книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

Используем расстояние порядка одной длины волны (х = = Х/п0) для тонки, в которой сравниваются п2 и 7i“. Для упрощения положим у = 0. Таким образом, имеем

Сравиение с выражением (7.3.24) приводит к

Этот оценочный расчет показывает, что Q2 является величиной того же порядка, что и R. Так как R должно быть много меньше единицы (чтобы можно было применять волиовое уравнение), требуется, чтобы Q 1. Согласие между (7.3.22) и (7.3.23) является, сле­ довательно, хорошим для мод низшего порядка, т. е. пока применим скалярный волновой подход. Однако любопытен тот факт, что модовое решение Эрмйта — Гаусса (7.3.20) с фазовой постоянной (7.3.22) является точным решением скалярного волнового уравнения. При­ ближенный же характер рассматриваемой теории связан с вопросом применимости скалярного волнового уравнения.

7.4. ВНЕОСЕВЫЕ ПУЧКИ В КВАДРАТИЧНОЙ СРЕДЕ

В разд. 3.6 в общем виде было показано, что центр интенсивности светового поля движется в соответствии с законами лучевой (геометрической) оптики в квадратич­ ной среде. Доказательство было проведено в параксиаль­ ном приближении. В настоящем разделе прямым вычисле­ нием покажем, что гауссов пучок может распространяться в квадратичной среде и вне оси. Максимум распределе­ ния поля движется подобно световому лучу. Ширина распределения поля меняется периодически с периодом, равным половине длины периода колебаний луча.

Предположим, что при z = 0 в квадратичной среде имеет место следующее распределение поля:

Зависимый от у множитель соответствует моде низшего порядка. Множитель, зависимый от х, показывает, что распределение поля сдвинуто на величину £ вдоль оси

354 Глава 7

мнровать ряды в (7.4.5), необходимо использовать прибли­ жение (7.3.23) для постоянной распространения. Это приближение эквивалентно параксиальному приближению лучевой оптики, поскольку решение (7.4.9) описывает такое распределение поля, при котором центр интенсив­ ности движется подобно параксиальному лучу.

Было показано, что, согласно параксиальному прибли­ жению, гауссов пучок движется через квадратичную среду без искажения поля. Пучок имеет траекторию, колеблющуюся относительно оптической оси, но сам остается хорошо коллимированным. Его ширина может изменяться периодически, если она не совпадает с шириной мод структуры, однако никакого разрушения поля пучка не происходит. Маркатили [65] показал, что подобная стабильность гауссовых пучков имеет место только в среде с показателем преломления, определяемым формулой (7.3.3). Любые члены высшего порядка в разложении показателя преломления по степеням х и у вызывают распадение пучка, подобное описанному в разд. 5.8. Распадение пучка па несколько отчетливых максимумов может произойти лишь в волноводе значительной длины. И это обстоятельство не зависит от степени аберрации среды. Такое распадение пучка должно происходить в диэлектрической среде, диэлектрическая проницаемость которой не соответствует строго параболическому закону. Сходство между непрерывной диэлектрической средой и линзовыми волноводами не ограничивается только квадратичной средой. Тот факт, что гауссовы пучки не сохраняют свою форму в среде, отличающейся от квадра­ тичной, означает на практике, что их невозможно переда­ вать без искажений на сколь угодно большие расстояния. Ни одна среда не может быть абсолютно квадратичной. Наше обсуждение распространения световых пучков в идеальных линзовых волноводах и в идеальной квадра­ тичной среде является, следовательно, лишь идеализацией, которая, конечно, не встречается в реальных волноводах. Однако знание идеального случая весьма полезно. Хорошо передающая среда является в некотором смысле доста­ точным приближением к идеальной, так что можно ожидать, что поведение гауссовых пучков будет следовать нашим предсказаниям по крайней мере на некотором конечном

356 Глава 7

если действительная часть показателя преломления имеет наименьшее значение на оси и увеличивается при удале­ нии от оси, можно получить стабильную направляемую моду. Для этого необходимо, чтобы потери в среде имели наименьшее значение вблизи оптической оси и увеличива­ лись по мере удаления к периферии. В случае среды с усилением стабильные моды получаются, когда макси­ мум усиления имеет место на оси. Зависимость действи­ тельной части показателя преломления от радиуса при этом является в некоторой степени произвольной. Таким образом, нет особой необходимости обеспечивать умень­ шение действительной части показателя преломления с увеличением расстояния от оптической оси. Оказывается, что для существования стабильных мод мнимая часть показателя преломления важнее, чем ее действительная часть [74].

Выше мы неоднократно упоминали о существовании устойчивых направляемых мод, но не пояснили, что понимается под этим термином. Назовем моду устойчи­ вой, или стабильной, если она продолжает распростра­ няться вдоль оси структуры даже в том случае, если ее

слегка сместить с оптической оси. Нестабильная же мода может существовать лишь как математическое решение задачи, но она не распространяется даже при незначи­ тельном смещении от оптической оси. Нестабильные моды имеют место, когда потери в среде уменьшаются с увели­ чением расстояния от оптической оси или в случае, когда среда является активной, но ее усиление на оси наимень­ шее. Действительная часть показателя преломления, таким образом, не имеет большого значения в вопросе устойчивости моды. Важно отметить в этой связи, что вопрос стабильности моды до некоторой степени является академическим. Представим себе, например, диэлектри­ ческую среду, действительная часть показателя преломле­ ния которой ведет себя достаточно хорошо, чтобы обеспе­ чить направленность моды. Действительная часть пока­ зателя преломления такой среды и потери в ней умень­ шаются с увеличением расстояния от оси. По нашему критерию о модовой стабильности такая мода не является

поперек среды изменяется очень медленно. В принципе моды такой структуры должны быть нестабильными, но если они распространяются на достаточно большое рас­ стояние вдоль волновода и при этом разрушение их струк­ туры оказывается незначительным, то эту нестабильность нельзя наблюдать. Вопрос о стабильности мод является, таким образом, скорее принципиальным, чем имеющим практическое значение. Однако в среде с усилением нестабильность моды приводит к более серьезным послед­ ствиям. Поскольку поле растет, то нестабильность моды становится заметной, если мода распространяется на большое расстояние вдоль структуры.

Мода в среде с неправильной действительной частью показателя преломления (термин «неправильная» здесь означает, что показатель преломления увеличивается при удалепии от оси) ведет себя совершенно отлично от моды, которая образуется при нормальном распределении пока­ зателя преломления. Направленность моды в нормальной среде типа описапиой в предыдущем разделе осущест­ вляется за счет полного внутреннего отражения. В терми­ нах лучевой оптики это означает отклонение лучей по направлению к оси структуры. Никакого излучения энергии от оси здесь не происходит. В неправильной среде направленность моды возможна из-за мнимой части показателя преломления. Эта направленность совсем иного типа. Представим себе среду, которая обеспечивает некоторое усиление вблизи оси. Пусть усиление умень­ шается с увеличением расстояния от оси, а потери, наобо­ рот, возрастают при удалении от оси структуры. Структура такого типа обладает модами в математическом смысле. Задача о модах имеет устойчивые математические решения. Однако поле такой моды не остается вблизи оси направ­ ляющей среды и имеет место излучение энергии в радиаль­ ном направлении от оси. Возможность существования устойчивой моды обусловлена не полным внутренним отражением энергии поля обратно к оси волновода, а скорее возникновением энергии поля в активной среде, достаточной для поддержания модового распределения, которое имеет более высокую плотность энергии поля на оси. При удалении от оси плотность энергии поля умень­ шается. Данное рассуждение справедливо, пока среда

358 Глава 7

в целом является более поглощающей, чем усиливающей. Если потери достаточно быстро увеличиваются при удале­ нии от оси, то существуют устойчивые решения для мод. Форма поля в этом случае сохраняется потому, что энергия рассеивается при удалении от оси больше, чем непосред­ ственно на оси, в результате чего максимум поля находится на оси. Некоторое отражение энергии по направлению к оси при этом имеет место даже в среде с постоянной действительной частью показателя преломления. Измене­ ние мнимой части показателя также приводит к отраже­ нию энергии в диэлектрике.

После этих вводных замечаний вернемся к задаче о модах в диэлектрической среде с комплексным пока­ зателем преломления. К счастью, нет необходимости вновь решать волновое уравнение. Решение, полученное в разд. 7.3, справедливо для любых возможных значений тг0 н 7ii- Оно справедливо и тогда, когда эти постоянные принимают комплексные значения. Необходимо только выяснить пригодность комплексных параметров для на­

плексными. Полиномы Эрмита (7.3.16) и (7.3.17) являются аналитическими функциями, которые остаются полино­ мами (5.6.14) даже при комплексных значениях своего аргумента.

Допустим, что п0 имеет комплексное значение

(7.5.1)

Положительные значения noi указывают, что среда обла­ дает потерями, тогда как отрицательные значения п01означают, что среда имеет усиление. Для всех реаль­ ных физических сред можно считать, что

поэтому можно приближенно записать

Диалогичным образом введем комплексную величину