преломления сред.

В качестве примера рассмотрим случай волоконного волновода для передачи света на большие расстояния. Пусть показатели преломления сред волновода имеют значения, указанные в (9.4.14), и по волноводу распро­ страняется основная мода при условиях, приведенных на фиг. 9.4.5. Единственное отличие данного примера от рас­

484 Глава 9

быть использован я при исследовании полей других типов. Однако в общем случае, процедура определения амплитуд­ ных коэффициентов является намного более сложной. Для иллюстрации этого рассмотрим волновое уравнение для составляющей Н у поперечно-магнитных полей. Вол­ новое уравнение в форме (8.3.33) справедливо для ТМ-мод лишь когда диэлектрические среды волновода однородные. Это уравнение можно было использовать в разд. 8.3, так как его решения отыскивались отдельно в каждой одно­ родной среде волновода н затем сшивались па границах раздела диэлектриков при х = ±d.

Метод, развитый в разд. 9.2, не требует использования каких-либо граничных условий, по при этом волновое уравнение должно удовлетворяться везде, в том числе и на границах раздела сред диэлектриков. Соответствую­ щее приведенное волновое уравнение для И имеет вид

Т2Н |_ 1 (Ve) х (V X Н) -Ь со'2е.р0Н = 0. (9.5.1)

Вывод этого уравнения предоставляется читателю в каче­ стве упражнения. Для поля поперечно-магнитного типа, единственной составляющей которого является IIу, в слу­ чае, когда диэлектрическая постоянная изменяется только в направлении координаты х, уравнение (9.5.1) принимает вид

(9.5.2)

На поверхности раздела диэлектриков производная от диэлектрической проницаемости по координате х пред­ ставляется дельта-функцией, а производная dllц!дх имеет скачок. Волновое уравнение для составляющей Еу поля поперечно-электрического типа не является таким слож­ ным, так как формула (1.3.4) содержит лишь производную д&/ду, но она в силу условия (8.3.1) обращается в нуль. Уравнение (9.5.2) можно решать методом, изложенным в разд. 9.2. Однако эта процедура достаточно сложна. Необходимо аппроксимировать е быстро меняющейся, но непрерывной функцией. Другим возможным методом решения является использование локальных нормальных мод [113], о которых кратко упоминалось в начале разд. 9.2. Существуют и более простые методы, которые могут быть

использованы. Рассмотрение одного такого метода состав­ ляет предмет этого раздела.

Любую произвольную деформацию границы раздела сред можно аппроксимировать последовательностью малых скачков [101], как показано на фиг. 9.5.1. В пределе при бесконечно большом числе скачков и пулевой высоте каждого скачка [последовательностью скачков можно аппроксимировать любую произвольную функцию. Пре­ образование моды многими скачками является суперпо­ зицией полей, порождаемых каждым индивидуальным

Ф п г. 9.5.1. Произвольная деформация границы раздела сердце­ вина — оболочка аппроксимируется последовательностью скачко­ образных изменений.

скачком. Такой метод достаточно прост и удобен 1). Его можно применить к любому типу поля, в том числе и к более сложным полям круглого оптического волокна [96]. Справедливость метода подтверждена экспериментально. Кроме того, этот метод приводит к тем же результатам, что и метод разд. 9.2. Применим метод последовательных скачков к ТЕ- п ТМ-модам плоского волновода, а также рассмотрим возможность его применения к другим типам волноводов. Метод малых скачков также является при­ ближенным методом. В дальнейшем будем фиксировать приближения по мере их появления.

Начнем с рассмотрения одного скачка, изображенного на фиг. 9.5.2. Пусть в волноводе распространяется четная ТЕ-мода низшего порядка. При прохождении скачка мода теряет мощность на преобразование в другие направляе­ мые моды и на излучеппе. Для простоты ограничимся рас­

*) Этот метод получил название метода малых неоднородно­ стей [59*]. Метод поперечных сечспий [59*, 113], или, как называет его автор, метод локальных нормальных воли является развитием и математической формализацией метода малых неоднородно­ стей.— Прим. ред.

486 Глава 9

смотрением случая, когда до и после скачка существует только одпа направляемая мода. Поле в волноводе можно вычислить с помощью разложения по нормальным модам. Коэффициенты разложения находятся из условия непре­ рывности касательных составляющих электрического

Ф и г. 9.5.2. Схематическое изображепие одного скачка поверх­ ности раздела сердцевина — оболочка плоского волновода.

и магнитного полей Е у н П х в области скачка при z = и. Это условие приводит к уравнению для компонент Е у

Разложения в левых частях этих уравнений представляют поля слева от скачка. Поле слева от скачка является супер­ позицией падающей волны (индекс i сверху), отраженной направляемой моды (индекс г сверху) н отраженных чет­ ных н нечетных мод излучения. Постоянная атявляется коэффициентом отражения направляемой модьт. Коэффи-

циентът <7е> и до- ’ являются амплитудами отраженных

четных и нечетных мод излучения. Индексом 1 отмечено поле в волноводе слева от скачка. Правые части уравне­ ний представляют прошедшую направляемую моду и рас­ сеянные вперед моды излучения. Индексом t отмечены моды, распространяющиеся в положительном направле­ нии z. Постоянная ct — коэффициент прохождения направ­ ляемой моды; $ +>и <7о+> — амплитуды распространяющихся вперед четных и нечетных мод излучения. В разд. 8.6 коэффициенты разложения определялись из условия удо­ влетворения поля волновому уравнению. В данном разделе коэффициенты разложения определим из условия непре­ рывности поперечных составляющих поля в плоскости скачка.

Моды волновода слева от скачка взаимно ортогональ­

скачка не ортогональны из-за разных размеров волново­ да по обе стороны от скачка. Но для малой высоты скачка имеет место приближенная ортогональность этих мод по обе стороны от скачка. С помощью условия ортогональ­ ности мод справа от скачка выделим коэффициент разло­ жения де(+). Коэффициенты ql"' и gif5 малы. Можно пре­ небречь разницей между модами излучения по обе стороны

скачка, но при этом необходимо помнить, что Elt) (р) зависит от ехр (—фг), а Е(Г) (р) — от ехр (фг). Определим </ё+>, пренебрегая амплитудным коэффициентом аг, который пренебрежимо мал для малой величины скачка. Умножив

(9.5.3) на

и затем проинтегрировав по х, с помощью формулы (8.4.11) при z = и получим

оо

(9.5.6)

—00

Коэффициент 1/ё+> может быть получен также из (9.5.4). Выразим с помощью формулы (8.3.2) компоненты Н х,

4 8 8 Глава 9

со

+J Pg(o+)(p)4^(p)dp. (9.5.7)

о

Умножая на

п интегрируя по х, с помощью формулы (8.4.11) при z = и получим

При этом коэффициентом отражения аг снова пренебрега­ ем. При сложении (9.5.6) и (9.5.9) д'е~' (р) исчезает и мы получаем

Вычитание (9.5.6) и (9.5.9) дает выражение для ql ’ (р), которое очень похоже на (9.5.10), за исключением того что

Р заменяется на —р и Еш * (р) на Е°'' * (р) (объясните, почему). Выражение для коэффициента разложения нечет­ ных мод излучения получается из (9.5.10) заменой Ее2 иа Е п2.

Предположим, что высота скачка Ad намного меньше, чем полуширина слоя d. Выражение для ^-составляющей электрического поля мод излучения волновода справа от

Координата x' отсчитывается от пунктирной линии на фиг. 9.5.2. Разложим это выражение в ряд по степеням Ad и сохраним только первые два члена:

Второй член в правой части (9.5.12) всегда является малой величиной первого порядка. Разность х и х' того же поряд­ ка. Замена х' на х в этом члене вызовет изменение Ad только па величину второго порядка малости, которой можно пренебречь в приближении первого порядка. Таким образом, из формулы (9.5.12) получаем

Первый член в (9.5.15) не дает вклада в (9.5.10) в силу орто­ гональности мод. В результате имеем

(9.5.16)