книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

Уравнение собственных значений получается обычным

Коэффициент В 0 при этом может быть представлен в виде

Опять оказалось, что выражения для амплитудных коэф­ фициентов четных и нечетных ТМ-мод аналогичны.

При условии (8.3.1) ТЕ- и ТМ-моды обеспечивают пол­ ный набор направляемых типов волн плоского диэлектри­ ческого волновода. Однако условие (8.3.1) является допол­ нительным ограничением в постановке задачи. Если его не вводить, считая, что поля изменяются в направлении оси г/, можно было бы получить намного больше мод. Эти дополнительные моды являются гибридными, они имеют все шесть компонент поля. Но для упрощения описания потерь на излучение и явления преобразования мод мы не будем изучать более сложные гибридные моды пря­ моугольного диэлектрического волновода х). Наложение условия (8.3.1) ограничивает задачу до такой степени, что ТЕ- и ТМ-моды полностью описывают волны, направ­ ляемые плоским волноводом.

8.4. МОДЫ ИЗЛУЧЕНИЯ ПЛОСКОГО ВОЛНОВОДА

Система направляемых мод, найденная выше, доста­ точна для описания распределения любого направляемого поля плоского волновода [при условии (8.3.1)]. Но эта система оказывается недостаточно полной для описания явления излучения из волновода. С помощью только этих воли нельзя учесть поле излучения. Поэтому систему направляемых воли диэлектрического волновода, имею­ щую дискретный спектр, необходимо дополнить системой волн с непрерывным спектром (модами излучения). Ана-

2G-0S7

модами и модами излучении состоит в том, что для по­ следних не требуется экспоненциального спадания поля при удалении от волновода. В то же время при их изуче­ нии недостаточно лишь положить в формуле (8.3.14) вели­ чину у мнимой. При мнимых значениях у волны распро­ страняются вне волновода. Но для удовлетворения граничным условиям иужио включить в рассмотрение стоячие волны, необходимость которых математически объясняется следующим образом. Если бы в формули­ ровке задачи о модах излучения, рассмотренной в пре­ дыдущем разделе, положить величину у мнимой, то при­ шлось бы решать однородное уравнение, которое является следствием условия непрерывности составляющей H z при х = ± d. В итоге опять получилось бы уравнение собствен­ ных значений (8.3.16). Однако оказывается, что не суще­ ствует решений уравнения (8.3.16) при действительных Р и мнимых у. Чтобы получить решения для составляющих поля, отличные от найденных в предыдущем разделе, необходимо удовлетворить граничным условиям без вве­ дения ограничения иа возможные значения (3. Последнее означает, что нужно попытаться получить неоднородное уравнение для амплитудных коэффициентов. Его можно получить только путем добавления еще одной волны к по­ лю вне волновода. Полагая величину у в формуле (8.3.12) мнимой, получаем волну, распространяющуюся при | х | > d. Добавление к ней другой волны, распространяю­ щейся в противоположном направлении, дает дополнитель­ ный амплитудный коэффициент и приводит, таким образом, краевую задачу к неоднородному уравнению1).

J) В [ИЗ] дан более простой и более корректный метод построе­ ния волн непрерывного спектра (мод излучения) с помощью усло­ вия ограниченности поля волн в поперечной бесконечности. Это условие однозначно определяет как функции поля самих волн, так и их спектр: поперечные волновые числа р могут быть лишь веще­ ственными величинами, а не произвольными, как ниже неверно утверждает автор. Прп этом п числа р не являются произволь­ ными.— Прим. ред.

'-) Множитель (8.3.7) опущен.

26*

Следует заметить, что это выражение имеет смысл только тогда, когда используется как подынтегральная функция некоторого интеграла. Дельта-функцня является сингу­ лярной и, строго говоря, определена только в том случае, когда она входит как множитель в подынтегральное выра­ жение. Выражение (8.4.15) может быть использовано подобным образом только в качестве множителя выраже­ ния, которое в дальнейшем будет интегрироваться. Оче­ видно, что множители при cos в (8.4.15) остаются ограни­ ченными для всех значений р и р'. Так как аргумент cos стремится к бесконечности, то этот член с cos никогда ие сможет дать вклад, если окажется под интегралом. Таким образом, члены, содержащие cos, не дают вклада и могут быть опущены. Члены, содержащие sin, выражаются через 8-функцию следующим образом:

(8.4.16)

Значения р и р' положительные. Член с sin (р + р') оо также не дает вклада. Для действительного Се получаем

С\ ^cos2 ad + ~2"s^n2 ^ (P— P )- (8.4.17)

Объединение выражений (8.4.11) и (8.4.17) позволяет выразить амплитудный коэффициент Се через мощность Р:

‘ ~ “ 1/2

Таким образом, получены четные ТЕ-моды излучения и доказано условие ортогональности для них. Не повто­ ряя аналогичных расчетов для других мод излучения,

Амплитудный коэффициент связан с мощностью, перено­ симой модой. (Выражение «мощность, переносимая модой» использовано здесь не совсем точно, так как Р — это фактически мощность, которая получается в результате интегрирования мощности поля внутри бесконечно малого интервала по р).

a Ce выражается через мощность как

£ _~___________ 2>;fp2coe0P__________ —1/2

(8.4.32)

Рл ^ F ± . р2 cos2 a d -j- -рг ст2 sin2 a d j

НЕЧЕТНЫЕ ТМ-МОДЫ ИЗЛУЧЕНИЯ

Составляющие ноля внутри волновода, X | <C d, имеют

вид

МОДЫ ИЗЛУЧЕНИЯ КРУГЛОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛОКНА

Моды излучения плоского волновода достаточно просто описываются с помощью тригонометрических функций. В отличие от них моды оптического волокна выражаются

Моды излучения круглого оптического волокна могут быть выражены через функции Бесселя и Неймана. Имеется интересная математическая особенность, которую стоит обсудить. Мы уже видели, что граничные условия при г = а дают четыре уравнения для определения амплитуд­ ных коэффициентов в выражениях составляющих направ­ ляемых мод. Выражения для мод излучения содержат шесть неопределенных коэффициентов: два в выражениях поля внутри стрежня и четыре в выражениях цоля вие стрежня. Две дополнительные постоянные являются след­

циентов можно связать с мощностью, переносимой модой. Однако второй коэффициент остается неопределенным 1). Физическая причина этой математической загадки объяс­ няется следующим образом. Подобной проблемы не было при изучении мод излучения плоского волновода в силу разделения их на четные и нечетные. В случае круглого волновода такое разделение невозможно. Однако имеются две независимые смешанные моды, которые необходимо рассмотреть отдельно. Каждая мода содержит неопреде­ ленный амплитудный коэффициент. Если распростра­ няются две моды, то имеем два неопределенных коэффи­ циента. Именно такая картина имеет место в случае оптического волокна. Но эти моды можно разделить посред­ ством следующей процедуры. Если ввести произвольное линейное соотношение между' этими двумя неопределен­ ными коэффициентами, то получим одну моду излучения. Оставшийся неопределенный коэффициент обозначим через А |. Другая мода получается при использовании другого линейного соотношения между неопределенными коэффи­ циентами. Оставшийся при этом неопределенный коэффи­ циент обозначим через А г. Таким образом, имеем две произвольные моды 1 и 2. Чтобы полная система мод была ортогональной, моды 1 и 2 должны быть ортогональными. Выбор ортогональных векторов до некоторой степени произволен. Произвольность существует всегда, когда из двух линейно независимых и неортогональных векторов

1) В [ИЗ, заключение] дано условие, определяющее обсуждае­ мый неопределенный коэффициент (см. также [31*]).— Прим. ред.