книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

движется в них по законам оптических лучей (см. разд. 3.6). Геометрооптический метод исследования таких структур физически оправдан. Он дает основные представления о свойствах распространения световых пучков.

Модель среды с квадратичным законом вида (7.1.1) имеет один серьезный недостаток. Для достаточно боль­ ших х ж у показатель преломления становится меньше единицы и даже достигает отрицательных значений. Хотя существуют среды, показатель преломления которых может быть меньше единицы, например ионизированные газы, все же для большинства физических сред показатель преломления оказывается больше единицы. Поэтому необ­ ходимо учитывать, что распределение показателя пре­ ломления (7.1.1) может достигать нефизической области.

(7.1.1) как хорошее первое приближение. При этом сле­ дует ограничиваться рассмотрением параксиальных лучей. Параксиальные лучн распространяются по траекториям, которые всегда почти параллельны оптической оси. Эти лучи с меньшей вероятностью могут удаляться от опти­ ческой оси, чем лучи с большим углом наклона к оси.

Среда с квадратичным законом изменения показателя преломления (7.1.1) может рассматриваться как первое приближение для среды с симметричным законом распре­ деления показателя преломления. Если разложить произ­ вольное распределение показателя преломления в ряд Тейлора, то можно получить члены порядка выше второго. Но во многих практических случаях ряды Тейлора схо­ дятся быстро, так что первых двух членов достаточно для первого приближения. Можно еще считать, что коэффи­ циенты при х2 и г/2 разные. Однако поскольку такое обобщение не дает больших преимуществ, то можно огра­ ничиться распределением показателя преломления вида (7.1.1) . Как было показано, среда с законом изменения показателя преломления 1/cli х является идеальной фоку­ сирующей структурой даже для непараксиальных лучей

[75, 118, 119]. Однако здесь мы ограничимся рассмотре­ нием только квадратичной среды и лучей в ней в пара­ ксиальном приближении.

7.2. ЛУЧЕВАЯ ОПТИКА КВАДРАТИЧНОЙ СРЕДЫ

Выведем траекторию луча в квадратичной среде, беря в качестве исходной траекторию луча в линзовом волно­ воде с бесконечно близко расположенными линзами. В уравнении (5.2.4) устремим L к нулю и запишем

Разностное уравнение (5.2.4) можно, таким образом, запи­ сать в виде

Этот предельный переход переводит разностное уравнение для траектории луча линзового волновода в параксиаль­ ное дифференциальное уравнение

для квадратичной среды. Дифференциальное уравнение (7.2.5), по-видимому, идентично параксиальному диффе­ ренциальному уравнению (3.5.36), в котором выражение (7.1.1) включено в правую часть. Таким образом, можно сделать вывод, что линзовый волновод становится квадра­ тичной средой в случае бесконечно близко расположенных линз. Решение для траектории луча линзового волновода может быть преобразовано подобным же образом к реше­ нию для случая квадратичной среды. Из формулы (5.2.6) получим cos 0 = 1 в пределе при L -у 0 и / -> оо, и,

Используя выражение (5.4.15) для линзового волно­ вода с искривленной осыо, получим для квадратичной среды с искривленной осью

Функция S (z) описывает отклонение оси квадратичной среды от прямой линии.

Эквивалентность двух решений (7.2.9) и (7.2.10) для траектории луча в квадратичной среде с изогнутой осью может быть легко продемонстрирована. Радиус кривизны изгиба оси квадратичной среды связан с линейным откло­ нением осп от идеальной прямой S (z) следующим при­ ближенным соотношением:

1 _ <г25

~Л (г) — _ ; dz2 •

Это приближение справедливо, если первая производная dS/dz много меньше единицы. Отрицательный знак в (7.2.11) соответствует положительному радиусу кри­ визны на фиг. 5.4.2. Подстановка (7.2.11) в (7.2.9) при­ водит после интегрирования по частям к результату

+ s < ° ) c o s / ^ + / l 4 4 f ) „ „ 5in / - £ г+

Отсюда видно, что выражение (7.2.12) идентично (7.2.10), что показывает эквивалентность этих двух решений.

Среднеквадратичное отклонение луча а, вызванное случайными отклонениями оси квадратичной среды, по­

лучим из формулы (5.5.36). Это выражение является аппроксимацией более общего выражения (5.5.35). Однако в большинстве практических случаев это приближение хорошо оправдывается и удобно для использования. В пределе для очень малых промежутков между линзами выражение (5.5.36) принимает вид

оо__

a' M = T l t Z J Дс(и)С0 8 ] / T ^ udu- (7 -2Л4)

— ОО

Функция корреляции смещения оптической оси S (г) определяется как среднее по ансамблю произведение

*S (2) и S (z — и)

Выражение (7.2.14) показывает, что варпанс отклонения пучка пропорционален расстоянию вдоль волновода, на котором пучок еще наблюдается. Кроме того, оп пропор­ ционален преобразованию Фурье корреляционной функ­ ции. Преобразование Фурье корреляционной функции содержит только члены с косинусами, так как Rc (и) — четная функция.

Поведение квадратичной среды во всех отношениях очень похоже на поведение липзового волновода. Поэтому нет необходимости в детальном рассмотрении траектории луча в квадратичной среде. Все результаты для квадра­ тичной среды могут быть получены из соответствующих результатов для линзового волновода.

7.3. МОДЫ КВАДРАТИЧНОЙ СРЕДЫ

Рассмотрим волноводные свойства квадратичной среды с точки зрения волновой оптики. Строго говоря, нужно найти решение уравнений Максвелла в среде с показателем преломления (7.1.1). Однако, как видно из разд. 1.3, скалярному волновому уравнению (1.3.6) должна удовле­ творять каждая составляющая электромагнитного поля. Для оптической среды с переменным показателем преломления волновое уравнение не является точным эквивален­ том уравнений Максвелла. Приближение, которое имеет место при использовании волнового уравнения вместо

уравнений Максвелла, является приемлемым, если пока­ затель преломления (или диэлектрическая проницаемость) меняется незначительно на расстоянии порядка длины оптической волны. Это требование означает, что величина R (1.3.28) должна быть много меньше единицы. Такое требование с физической точки зрения также естественно, как и параксиальное приближение, которое было исполь­ зовано при решении задачи о распространении луча в квадратичной среде. Если нас удовлетворяют решения, которые вытекают из параксиального приближения, то для определения свойств распространения волны в квад­ ратичной среде вместо уравнений Максвелла можно использовать волновое уравнение. Таким образом, нужно рассмотреть распространение скалярных волн в квадра­ тичной среде [68, 69]. Скалярная волновая задача является хорошим приближением к задаче об электромагнитном поле, пока не рассматриваются поляризационные эффекты. Известно, что каждая составляющая электромагнитного поля должна быть приближенным решением скалярного

к появлению направленных звуковых волн. В первом приближении можно допустить, что на некоторой глубине океан подобен квадратичной среде.

Предположив, что волны имеют гармонический во вре­ мени характер, можно использовать приведенное волновое

с постоянной распространения в свободном пространстве

и относительной диэлектрической проницаемостью (ква­ драт показателя преломления)

Если считать исходным показатель преломления (7.1.1), то (7.3.3) является приближенным соотношением. С дру­ гой стороны, можно также считать выражение (7-3.3)

точным и рассматривать (7.1.1) как некоторое приближение. Такой подход имеет то преимущество, что п2, а ие п являет­ ся в данном случае основной величиной. Попытаемся решить приведенное волновое уравнение с помощью пробной функции

Здесь не известны не только функции / и g, но также постоянная распространения (3. Решение вида (7.3.4) есть мода квадратичной среды. Подставляя выражения

(7.3.3) и (7.3.4) в (7.3.1), получаем

( у - - S r + < К - Ра - Ц щ Щх 2 ) !

Это уравнение должно быть справедливым для всех значений х и у, что возможно лишь тогда, когда зависимая от х и зависимая от у части порознь равны константе. Сумма этих двух постоянных должна равняться нулю. Таким образом, получаем два уравнения

Чтобы преобразовать эти два уравнения к хорошо изве­ стной стандартной форме, введем следующие новые пере­ менные и параметры:

Дифференциальные уравнения запишем теперь в виде

Дифференциальные уравнения (7.3.12) и (7.3.13) хорошо исследованы в теории гармонического осциллятора в квантовой механике [22]. Они определяют энергетическую собственную функцию и собственные значения, которые допустимы для гармонического осциллятора. В нашей теории, так же как и в теории гармонического осциллятора в квантовой механике, необходимо потребовать выполне­ ния граничных условий. Моды в квадратичной среде долж­ ны распространяться вблизи оси структуры. Это значит, что нужно потребовать, чтобы функции стремились к нулю при х оо и у оо. Такие же требования накладываются иа волновую функцию гармонического осциллятора. Они играют роль граничных условий. В работах по квантовой механике показано, что ограниченные решения такого типа могут существовать только при следующих условиях:

Эти условия вместе с (7.3.10) и (7.3.11) определяют воз­ можные значения постоянной распространения [5. Они, следовательно, являются собственными значениями урав­ нений мод квадратичной среды. Мы еще вернемся к этому важному понятию. Решения дифференциальных уравне­ ний (7.3.12) и (7.3.13) представляют собой хорошо изве­ стные функции Эрмита — Гаусса, которые уже встре­ чались нам неоднократно. Чтобы показать это, положим