книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

образуют два ортогональных вектора. Два вектора можно объединить разными способами в два ортогональных вектора. Это обстоятельство можно использовать для упрощения соотношений между двумя дополнительными неопределенными коэффициентами. Результат процедуры ортогонализации мод излучения оптического волокна можно найти в [96]. Получающиеся уравнения достаточно сложные и неприменимы для простого объяснения физи­ ческих процессов, которые приводят к излучению из ди­ электрического волновода.

ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ НАПРАВЛЯЕМЫХ МОД И МОД ИЗЛУЧЕНИЯ

Итак, особенностью диэлектрических волноводов яв­ ляется наличие дискретного спектра направляемых мод и непрерывного спектра мод излучения. Необходимо исследовать диапазон возможных собственных значений (постоянных распространения) мод каждой части спектра. Для этого рассмотрим постоянные у и р. Известно, что направляемые моды существуют для действительных зна­ чений у. Используя соотношения (8.3.14) и (8.3.11) для действительных значений у и я, получим интервал возмож­ ных значений р для направляемых мод дискретного спектра

Моды излучения получаются из (8.4.6) для действительных значений р. Диапазон возможных значений р мод излуче­ ния состоит из двух частей. Для действительных зна­ чений р из формулы (8.4.6) получаем

Этот диапазон не перекрывается с диапазоном постоянных распространения направляемых мод. Оба диапазона сты­ куются в точке п2к0. Существует также еще один диапазон возможных значений рг для действительных значений р. Этот диапазон задается мнимыми значениями р:

Этот диапазон значений (3 соответствует затухающим модам. Эти моды упоминались в разд. 1.3 и 1.6. Оказа­ лось, что затухающие моды в диэлектрическом волноводе также возможны, как и моды излучения.

Диапазоны возможных значений постоянных распро­ странения направляемых мод и мод излучения, показан­ ные па фиг. 8.4.1, одинаковы для круглого оптического волокна и плоского диэлектрического волновода.

Фи г. 8.4.1. Спектры постоянных распрострапонпя Р направляе­ мых мод и мод излучения диэлектрических волноводов.

Затухающие моды непрерывного спектра необходимы для описания поля вблизи волновода *). Однако они не уносят мощность и поэтому не являются важными при изучении потерь на излучение направляемых мод диэле­ ктрических волноводов.

8.5. СООТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ

Моды плоского волповода, как и моды круглого опти­ ческого волокна, ортогональны друг к другу [97, ИЗ]. Вместо доказательства ортогональности мод посредством прямых вычислений дадим общее доказательство, спра­ ведливое во всех системах цилиндрической конфигурации. «Цилиндрическая конфигурация» означает, что моды не изменяются (исключая фазу) вдоль оси системы.

]) Это нс совсем правильно. Такие моды необходимы для опи­ сания локального поля вблизи источника. Они имеют место и при возбуждении волн в свободном пространстве при отсутствии волно­ вода.— Прим. ред.

414 Глава 8

При Pv Ф Рд

Как впдио из рассмотрения (1.4.16) — (1.4.23), уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований вида

Еу -*~-\-Еу,

Их Ну - + - Н у

Преобразование (8.5.10) переводит любое данное решение уравнений Максвелла в другое решение этих уравнений. Соотношение (8.5.9) удовлетворяется для любых двух модовых решений уравнений Максвелла. Преобразуем р-го моду (но не v-io) согласно (8.5.10). Так как уравне­ ние (8.5.9) удовлетворяется для любых двух модовых решений, то оно распространяется и иа новую комби­ нацию моды v и преобразованной моды р. Таким образом, имеем

— ОО

Заметим, что переход от (8.5.9) к (8.5.12) невозможен при Ри = —Pv Выражение (8.5.12) представляет требуемое соотношение ортогональности между двумя модами в лю­ бом диэлектрическом волноводе без потерь. Если волновод с потерями, собственные значения pv и р^ становятся ком­ плексными и вывод соотношений ортогональности пе может

быть проведен так, как здесь. Соотношение (8.5.12) спра­ ведливо для любых двух люд v, р, где v-я и р-я — на­ правляемые моды, или одна из них направляемая, а'дру­ гая — мода излучения, или обе являются модами излуче­ ния. Равенство (8.5.12) выполняется, когда правая часть

люде, распространяющейся в противоположном направле­

нии, т. е. при Рц = —Pv

Выражение (8.5.12) можно непосредственно исполь­ зовать для установления нескольких полезных соот­ ношений для конкретного случая мод плоского волновода. Форл[улу (8.3.12) можно расширить таш-ш образом, что для

для четных или нечетных ТЕ-люд излучения уже установ­

—оо

Соотношение ортогональности для ТМ-мод излучения илге-

ет вид

ОО

- ^ H y (p)H*v (p')dx = P H p - p ' ) . (8.5.15) —00

Соотношения ортогональности (8.5.13) и (8.5.14) спра­ ведливы также, если одна из люд является лгодой излу­ чения, а другая — направляелюй лгодой. В этом случае правые части обоих выражений обращаются в нуль.

Любое произвольное распределение поля плоского волновода лгожпо выразить в виде ортогональных мод

не получается. Однако для случаев, имеющих практический интерес, можно найтн полезные приближенные реше­ ния. В настоящем разделе получены некоторые прибли­ женные решения уравнения собственных значений (8.2.70) круглого оптического волокна и уравнений собственных значений (8.3.16) и (8.3.23) ТЕ-мод плоского волновода. Соответствующие результаты для ТМ-мод аналогичны и приводятся здесь без вывода.

Начнем с рассмотрения плоского волновода. Постоян­ ные распространения четных ТЕ-мод получаются из уравнения

из (8.3.11) н (8.3.14) следующее соотношение между по­ стоянными х н у :

Из формулы (8.6.4) вндпо, что xd и V при отсечке одина­ ковы:

мощью фиг. 8.3.1, где представлены графически решения уравнений собственных значений (8.6.1) и (8.6.2). Четные значения v принадлежат четным ТЕ-модам, а нечетные — нечетным. Выражая xd в виде