книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы
.pdf3 7 0 Гаана 8
вины, например 0,5 мкм. Однако внутренняя сордцевниа может быть довольно большой и тем не менее будет воз можен одномодовый режим работы, если отношение пл1пг окажется достаточно близким к единице. Можно допустить размер 2at в несколько микронов и при этом все же получить одномодовый волновод.
Оптические волокна имеют некоторые общие черты с полыми металлическими волноводами. И те и другие могут поддерживать ограниченное число направляемых мод на любой заданной частоте. В обеих структурах, воз можно преобразование мод, если волноводы отклоняются от идеальной прямолинейной геометрии [82]. Однако, если в металлических волноводах распространяются толь ко направляемые моды и преобразование мод связано с обменом мощности между счетным числом этих мод, спектр волн диэлектрического волновода и оптических волокон наряду с конечным числом направляемых мод с дискретным спектром имеет континуум иенаправляемых мод излучения. Моды излучения также являются решения ми уравнений Максвелла и удовлетворяют граничным условиям, налагаемым на поле при наличии диэлектри ческих поверхностей раздела. Одиако если в металличе ских волноводах направляемые моды имеют только дискретный набор постоянных распространения, то в диэлектрическом волокне, кроме них, существует беско нечное множество волн излучения с постоянными рас пространения, образующими непрерывный спектр. При отклонении от идеальной геометрии происходит не только перераспределение мощности между направляемыми мода ми диэлектрического волновода, но и часть мощности рассеивается в непрерывный спектр мод излучения. Рас сеяние мощности в непрерывный спектр представляет собой излучение поля во внешнюю среду.
Рассмотрим моды оптического диэлектрического волно вода на основе уравнений Максвелла. Поляризационные эффекты оказываются важными для этих структур и в дальнейшем учитываются. Было бы неправильно изучать распространение мод в таком слоистом диэлектрическом волноводе, используя лишь скалярное волновое уравне ние. Наряду с изучением свойств регулярных структур мы коснемся в гл. 9 вопросов преобразования мод и эф-
'№ |
I'jiatm 8 |
черты волоконной оптики, а также получить численные результаты, которые оказываются применимыми и к более сложным для анализа цилиндрическим волокнам.
S.2. НАПРАВЛЯЕМЫЕ ВОЛНЫ (МОДЫ) КРУГЛЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКОН
В этом разделе получим выражения для направляемых мод оптического волокна в оболочке. Оболочка выполняет свою роль полностью, если ее радиус настолько велик, что поле вблизи поверхности раздела между оболочкой и окружающим воздухом практически отсутствует. Таким образом, достаточно предположить, что радиус оболочки
Ф и г . 8.2.1. Декартова и по лярная системы координат.
неограничен: Разница между модами волокна с оболочкой и без нее будет незначительной для любого хорошо выполненного оптического волокна.
Уравнения поля для оптических систем цилиндриче ской геометрии выведены в разд. 1.4. Запишем эти урав нения в цилиндрических координатах т, ф, z. Для этого воспользуемся преобразованием координат. Координата z в направлении оптической оси системы является общей для декартовой н цилиндрической систем координат и нет необходимости преобразовывать ее из одной системы в другую. Соотношение между двумя системами коорди нат в поперечной плоскости показано на фиг. 8.2.1. Из фигуры видно, что между координатами имеют место сле
дующие соотношения: |
г cos ф, |
(8.2.1) |
х = |
||
у = |
г sin ф. |
(8.2.2) |
Преобразование компонент Fx, Fy вектора F из декарто вой системы координат в компоненты Fr, /Д цилиндриче-
Оптические колокиа |
375 |
Волновые уравнения для E Z\\IIZявляются здесь строгими, так как они применяются в областях с однородным пока зателем преломления. Итак, получены все уравнения, необходимые для решения задачи о распространении мод в оптическом волокне с оболочкой. Для z-й компоненты электрического поля решение будем искать в виде
Ez= AF(r) eiv*. |
( 8 |
. 2. 21) |
Множитель, зависящий от координаты z и времени, |
||
gi(a>t—pz) |
(8 |
.2.22) |
умножается па все компоненты поля и поэтому опущен здесь п далее во всех выражениях. Постоянная v в формуле (8.2.21) может быть как положительным, так п отрицатель ным числом, но обязательно целым, чтобы имела место периодичность по ф с периодом 2л.
Подстановка выражения (8.2.21) в (8.2.19) приводит к дифференциальному уравнению для F (г)
(8.2.23)
которое является хорошо изученным уравнением Бесселя [11]. Поскольку это дифференциальное уравнение второго порядка, то должны иметь место два линейно независимых решения. Существует несколько способов выбора двух независимых решений (8.2.23). Можно использовать функ цию Бесселя J v (кг) п функцию Неймана N v (кг). Эти функции для очень больших действительных значений их аргумента ведут себя подобно косинусам и синусам. Функция Бесселя J v остается конечной в начале коорди
нат, |
тогда |
как функция Неймана N v имеет особенность |
|
при /• = |
0. |
Другой набор линейно независимых решений |
|
состоит |
из |
функций Ханкеля первого и второго рода |
|
/Д 1’ |
(к?-) и Щ ’ (кг). Эти функции имеют особенность при |
||
г = |
0. Для больших действительных значений аргумента |
||
#vn представляет бегущую волну (экспоненту), которую при выборе времеппой зависимости (8.2.22) рассматри вают как волну, распространяющуюся в направлении уменьшения г. Функция Ханкеля второго рода /Д2>
вэтом случае представляет волну, распространяющуюся
внаправлении увеличения г, т. е. от оси структуры.
3 7 li Глава S
Представляют интерес также функции Ханкеля для мни
мых значений |
х |
|
(8.2.24) |
|
|
|
х |
— iy. |
|
В этом |
случае Н(Р (iyr) становится |
пропорциональной |
||
e~vr для |
больших значений |
аргумента, |
а IIрр (iyr) пропор |
|
циональна е^т. |
Очевидно, |
что только |
функция II()1(iyr) |
|
с экспоненциальным спаданием является с физической точки зрения подходящей для описания направляемых мод вне сердцевины волокна. Функция //(?’ (iyr) должна быть отброшена, поскольку она экспоненциально растет с ростом г и поэтому не может правильно описывать рас пределение поля волны, которое концентрируется у сердце вины волокна.
Все четыре рассмотренные функции н любая их линей ная комбинация известны как цилиндрические функций. Если специально не выделять какую-либо из них, то реше ние (8.2.23) можно записать как Z (хг). Обозначения, используемые здесь для функций Неймана, такие же, как у Яике и Эмде [11] и Градштейиа и Рыжика 101]. Другие авторы иногда используют для функции Неймана символ Y v. Функцию Ханкеля с мнимым аргументом часто обозначают новым символом. Она пропорциональна так называемой модифицированной функции Ханкеля K v. Различные обозначения цилиндрических функций могут внести путаницу, поэтому более разумно использовать одинаковые символы для одинаковых функций, ясно указывая нх аргументы, вместо того чтобы менять симво лы, используемые для самих функций. Каждая из четы рех функций может быть выражена как линейная комби нация двух других функций. Свойства этих функций изложены в ряде книг, например [8, 11, 61].
Для описания поведения поля во внутренних и внеш них областях волокна требуются различные функции. Существование физической направляемой волны накла дывает на эти функции, являющиеся решениями (8.2.23), ограничения, которые состоят в том, что внутри сердцеви ны при г = 0 они должны оставаться конечными, а вне сердцевины при г оо описывать спадающее поле.
Имея теперь набор всех необходимых величин, можно записать формулы для электромагнитного поля оптического
378 Глава 8
Штрих опять означает дифференцирование относительно аргумента, которым в этом случае является iyr. Величины
у, р и /г2 связаны соотношением |
|
Vs = Р2- ^ , |
(8.2.39а) |
где |
(8.2.396) |
A-, =(o2e2(.io- |
Постоянные А, В, С п D не определяются уравнениями Максвелла. Выражения для компонент поля, разумеется, являются решениями уравнений Максвелла, но, чтобы они правильно описывали моды оптического волокна [80], они должны еще удовлетворять граничным условиям (1.5.3) и (1.5.4). Так как существуют две тангенциальные компоненты для электрического поля п две для магнитного поля, применение граничных условий дает четыре урав нения. Поскольку в выражениях для компонент поля четыре неопределенные константы, то число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако наряду с ампли тудными коэффициентами существует постоянная распро странения р, которую также необходимо определить. Ее нахождение не представляет трудности. Граничные условия приводят к четырем однородным уравнениям. Однородные уравнения имеют решения только в том случае, если определитель системы уравнений равен нулю. Это дополнительное условие является достаточным для определения постоянной распространения р. Условие равенства определителя пулю называется уравнением собственных значений, так как из него определяются собственные значения р оператора волнового уравнения1). Из уравнения собственных значений определяются соб ственные значения постоянных распространения направ ляемых мод, пли, что то же самое, волновых чисел этих мод.
Граничные условия позволяют приравнять выражения для компонент поля Ez, Е ф, Н г и Н ф на границе при
J) Правильное сказать: «собственные значения оператора, включающего дифференциальный оператор волнового уравнения и граппчпые условия». Термин «собственное значение» заимствован из математики, точнее, из се раздела, называемого функциональ ным анализом, где решается задача о нахождении собственных значений, а также собственных функций линейных операторов. Здесь рассматривается частный случай такой задачи.— Прим, ред.