380 Глава 8
Вычисление определителя приводит к уравнению соб ственных значений
Г et |
ау2 |
J™' (ха) . |
r ayi J'v {xa) , II™' (гуаЬ _ |
L е2 |
х |
J v (ха) "Т"1Уа I] ™ (iya) J |
|_к J 4 ( x a ) ' l^a II™ (iya) | — |
|
|
= |
[ v ( t - ‘ ) ^ ] ' - |
(8'2'49) |
Снова формула (8.2.47) была использована для упрощения этого уравнения. Приведенные здесь соотношения пред ставляют собой решение задачи о распространении направ ляемых мод в оптическом волокне с оболочкой. Прибли
женное |
решение уравнения собственных значений дано |
в разд. |
8.6. |
В формуле (8.2.2:1) вместо еп’фможно исполь |
зовать е-,гф. |
Это привело бы к изменению знака v во всех |
формулах (исключая индекс v цилиндрических функций), которые, однако, остались бы темн же самыми, потому что v входит в уравнение (8.2.23) только в виде ч2. Такое изменение не повлияло бы па собственное значение р.
Прибавляя новые моды с противоположным |
знаком v |
к старым модам, получим выражения для поля, |
которые |
будут содержать cos уф и sin уф вместо экспоненциальной функции. Вычитание же новых мод из старых даст другой набор мод с синусом и косинусом от v<j>. Выражения для мод часто записываются через синус и косинус от уф вместо экспоненциальной функции, использованной здесь. Эта форма описания поля используется ниже (формулы
(8.6.59) - (8.6.64)).
Оказывается, что моды диэлектрического волновода имеют шесть компонент поля и невозможно разделить их на поперечно-электрические и поперечно-магнитные моды. Моды диэлектрических волноводов являются, таким образом, более сложными, чем моды полых металлических волноводов. Моды оптического волокна являются гибрид ными. Исключение составляет случай v = 0, для которого правая часть уравнения (8.2.49) равна нулю. При этом справедливы два различных уравнения собственных зна чений :
ТМ-моды
8) у У) {ха)
ег х /о (на)
щ и ( т |
0 |
(8.2.50) |
"о” (б’а) |
И
Для получения этих результатов было использовано соотношение
(8.2.52)
Для мод, удовлетворяющих уравнению собственных зна чений (8.2.51), из выражения (8.2.46) находим, что В = оо, если v = 0. Чтобы сохранить В конечным, необходимо положить А = 0. Это означает, что в этом случае про дольная компонента Ez исчезающе мала. Моды становятся поперечно-электрическими, или ТЕ-модамн. В случае когда удовлетворяется уравнение собственных значений (8.2.50), необходимо сначала воспользоваться равенством (8.2.49), чтобы исключить v из знаменателя (8.2.46). В резуль тате имеем
со (Bi—е2) РД (И“) Н™ (ц,а)
А. (8.2.53)
Аналогичное выражение можно получить, если исполь зовать уравнение (8.2.41) вместо (8.2.43). Теперь можно устремить v 0, откуда В = 0 прн условии, что знаме натель (8.2.53) не равен нулю. Действительно, если мода удовлетворяет уравнению собственных значений (8.2.50), знаменатель (8.2.53) не равен нулю. Равенство В = 0 означает, что продольная компонента магнитного поля Нг исчезающе мала. Моды, удовлетворяющие уравнению собственных значений (8.2.50), являются, таким образом, поперечно-магнитными, или ТМ-модами.
Важным параметром любой моды является частота отсечки, или критическая частота1). Мода перестает суще ствовать как физическая волновая структура или отсе кается, когда ее поле больше не уменьшается при удалении от сердцевины. Степень уменьшения поля с увеличением /• определяется значением величины у. Ранее упоминалось, что функция /ДР (iyr) экспоненциально убывает с увели-
J) В английской технической литературе применяется первый термин, в русской используются оба термина, но чаще последишь При переводе мы сохранили первый термин (второй дан здесь для пояснения), считая, что это не приведет к недоразумениям.—
Прим. рей.
челном значений аргумента. Асимптотическое приближе ние для больших значений аргумента имеет вид [И, бII
IJ{}> (iyr) = f / r J L e-i (яг/2+я/4) е-yr д Л Я уг у [ . |
(8.2.54) |
При больших значениях у поле плотно сконцентрировано внутри и вблизи сердцевины. С уменьшением у поле пере распределяется в пространство вне сердцевины. При у = 0 поле выходит из волновода. Частота, при которой это происходит, называется частотой отсечки. Условием отсечки является, таким образом, соотношение
у = 1/ р2- / 1" = 0 . |
(8.2.55) |
Решения уравнения собственных значений на частотах, больших частоты отсечки, можно получить так же, как это было сделано Шлезингером, Диаментом и Вигаитом [83]. Как и эти авторы, преобразуем уравнение собственных значений к другому виду. Введем обозначения
_I ^У-И (яя)
ха |
J v (ха) |
’ |
j - __ J _ * ^ v -i (к а ) |
|
ха |
J v (ха) |
’ |
гг* _ _1_ 7/У+1 (Р’й) |
iya |
ll< "(iya) |
’ |
„ _ |
1 |
11у - i 0 » |
_ |
iya |
" Д (’Уа) |
(8.2.5G)
(8.2.57)
(8.2.58)
(8.2.59)
Используя следующие функциональные соотношения для цилиндрических функций [11, (И]
z;=4-(zv_ , - z v+1) |
(S.2.G0) |
и обозначение |
|
e = f , |
(8.2.G1) |
запишем уравнение собственных значений (8.2.49) после деления на а4у4 в следующей форме:
[е (/- - |
Г ) - (//" - Н +)] [(/- - Г ) - |
(Я" - |
Я +)| = |
|
|
_ Г 2у (ё — 1) ftAyj2 |
(8.2.G2) |
|
L |
а2у2к2 |
J |
|
|
Перегруппировка членов приводит к
(t J~ - //") ( / + - II*) - (е,/ + - 1Г) |
- //-) + |
+ (е7 + - Я*) ( / + - Я +)+ (е/- - Я") (/- - Я") = |
'2v (б — 1) (ЗЛ-2] “. (8.2.63) |
-F |
а2у2х2 |
Используя функциональное соотношение цилиндрических
функций [11, 61] |
|
|
Zv+J (a)+ Zv_, (а) = |
Zv (а), |
(8.2.64) |
получим |
|
|
и |
|
<8-2-65) |
|
(8.2.66) |
Н ' + Н - - — |
* ^ . |
С помощью этих соотношений уравнение (8.2.63) преобра зуется к виду
2 (е /_— //-) (./+ - 1Г) - 2 (е /+ - Я +) (/" - |
Я") + |
= |
(8-2.07) |
Далее с помощью формул (8.2.65) и (8.2.66) найдем
{j * - H * ) + {J- - H - ) = % [ ± + ± ] . (8.2.68)
Используя соотиошеиия между постоянными к, у, Р, к^ и к2, получим уравнение
( £ + 1 ? ) ( i + i ) = |
(8-2.69) |
Уравнение собственных значений (8.2.67) принимает про стую форму
(eJ~ - Я") ( Г - Я +) + ( е /+ - Я +) (/" - Н~) = 0. (8.2.70)
Уравнения собственных значений (8.2.49) и (8.2.70) явля ются, конечно, полностью эквивалентными. Для изучения решений в области отсечки лучше пользоваться уравне нием (8.2.70).
Известно, что условием отсечки является у = 0. По скольку аргументы функций Ханкеля в этом случае исчезающе малы, необходимо использовать приближение для малых значений аргументов [11, 61]
•2/ |
где |
/С(»уа) = 1 + ^ - 1 п ^ = ^ 1 н ф , |
Г = 1,781672, (8.2.71)
Из этих уравнений следуют соотношения
тг+ |
2v |
ДЛЯ V= 1 2 |
3 |
II |
— |
---гт; |
|
|
И')2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
V = 1, |
Н |
2 (v— 1) |
для |
II N) |
СО |
•£ч |
|
|
|
Из формулы (8.2.70) для малых значений у и v щью (8.2.73) получим
(e/v-i — хаЯ J v) (a2y2/ v+1 -j-2vxa/v)-j-
-|-(ea2y2/ v+i-j-2vxa/v) (./v_t — xrH/“./v) = 0.
(8.2.73)
(8.2.74)
(8.2.75)
0 с помо
(8.2.76)
При |
у —►0 |
необходимо |
отдельно |
рассмотреть |
случаи |
v = |
1 и v > |
1. |
Начнем с v = 1 . Из равенства (8.2.76) при |
у —у 0 получим |
|
|
|
|
|
|
|
[2 (xa) J 1 (ха)]21п |
—0. |
(8.2.77) |
Решение этого |
уравнения |
имеет вид |
|
|
|
|
|
./i (ха) = 0. |
|
(8.2.78) |
Другое возможное решение ха = 0 также учтено в (8.2.78) Для v > 1 из равенства (8.2.76) в пределе при у 0
найдем
Jv (ха) [(е -|-1) / v_, (ха) - ^ Jv(ха)] - 0. |
(8.2.79) |
|
Оптические волокна |
385 |
Это уравнение допускает два решения: |
|
J v(xa) = 0 |
для ха ^ О и v = 2, 3, 4, ... |
(8.2.80) |
и |
|
|
( е + l ) / v_1(xa) = |
для v = 2, 3, 4, ... . |
(8.2.81) |
Как отменено в (8.2.80), решение ха = 0 должно быть здесь исключено. Этот очень важный результат следует из (8.2.70). Чтобы показать это, необходимо использовать приближение для функций Бесселя от малого аргумента
[11, 61]
О |
1-Т II |
и |
|
/ v(xa) = -^f- |
Для v - - 1, 2, 3, . . . . |
С учетом этих приближений найдем
<7+ —2 (v-|-l) для v — 1, 2, 3, .. . |
(8.2.84) |
и |
|
для V = 1 ,2 ,3 ........... |
(8.2.85) |
Если у и х становятся одновременно исчезающе малыми,
то равенство (8.2.70) |
для |
v > |
1 |
принимает вид |
2sv |
|
|
|
|
L (ах)2 2 (v—1 )] [2 (v-j ' i 7 + R r J + |
|
1 |
2v |
‘1 Г |
2v |
p i ) ] - 0 - (8-2.86) |
+ [2(v + l)' |
(aV)2J L(ax)2 |
2(y—1) |
|
|
. ] [ |
|
|
Когда x и у стремятся к нулю, уравнение (8.2.86) перехо дит в
4v2 fe + 1) |
= 0 для v = |
2, 3, 4, |
(8.2.87) |
(a2xv)2 |
|
|
|
То, что значение ха = 0 не удовлетворяет этому уравне нию, доказывает то.т факт, что оно не может быть и реше нием уравнения отсечки (8.2.80). С другой стороны, при v = 1 из формулы (8.2(70) имеем
\ М - Ъ‘£ ] I
+ [ 5 W j + ( ^ ] [ ( ^ - ln 4 r ] = ° - |
<8-2-8S) |
38б |
Глава 8 |
Когда |
х и у стремятся к нулю, получаем |
|
(8-2-89) |
Это уравнение удовлетворяется, поскольку логарифм стре
мится к бесконечности, когда у |
0. |
Решение имеет вид |
ха = 0 для |
v = |
1. |
(8.2.90) |
Теперь осталось исследовать случай v = 0. Для малых
значений у равенство (8.2.50) принимает |
вид |
I |
х |
J о (ха) |
— ay In ayГ |
(8.2.91) |
е |
у |
J 1 (ха) |
Поскольку уа стремится к нулю быстрее, чем логарифм
кбесконечности, произведение в правой части стремится
кнулю при у —>- 0. Решение этого уравнения имеет, таким образом, вид
Тм_| моды: / 0(хса) = 0. |
(8.2.92) |
Стремление х к пулю не приводит к решению (8.2.91). Поскольку равенство (8.2.51) отличается от (8.2.50) только множителем е, условие отсечки волн (8.2.92) справедливо для обеих поляризаций.
Таким образом, находим иолноо решение задачи об отсечке волн для всех мод. Суммируем результаты реше ния уравнения собственных значений направляемых мод (с v 0) оптического волокна для условия отсечки мод. Имеем следующие условия:
|
|
НЕИ: хса = 0 для v= |
l, |
(8.2.93) |
, |
n |
ТТР^ |
| xca = w vlL для v= l, |
2, 3, ... |
(8.2.94) |
(для v= |
l) |
IiE I(i: |
J |
|
|
и подразумеваемое условие (е = г^/г^)
I-IEv (е + 1) |
(хса |
) |
J v (хса) |
для v = 2 , |
3, 4, .. . . |
(8.2.95) |
Параметр wVIJL является р-м корнем уравнения
Наиболее важным для данного рассмотрения режима отсечки направляемых мод является факт существования одной моды, частота отсечки которой равняется нулю. Частота отсечки /с определяется при у — 0 с помощью формул (8.2.31), (8.2.39) и (8.2.55)
/с = 2я ~/{ei —е2)Ро |
(8.2.97) |
Только несимметричная мода низшего порядка при v = 1 может иметь нулевое значение хс и, следовательно, частоту отсечки /с = 0. Эта мода, таким образом, может суще ствовать при любой частоте и при любом диаметре стержня. Все другие моды не распространяются па частотах ниже их частот отсечки. Таким образом, имеется возможность работать с оптическим волокном, по которому распростра няется лишь одна мода. Для этого требуется, чтобы волокно было достаточно тонким и все другие направляе мые моды с более высокими частотами отсечки не могли распространяться.
Из формул (8.2.94) и (8.2.95) видно, что имеются два типа мод для каждого целого значения v > 1. Моды, частоты отсечки которых определяются условием (8.2.94), обозначаются как E Iiv^, а моды, частоты отсечки которых определяются условием (8.2.95), обозначаются как HEV^ [80]. Исключением являются моды I4Eltl, частоты отсечки которых также определяются условием (8.2.94), и мода НЕИ, частота отсечки которой определяется условием (8.2.93). Оба типа мод имеют шесть компонент поля. Суще ствование двух тнпов мод аналогично наличию двух типов (ТЕ и ТМ) мод металлических волноводов.
При v = 1 имеет место только одно условие отсечки. В этом случае, однако, существует также два типа мод. Оба типа (ЕЫ1м, и HEltl) мод имеют одинаковую частоту отсечки. При частотах, отличных от частоты отсечки, оба типа мод имеют различные постоянные распространения. Поэтому они не являются вырожденными. При v = 0 мы имеем также невырожденные ТЕ- и ТМ-моды с одинако выми значениями частот отсечки, которые задаются усло вием (8.2.92).
В табл. 8.2.1 приведены значения кса для различных сочетаний v и р, рассчитанные для НЕ-мод при ej/e2 =1,1.
Таблица 8.2.1
Критические значепня параметра х сядля некоторых мод. Для НЕ-мод (кроме мод H Ei(l, которые
не зависят от е) вычисления проводились
|
|
|
ДЛЯ 8)/Е о= 1,1 |
|
\ \ |
д |
1 |
2 |
з |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2,405 |
5,52 |
8,654 |
ТЕ, ТМ |
■1 |
|
0,000 |
3,832 |
7,016 |
НЕ |
1 |
|
3,832 |
7,016 |
10,173 |
ЕН |
2 |
|
2,445 |
5,538 |
8,665 |
НЕ |
2 |
|
5,136 |
8,417 |
11,620 |
ЕН |
Видно, что с увеличением частоты появляются новые моды. Первой модой является мода НЕИ, распространяющаяся без отсечки. По мере увеличения частоты возникает возможность существования ТЕ01- и TM qi-мод. Интервал частот, при которых в волноводе распространяется одна мода, определяется неравенством
|
О < / < |
2,405 |
(8.2.98) |
|
2па Л/ (si — eg) До |
|
|
|
|
На фиг. 8.2.3 показана |
зависимость отношения р//г2 от |
к2а для мод НЕИ, TE0I, TM0i- (Приближенные решения уравнения собственных значений будут получены в разде
ле |
8.6.) Графики на фиг. |
8.2.3 построены |
для |
п2 = |
1 |
и |
71\ — 1,01. Постоянные |
распространения |
мод |
ТЕ01 |
и |
ТМ01 почти одинаковы в силу малой разности показателей преломления сред волновода, поэтому на фигуре они представлены одной линией. Существование мод высшего порядка возможно при значениях к2а, больших приведен ных на данной фигуре. Их критические частоты больше критической частоты моды ТЕ01. Как уже отмечалось, мода НЕИ отсечки не имеет. Это видно из фигуры, хотя на ней график для моды НЕИ практически обрывается при к2а = 5. Это вызвано тем, что при к2а < 5 отношение р/к2 становится очень близким к единице. В действитель-
иости же кривая проходит до /с2а = 0. Все кривые начи наются на линии р//с2 = 1 и стремятся асимптотически к значению р//с2 = пх!пг. Чтобы показать асимптотическое
Ф и г / 8.2.3. Зависимость отношения постоянной распростране ния направляемых мод (5 к постоянной распространения плоской волны к2 (в среде оболочки) от относительного радиуса волокна к2а.
поведение кривой для моды НЕ^ более ясно, на фиг. 8.2.4 приведена качественная диаграмма для зависимости кру говой частоты ю от р. Диаграмма такого типа называется (со — Р)-диаграммой. Она удобна тем, что тангенс угла наклона
определяет групповую скорость моды в оптическом волок не. Очевидно, что групповая скорость является функцией частоты. Кривая имеет точку перегиба, где вторая про изводная
|
д2ш |
_ dvg |
dvg _ |
(8.2.100) |
|
с?Р2 |
dp |
da> |
|
|
равна нулю. В окрестности этой точки групповая скорость приближенно не зависит от частоты. Это означает, что
