книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы
.pdfНерегулярные диэлектрические волноводы |
471 |
идентичных систем и их потери на преобразование мод. Среднее по значениям потерь всех систем дается выраже нием (9.4.1). Многие системы являются эргодическими, т. е. среднее, полученное по измерениям потерь от разных участков одного итого же волновода, такое же, как среднее, полученное по измерениям от различных волноводов. Для эргодических систем среднее по ансамблю можно заменить средним по измерениям потерь в разных точках вдоль вол новода.
Представляющая интерес величина в (9.4.1) есть усред ненный по ансамблю коэффициент Фурье
L |
L |
<И '2>= ^ г { |
dz j dz'(f(z )/(z')>e- i(P(>-V(z- 2'>. (9.4.2) |
b |
b |
Среднее значение произведения функции / (z) на такую же функцию называется автокорреляционной функцией от / (z). Автокорреляционная функция не зависит от поло жения z для стационарного случайного процесса. Она
зависит только от разности z — z': |
|
R ( z - z ' ) = {f(z)f(z')). |
(9-4.3) |
Интеграл можно упростить введением новых переменных
|
u = z — z', |
(9.4.4) |
|
|
v = z'. |
|
|
В результате интеграл (9.4.2) принимает вид |
|
||
L |
L - и |
|
|
(| F |2) = -р- j |
daR (u) <ri(Po~lV u |
j dv + |
|
о |
|
0 |
|
|
0 |
L |
|
|
+ 2 5 - j daR (u) |
j dv. |
(9.4.5) |
|
—L |
—и |
|
Новые пределы интегрирования представлены на фиг. 9.4.1. Линия и — 0 является диагональю квадрата, идущей от на чала координат в верхний правый угол. Ниже этой диаго нали и пробегает значепия от и = 0 до и = L (первый интеграл). Соответствующий интервал изменения v начи нается от нижней стороны квадрата при г; = 0 и закацчц-
472 |
Гaana 9 |
|
вается в точке, |
где линия и = |
const пересекает вертикаль |
z = L. В последней точке v = |
z' = L — и. Второй двой |
|
ной интеграл охватывает область квадрата над диагональю.
Вверхнем левом углу и = —L, так что диапазон значений
иохватывает интервал от и = —L до и = 0 (первый инте
грал второго слагаемого). Диапазон изменения v для
Ф н г. |
9.4.1. Преобразование координат г, г' в координаты |
и н v. |
|
этого |
слагаемого начинается с пересечения |
линии |
и = |
= const и вертикали z = 0. В этой точке v = |
—и. Значе |
||
ния v увеличиваются до тех пор, пока линия и — const не достигнет вершины квадрата при v = L.
Проведя интегрирование по v, получим
L
<|/?Р> = - 1 - f ( £ - | u | ) f l ( u ) e “ iip° - pi*)udu. (9.4.6)
- L
Это соотношение пока еще строгое. Можно, однако, ввести полезное приближение. Для чисто случайных процессов R (и) уменьшается до нуля с увеличением расстояния и между двумя точками z и г '. Если бы это не выполнялось,
Нерегулярные диэлектрические волноводы |
473 |
то деформация стенок волновода была бы систематической, что противоречит предположению о случайной деформации
стенок. |
Допустим, |
что |
L |
намного больше расстояния, |
|
в пределах которого R |
(и) еще существенно отличается |
||||
от нуля. |
Поэтому |
можно пренебречь |
| и | по сравнению |
||
с L. Далее, так как R (и) |
стремится к |
нулю для больших |
|||
значений и, можно увеличить диапазон интегрирования до оо. Получим принижение
|
|
оо |
|
|
|
(|F |2>= ^ |
j |
R{u)e~ma- ^ )udu. |
(9.4.7) |
|
|
— оо |
|
|
Таким |
образом, среднее |
значение «спектра мощности» |
||
| F |2 |
функции искажения |
стенки пропорционально пре |
||
образованию Фурье от |
корреляционной функции. |
|||
Величина (9.4.7) обратно пропорциональна L. Относи тельные потери мощности (9.4.1) на преобразование в ц-ю моду оказываются пропорциональными L. Это дает воз можность определить потери па единицу длины. Данный результат интересен. Определяемые формулой (9.3.10) относительные потери мощности, вызванные синусои дальным искажением стенки, пропорциональны Ьг (см. разд. 9.3). Средние же потери, вызванные случайным иска жением стенки, пропорциональны L. Природа процесса потерь полностью изменилась. Этот результат находится
всогласии с нашим предположением относительно вкладов
впотери различных фурье-компоиент функции искаже ния стенки. В частности, в разд. 9.3 указывалось, что пол ный обмен мощностью между двумя направляемыми мо дами невозможен, если функция искажения стеики яв ляется случайной, потому что фаза преобразования Фурье становится случайной переменной. Настоящий результат
доказывает, что полный обмен мощностью невозможен даже в случае, когда только одна фурье-компонента функ ции искажения стенки ответственна за связь между двумя модами. Потери мощности на преобразование в данную направляемую моду становятся по существу потерями на единицу длины. Фурье-компонента случайной функции обратно пропорциональна корню квадратному из длины, тогда как фурье-компонента строго периодической функ ции не зависит от длины,
474 |
Глава 9 |
Если необходимо получить более конкретную, чем такой общий результат, информацию, требуется знать корреляционную функцию искажения стенки. Эту функ цию получить не проще, чем «спектр мощности» функции искажения стенки. Действительно, одна из них является фурье-преобразоваиием от другой. Однако известны неко торые общие черты корреляционной функции, так что мож но использовать модельные представления и с их помощью изучать потери мощности. Как уже отмечалось, функция корреляции при больших значениях и должна стремиться к нулю. Она также должна быть симметричной функцией и, так как не имеет значения, расположена ли точка z' справа или слева от точки ъ. Корреляционная функция простей шего тнпа имеет вид
(9.4.8)
Постоянная А является среднеквадратичным отклонением стенки волновода от прямолинейного направления, поскольку Я (0) = (/2(z)) = А2. Постоянная В определяет скорость уменьшения Я (и) при увеличении и и назы вается интервалом корреляции.
Из формул (9.4.7) и (9.4.8) получаем
2/12 |
_____ 1_____ |
(9.4.9) |
<т®>= BL |
|
(Ро —Рд)2+ -£^Г
Потери мощности на преобразование в д-ю четную направ ляемую моду находятся из формул (9.4.1) и (9.4.9):
^LA2(nl— Я5)2 Л-J cos2 x0d0cos2 x(Jld0
w (Мо + -!^) ( M o+ ^ ) [(Ро- Р ц)2+ ж ] '
(9.4.10)
Потери на преобразование в нечетные направляемые моды получаются заменой cos на sin х ^ 0. Полные потери, вызванные всеми направляемыми модами, являются сум мой вкладов потерь всех четных и нечетных направляе мых мод.
Средние относительные потери на излучение получа ются путем усреднения по ансамблю (9,3.42) с использо-
47G |
Глава 9 |
Случай малой |
разности показателей преломления |
сред волновода часто встречается в оптических волокнах. Результаты для
Hi = |
1,01, 77 2 = |
1 |
(9.4.1-/ ) |
приведены на фиг. 9.4.5—9.4.7. |
имеют одни и те же |
||
Все представленные |
зависимости |
||
характерные особенности. Нормированные относительные
B/d
Ф п г. 9.4.2. Зависимость |
нормированных |
потерь |
на |
излучение |
|||
(d3/A-L) (&Р/Р) |
п |
отложения |
мощностей |
&P~f&Р+, |
рассеянных |
||
назад н вперед, |
от нормированного интервала корреляции 'B/d для |
||||||
|
л, |
= 1,5, |
по = |
1, Ы = 1,3 |
[98]. |
|
|
d — полуширина |
|
Волновод одпомодопый. |
|
отклонение одной |
|||
сердцевины; |
Л — среднеквадратичное |
||||||
стороны поверхности раздела |
сердцевина — оболочка: L — длина части вол |
||||||
новода, дающей вклад в потери: и, |
— показатель |
преломлении |
сердцевины; |
||||
iu — показатель |
преломления |
оболочки; к — постоянная |
распространении |
||||
|
|
в свободном пространстве. |
|
|
|||
потери мощности имеют максимум вблизи B/d0 = 1. Поте ри мощности оказываются наибольшими, если интервал корреляции приблизительно равен полутолщпне волно вода пли длине волны, поскольку полутолщпна волновода дмеет порядок длины волны. Отношение рассеянных назад
Нерегулярные диэлектрические волноводы |
479 |
и вперед мощностей A/'~/A/JI' становится равным единице для малых значений В и уменьшается к некоторому конеч ному значению (показано не на всех фигурах) для больших значений В. Аналогичная картина наблюдается в случае рассеяния света на малых частицах. Таким образом, мож но считать, что интервал корреляции определяет размер
\
— ^
\\
\Др -
------V> |
' LP* |
|
\ |
|
\ |
|
N |
|
|
d i ДР |
\ |
|
р |
\ |
у |
1 А |
\ |
|
\ |
|
ч |
|
|
/ |
ч |
\ |
\ |
|
|
\ |
|
--^--- |
/ |
|
|
Ч |
\/
А
/
° |
I |
I |
1 * 1 ' |
I \ |
I |
I |
I |
|
I |
\ |
ъ I |
■I |
|
0,01 |
002 |
0J05 |
0.1 |
0,2 |
0,5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
20 |
50 |
100 |
200 |
B/d
Фп г. 9.4.7. То же, что и на фиг. 9.4.2, но могут распространяться три моды. Здесь щ — 1,01, п 2 = 1, kd = 23 [98J.
частиц рассеивателей на поверхности волновода. Малый интервал корреляции соответствует частицам малого раз мера, а большой интервал корреляции — частицам боль шого размера. Эти частицы ие должны пониматься бук вально. Термин «частица» просто используется здесь для указания области искажения поверхности, в пределах кото рой имеет место корреляция. Рассеяние частиц, много меньших длины волны, как известно, является изотроп ным. Большие же частицы рассеивают преимущественно в прямом направлении.
Зависимость нормированных относительных потерь мощности от интервала корреляции определяется видом