книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

430 Глава 8

При выводе этих выражений были использованы соотно­

мощью (8.2.54), а приближенные уравнения собствен­ ных значений (8.6.44) и (8.6.45) использовались для выра­

ехр (— (уф), то заменяем у его отрицательным значением везде, кроме порядка функций Бесселя и тех мест, где записано абсолютное значение v. Заменяя v на — v в формулах (8.6.48) — (8.6.59), складывая и вычитая урав­ нения, получаем компоненты электромагнитного поля мод волновода в следующем виде:

(Выражения в скобках умножаются на F и G.) Два воз­ можных знака и два типа тригонометрических функций в этих выражениях используются независимо друг от друга. Верхний знак относится к НЕ-модам, а нижний знак — к ЕН-модам. Два набора тригонометрических

функций выражают различные поляризации векторного поля. Каждая поляризация предполагает любой набор мод (НЕ или ЕЫ). Выражения для F и G вида (8.6.48) — (8.6.59) справедливы только вдали от отсечки и при малой разности щ — п2. Однако выражения (8.6.60) — (8.6.65) являются точными и не зависят от приближения.-В разд. 10.4 такая запись используется для описания моды

НЕ,,-

Приближенные выражения составляющих поля полез­ ны для получения простых выражений для полей в декар­ товых координатах. Используя обратные преобразования

(8.2.3) и (8.2.4)

можно записать поперечные компоненты поля (8.6.62) —

Верхний н ипжннй знаки относятся соответственно к НЕ- п ЕН-модам. Из этих уравнений видно, что моды НЕ1|Х имеют только по одной поперечной составляющей Е и Н. Для НЕ-мод при v = 1 с верхними тригонометрическими функциями получаем составляющие Е х и IIу мод HEUl. Нижний набор тригонометрических функций описывает поляризацию, плоскость которой повернута на 90°, так как в этом случае имеем только Еу и Н х. Таким образом, поле моды НЕП особенно простое вдали от отсечки и для волноводов с малыми значениями разности iii — п2.

432 Глава S

Можно сформировать комбинации из ЫЕ- и ЕЫ-мод, которые проще, чем поля (8.6.68) — (8.6.71). Для этого важно выявить вырождение мод ЫЕ порядка v = v' + 1 с модами ЕН порядка v = v' — 1. Это вырождение не точное. Оно приближенно выполняется в случае малых разностей п{ — ?г2, но не зависит от значения уа. Заменяя

Такое же уравнение получается, если в (8.6.33) заменить v на v' — 1. Для приближений уравнений собственных

ковые постоянные распространения. Такая же связь, очевидно, существует в (8.6.41) и (8.6.43).

Используем нижннй набор тригонометрических функ­ ций в (8.6.68) — (8.6.71) для НЕ- и ЕЫ-мод и образуем

Полученные новые моды имеют только четыре не равные нулю составляющие поля E z, Еу, IIz и IIх и их структура более простая, чем у первоначальных НЕ- н ЕЫ-мод. Вычитание ЫЕ- и ЕЫ-мод приводит к полю, повернутому на 90° по отношению к полю (8.6.73) — (8.6.76). Однако, поскольку вырождение между модами неточное, две моды распространяются с мало отличающимися фазовыми ско­ ростями и линейно-поляризованное поле становится вследствие этого эллиптически-поляризованным. Но после прохождения модами расстояния А = 2nA/(f52 — Pi)> где N — произвольное целое число, р2 и — мало отличаю­ щиеся постоянные распространения первоначальных мод ЕН и НЕ, поле опять становится линейно-поляризоваииым и имеет вид (8.6.73) — (8.6.76).

Тепловые потери в материале волновода аналогичны тем, которые имеют место в сплошном диэлектрике. Особенно это справедливо, если материалы оболочки и сердцевины имеют одинаковые потери. В настоящей главе из всех упомянутых нерегулярностей будет рассмотрено влияние неровностей границы раздела сред волновода и кривизны оси волновода.

9.2. ПЛОСКИЙ ВОЛНОВОД С НЕРОВНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Моды плоского волновода были получены в предыду­ щей главе путем решения уравнений поля внутри н вне волновода п дальнейшего определения амплитудных ко­ эффициентов п постоянных распространения с учетом граничных условий. Такой способ скрывает тот факт, что функции поля плоского волновода на самом деле являются решениями уравнений (8.3.2) — (8.3.4) с из­ меняющимся 71. Если бы изменение показателя преломле­ ния рассматривалось как непрерывное и мы были бы в состоянии решить приведенное волновое уравнение (8.3.4) для такого распределения показателя преломления, то не было бы необходимости обращаться к граничным условиям. Можно было бы аппроксимировать распреде­ ление показателя преломления гладкой функцией, решить волновое уравнение (8.3.4), а затем перейти к распределе­ нию показателя преломления с резкой границей. Доста­ точно напомнить, что задача о распространении мод в среде с квадратичным изменением показателя преломле­ ния ранее рассматривалась для приведенного волнового уравнения. Единственными граничными условиями, с которыми мы тогда столкнулись, были условия па бес­ конечности.

Предлагаемая теория плоского волновода с неровной стенкой основана на нахождении решений приведенного волнового уравнения во всем пространстве без учета гра­ ничных условий, кроме условий на бесконечности. Ранее было показано, что любое произвольное распределение поля можно представить в виде суперпозиции мод идеаль­ ного прямолинейного волновода. Таким образом, и поле нерегулярного волновода можно выразить через моды регулярного волновода. Полученное разложение подстав­

ля преломления в волноводе с нерегулярными стенками можно записать в виде

Распределение показателя преломления п0 описывает регулярный плоский волновод:

В случае регулярного волновода т] = 0. Для нерегуляр-

Ф п г. 9.2.1. Плоский волновод с нерегулярной границей раздела сердцевина — оболочка.

ного волновода получаем следующие выражения:

Подобные соотношения справедливы также для тех зна­ чений z, при которых / (z) < 0, h (z) > 0, и для всех других возможных комбинаций. Для применения теории возмущений разность 7г'2 — щ не обязательно должна быть величиной малого порядка. Достаточно, чтобы об­ ласть, в пределах которой р отличается от нуля, была очень узкой.

При выводе этого уравнения использовалось то обстоя­ тельство, что моды E vy и Е у (р) удовлетворяют волновому уравнению для регулярного плоского волновода. Пред­ полагалось также, что поле нерегулярного волновода име­ ет только три составляющие: Н х, IIх и Е,г Составляющая Еу уже определялась в (8.5.16), а составляющие магнит­ ного поля можно получить с помощью (8.3.2) и (8.3.3). Задача ставится следующим образом. Мода ТЕ низшего порядка из регулярной части волновода падает на его нере­ гулярную часть. Нужно определить, как мощность, пере­ носимая падающей модой ТЕ регулярного волновода, пре­ образуется в другие волноводные моды и излучается.

Уравнение (9.2.4) содержит производные только отно­ сительно координаты z. Однако это уравнение зависит еще от координаты х через зависимость от х нормальных мод и 1]. Для получения системы связанных дифференциаль­ ных уравнений умножим обе части уравнения (9.2.4) на

где р — целое число, р0 — магнитная проницаемость, и проинтегрируем по всему поперечному сечению волновода. Используя соотношение ортогональности (8.5.13), получим

438 Глава 9

Постоянная распространения P' мод излучения зависит от р'. Очевидно, что наличие возмущения т] связывает коэф­ фициенты разложения cv н q (р). Система интегродиффереициальных уравнений (9.2.6) и (9.2.9), конечно, достаточно сложна.

Перед тем как пытаться решить систему уравнений, рас­ смотрим ее решение при ц = 0. В этом случае получаются несвязанные уравнения

Так как оба уравнения одинаковы, то достаточно рассмот­ реть одно из них. Решение уравнения (9.2.12) имеет вид

Моды, которые входили в ряды разложения (8.5.16), имели зависимость от координаты ъ и времени в виде (8.3.7).

Так как величина {5ц всегда берется положительной, то все моды распространяются в положительном направле­ нии z. В разложения, однако, эти моды входят умножен­ ными на cv. Пространственно-временная зависимость ком­ бинации cvE vу дается соотношением

Таким образом, видно, что, хотя мы начали с мод, распро­ страняющихся в положительном направлении оси z, в итоге получили моды, распространяющиеся как в положитель­ ном, так и в отрицательном направлениях оси z.

Теперь рассмотрим следующие неоднородные дифферен­ циальные уравнения:

соответствует волнам, распространяющимся в положитель­ ном направлении оси z. Вторая часть

соответствует волнам, распространяющимся в отрицатель­ ном направлении оси z. Может показаться, что такое разде­