книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

искажением стенки, покидает волновод и исчезает в про­ странстве. Ниже в этом разделе будет рассчитана структу­ ра поля излучения в дальней зоне. При потере малой части мощности падающая мода практически ие изменяется и ее амплитуда уменьшается незначительно. Преобразованная в излучение мощность больше не направляется волново­ дом, а излучается в пространство. Это не имеет места для случая связи падающей моды с направляемой, поскольку переданная направляемой моде мощность снова взаимодей­ ствует с мощностью падающей моды. Однако в случае излучения такое взаимодействие очень слабое. Этот результат позволяет расширить диапазон применения теории возмущений. Используя формулу (9.3.19) неодно­ кратно к уменьшенному значению мощности падающей моды, получим на конце волновода длиной D мощность

Коэффициент затухания а определяется из формулы (9.3.19). Выражение (9.3.22) справедливо для малых значений 2аХ, где X — длина волны, и точность его увеличивается с ро­ стом угла, под которым излучение покидает волновод.

Из анализа структуры поля в дальней зоне получаем угол излучения [100]. Для коэффициента разложения в предположении (9.3.3) из формул (9.2.38), (9.3.5) п (9.3.0)

находим следующее выражение:

где Г определяется формулой (9.3.16). Составляющая электрического поля излучения получается из (8.5.16) в виде

Выражения (9.3.23) и (9.3.24) описывают поле излучения плоского волновода с синусоидальным изменением его толщины в точке пространства с координатами х, z. Излу-

имеем в области, где аргументы быстро осциллирующих функций принимают стационарные значения. Таким обра­ зом, нужно проанализировать выражения вида

Разлагая / (р) в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки, получаем

СО

j e -i(px+PO ф ~ g-*(Pe*+ P sz) х

О

оо

X j e i(nnho/2Ps)-(p-os)2 ^ (р — р 3) = "

— СО

Для оценки интеграла была использована формула (2.3.23). В (9.3.27) необходимо было вычислить лишь интеграл (9.3.32). Разложим sin и cos по экспоненциальным функ­ циям. В разложении необходимо рассмотреть только ту его часть, которая содержит функции вида (9.3.28). Экспоненциальные функции с аргументами (pz — рх) дают незначительные вклады при х я z больше нуля. Множи­ тели при экспоненциальных функциях можно рас­ сматривать как постоянные в точке р = ps и их можно вынести из-под интеграла. Окоичательное интегрирование

а Г* получается из (9.3.16) заменой p на (3*. Выражение для составляющей поля в дальней зопе указывает па не­ сколько интересных особенностей. Видно, что поле рас­ пространяется примерно так же, как плоская волна под углом as, под которым поле приходит в точку х, z из источника в области нерегулярного участка х). Для поля в дальней зоне источник ограниченной протяженно­ сти подобен точечному источнику, расположенному в на­ чале координат. Последний множитель выражения (9.3.33) представляет собой цилиндрическую волну. Это становится более очевидным, если ввести в соответствии с (9.3.31)

Появление здесь вместо сферической волны цилиндриче­ ской связано с двумерной геометрией волновода. Наиболее

*) Из этого примера видно, что суперпозпцпя стоячих воли излучения в интегральном разложении дает распространяющуюся волну.

454 Глава 9

важным множителем в формуле (9.3.33) является

*S

Известно, что on является приближением дельта-функцпи для возрастающих значений L. Чтобы величина G/л была хорошей аппроксимацией дельта-функции, необходимо, чтобы L было много больше длины волны К. Это условие не противоречит условию (9.3.25), при котором было полу­ чено поле в дальней зоне. Множитель (9.3.39) определяет диаграмму направленности излучения участка плоского вол­ новода с синусоидальным возмущением стенки. Главный ле­

Поэтому основное излучение происходит только в направ­ лении, определяемом из формулы (9.3.35):

Излучение направлено перпендикулярно поверхности вол­ новода при 0 = ро п по касательной к его поверхности при 0 = Ро — »2^о- Другими словами, излучение перпендику­ лярно поверхности при ps = Он приближается к касатель­ ному с увеличением |3S. При ps ~ п2к0 излучение главного лепестка параллельно поверхности волновода. Большие значения постоянных распространения мод излучения не­ возможны. При ps > п2к0 получаем направляемые моды. Данное рассмотрение достаточно ясно показывает, каким образом поле излучения становится все более направлен­ ным вперед и как его направление достигает своего пре­ дела — направления, параллельного оси волновода, кото­ рое сливается с направляемой модой. При рассмотрении направления излучения лепестка диаграммы направлен­ ности и изменения этого направления предполагалось, что можно непрерывно перестраивать механическую частоту 0. Точность приближения в формуле (9.3.22) возрастает при увеличении угла a s, определенного в (9.3.41).

Читатель может удивиться, что обсуждению плоского волновода с синусоидальными искажениями стенки отве-

456 Глава 9

которое всегда можно представить в виде интеграла Фурье. Если спектр функции искажения стенки известен, можно вычислить потери на излучение спомощью формулы (9.3.42). Обычно спектр мощности функции искажения стенки не из­ вестен, поэтохму необходимо изучить некоторые модели, чтобы попять и оценить ожидаемые потери. Вместо изу­ чения моделей с различными «спектрами мощности» мы в следующем разделе воспользуехмся статистическим под­ ходом.

С помощью теории возмущений было показано, что потери на излучение, испытываемые направляемой модой, можно вычислить даже для достаточно длинных участков волноводов. Теперь покажем, что аналогичный подход можно использовать для изучения взаимодействия между направляемыми модами. Нельзя, конечно, непосредственно распространить формулу для потерь (9.3.10) на (9.3.22). Потери по формуле (9.3.10) не зависят линейно от L, поэто­ му пз нее нельзя определить потери на единицу длины. Физические соображения, использованные для получения соотношения (9.3.22) пз (9.3.19), неприменимы в дан­ ном случае к направляемым модам, поскольку мощность, переходящая от падающей моды к паразитной моде, остает­ ся в волноводе и продолжает распространяться, взаимо­ действуя с падающей модой. Существуют определенные закономерности связи направляемых мод, вызванной стро­ го синусоидальным искажением стенки, которые можно использовать для получения решения, справедливого за пределами применимости теории возмущений. Выше мы видели [см. формулу (9.3.7)], что при синусоидальном иска­ жении стенки эффективно связаны только две направляе­ мые моды. Поэтому пренебрежем влиянием всех других направляемых мод п поля излучения и будем считать, что взаимодействуют только две направляемые моды, связан­ ные синусоидальным искажением стенки. Обозначая ампли­ тудные коэффициенты этих двух мод через с0и щ, из урав­ нения (9.2.6) получим

9z2

и

(9,3.45)

Эта система уравнений применима только в особом случае синусоидально изменяющейся функции искажения стенки. Здесь диагональные члены F00 и Fn изменяются синусои­ дально в зависимости от z. Они представляют собой сину­ соидально изменяющиеся поправки к постоянной распро­ странения для регулярного волновода, стенка которого имеет среднее положение. Так как рассматривается незна­ чительное отклонение стенки, то этими диагональными членами можно пренебречь. Предположим, что обе моды распространяются в положительном иаправленип осп z. В отсутствие связи коэффициенты с0и Cj являются постоян­ ными. Для слабой связи, которая рассматривается в дан­ ном случае, с0 и щ изменяются на длине волны очень незначительно. Поэтому можно пренебречь вторыми про­

Коэффициенты связи в (9.3.46) и (9.3.47) можно определить из формулы (9.2.7). Однако проще воспользоваться фор­ мулами (9.2.34), (9.3.8) и (9.3.9) при L = z. Учитывая, что коэффициент с0 равен единице в формуле (9.2.34), путем дифференцирования по z п сравнения с (9.3.47), получим

M o + ^r) ( M o + -?r

Члены типа cos xd0 можно исключить с помощью формулы (8.6.16). Коэффициент связи является вещественной вели­ чиной. Коэффициент связи для соотношения (9.3.46) полу­ чается заменой с0 на cLв (9.2.34). Как видно из формулы (9.3.48), коэффициент х инвариантен относительно пере­ становки индексов 0 и 1. Изменение в знаке в (9.3.46) можно получить, рассматривая коэффициенты Фурье

в формулах (9.2.35) и (9.3.8). При выводе равенства (9.3.8) мы пренебрегли членом вида

где х = 0 + (Ро — Pi), поскольку х конечная величина. Однако после перестановки индексов 0 н 1 этот отброшен­ ный член становится существенным, а членом, содержа­ щим х = 0 — (р0 — p j, можно пренебречь. Два остав­ ленных члена имеют противоположные знаки, поскольку они получены из разложения функции sin 0z на экспонен­ циальные компоненты. Данное рассмотрение объясняет различие знаков в формулах (9.3.46) н (9.3.47).

Исключая Ci из формул (9.3.46) и (9.3.47), получим

Так как предполагалось, что с0 — амплитудный коэффи­ циент падающей моды, причем с0 = 1 при z — 0 , то имеем решение

Для малых значений xz из формулы (9.3.53) при z — L получаем

что хорошо согласуется с (9.3.10).

Решения (9.3.52) и (9.3.53) справедливы за пределами применимости теории возмущений. Они хорошо описывают взаимодействие мощностей двух направляемых мод, кото­ рые связаны посредством синусоидального искажения стенки. Теперь стало ясно, почему приближенные отно­ сительные потери мощности (9.3.10) пропорциональны L2, а ие L.

Две направляемые моды могут полностью обмениваться своей мощностью. Из формул (9.3.52) и (9.3.53) видно, чтр

мода с индексом 1 растет за счет моды с индексом 0. Поело прохождения расстояния

падающая мода полностью передает свою мощность моде

с индексом 1 .

Теория взаимодействия двух мод, связанных посред­ ством синусоидального искажения стенки, не может быть распространена на случай произвольной функции иска­ жения стенки. Хотя только одна фурье-компонеита функ­ ции искажения стенки ответственна за связь двух мод, данное рассмотрение оказывается несправедливым, если синусоидальная функция (9.3.1) является одной из многих фурье-компонент полной функции искажения стенки. Существуют по крайней мере две причины, в силу которых простая теория связи неприменима в этом более сложном случае. Прежде всего отметим, что гораздо большее число мод связано с падающей направляемой модой. Моды теря­ ют мощность и на излучение за счет фурье-компонент, соответствующих непрерывному спектру, и из-за связи с другими направляемыми модами. Таким образом, в общем случае нельзя ограничиваться рассмотрением связи только двух направляемых мод, а необходимо принимать во вни­ мание и другие конкурирующие процессы. Однако, если даже потери па излучение были бы малы и кроме падаю­ щей существовала только одна направляемая мода, мы не смогли бы использовать простую теорию связи мод, поскольку направление передачи мощности зависит крити­ чески от фазового соотношения между двумя связанными модами и фазы синусоидальной функции изменения стенки. Фурье-компонеита является функцией z, так как она полу­ чается интегрированием в точке z, в которой рассматрива­ ются обе моды. Не только амплитуда а фурье-компоненты изменяет свое значение с увеличением z, но, что более важ­ но, и ее фаза не имеет постоянного значения, необходимого для непрерывного обмена энергией. Для случайной функ­ ции / (z) фаза фурье-компонеиты изменяется случайно как функция z. Это заставляет направление передачи мощ­ ности между двумя модами меняться случайным образом то р одну, то в другую сторону, так что полная передача