книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

моды должны существовать даже тогда, когда это трудно доказать математически.

Вернемся к обсуждению итерационного процесса. Повторение итерации до тех пор, пока изменение формы поля перестанет наблюдаться, позволяет найти не только форму решения низшего порядка, но и соответствующее ему собственное значение. Для того чтобы получить величину у, необходимо проследить уменьшение ампли­ туды поля и изменение его фазы после нескольких итера­ ций. Итерационное решение задачи о собственных значе­ ниях (5.6.5) было получено Фоксом и Ли [48]. Некоторые их результаты для конфокальных линзовых волноводов или лазерных резонаторов с круглыми отверстиями при­ ведены на фпг. 5.6.5. Моды высшего порядка были получе­ ны тем же методом с использованием первоначального распределения поля, не содержащего моды низшего поряд­ ка. Для больших значений с (5.6.30) итерационный процесс сходится медленно. Требуется большое количество итера­ ций, и численный анализ становится очень трудоемким. Другие аппроксимирующие методы получения собствен­ ных значений и собственных функций состоят в преобра­ зовании интегрального уравнения (5.6.5) к системе алгеб­ раических уравнений, которая затем решается стандарт­ ными матричными методами [116].

Читателя может удивить, почему при обсуждении колебаний резонатора до сих пор ие было никакого упо­ минания об условии резонанса. Решение уравнения соб­ ственных значений методом последовательных приближе­ ний не включает условия резонанса. Однако истинная ситуация в физическом резонаторе незначительно отли­ чается от математических допущений, которые ведут к задаче (5.6.5). Поле имеется не только па зеркалах резонатора, но и в пространстве между ними. Действи­ тельно нужно рассмотреть поле между зеркалами, которое распространяется до тех пор, пока не отразится от второго зеркала и затем интерферирует само с собой. При такой интерференции накапливается энергия в резонаторе. Эта более полная картина процесса работы резонатора приводит к условию резонанса. Здесь необходимо потре­ бовать, чтобы после полного цикла полю сообщалось следующее приращение в фазе по отношению к

Фазовтлй сдвиг Аф добавляется при прохождении волны от одного зеркала до другого. Удвоенный фазовый сдвиг, или фазовый сдвиг за один полный цикл, должен быть равен целому числу, умноженному на 2я.

Накопление энергии поля в реальном лазерном резо­ наторе может быть пояснено тем же методом, который был описан выше — методом последовательных прибли­ жений. Атомы усиливающей среды лазера испускают энергию спонтанно. Небольшое количество излученной энергии движется, например, направо, достигает одного из зеркал и отражается назад в область усиления. Далее это излучение пересекает область усиления между зерка­ лами и достигает противоположного зеркала несколько усиленным. Волна, которая проходит весь цикл с наиболь­ шим усилением, растет быстрее, чем другие типы волн (моды) в резонаторе. Максимальная энергия усиливаю­ щейся моды ограничивается процессом насыщения. Уси­ ливающая среда обеспечивает линейное усиление только для относительно слабых электромагнитных полей. По мере роста поля достигается режим насыщения усиливаю­ щей среды и усиление уменьшается. Поле внутри резо­ натора может существовать в течение произвольного отрезка времени только тогда, когда оно за период коле­ бания увеличивает свою энергию иа большую величину, чем теряет из-за потерь. Только определенные типы волн получают достаточное усиление, чтобы их потери после достижения насыщения усиливающей среды компенсиро­ вались. Большая часть мод имеет большие потери, чем усиление, даваемое насыщенной усиливающей средой. Эти моды затухают, практически не возбудившись. Таким образом, относительно небольшое число мод поддержи­ вается любым лазером. Введением апертур на пути лазер­ ного луча внутри резонатора можно увеличить потери для мод высшего порядка настолько, чтобы возбудилась только мода низшего порядка. Каждое решение уравнения собственных значений (5.6.5) для моды низшего порядка справедливо для нескольких частот, каждая из которых удовлетворяет условию резонанса (6.6.7). Поэтому обычно

форма поля часто называется поперечной модой), но несколько отличающихся резонансных частотах. Число продольных мод, которые могут одновременно возбуж­ даться, зависит от ширины полосы частот кривой усиле­ ния. Частотное разделение продольных мод резонатора определяется расстоянием между зеркалами резонатора.

Ф и г. 6.6.3. Гауссов пучок.

Сплошные линии показывают ширину пучка, пунктирные — поверхности постоянной фазы волны.

Разнесение зеркал приводит к сближению резонансных частот резонатора. Если желательно работать на одном типе колебаний, то необходимо сконструировать такой короткий лазер, чтобы только один тип колебаний соот­ ветствовал кривой усиления лазерной среды. Однако такой метод уменьшает усиление лазера. Если желательно иметь на выходе большую мощность и требуется работа на одной частоте, то должны быть использованы другие методы селекции мод [71].

Большинство лазеров работает с достаточно большими апертурами зеркал, так что структура их мод хорошо описывается аппроксимацией Эрмита — Гаусса, обсуж­ давшейся в предыдущем разделе.

Мы показали в разд. 6.5, что пучки Эрмита — Гаусса имеют область наибольшего сужения и расширяются от этой области в обоих направлениях. Фазовый фронт волны пучка плоский в области сужения и приблизительно сферический во всех других частях вдоль пучка. Типич­ ный гауссов пучок показан на фиг. 6.6.3. Сплошные линии отмечают ширину луча, а пунктирные линии,

в различных точках вдоль пучка. Пучок Эрмпта — Гаусса является приближенным решенном волнового уравнения. Таким образом, можно получить приемлемое решение задачи о колебаниях резонатора с большими зеркалами, помещая зеркала в любом месте па пути пучка. Необхо­ димо только, чтобы поверхность зеркал повторяла форму фазовых фронтов. В этом случае поле при отражении назад перейдет само в себя и сформируется соответствующая

Ф и г. 6.6.4. Лазерный резонатор с зеркалами различной кри­ визны.

мода резонатора. Данное рассмотрение показывает, что большое количество резонаторов пригодно для формиро­ вания пучка Эрмита — Гаусса. Размещая зеркала соответствующей кривизны в произвольном месте на пути луча, получим приемлемый для данной моды лазерный резонатор. Нет необходимости в том, чтобы оба зеркала имели одинаковую кривизну, если их кривизна соот­ ветствует кривизне фазового фронта пучка Эрмита — Гаусса в месте их установки. В действительности, конечно, именно зеркала формируют колебания пучка Эрмита — Гаусса. Но для того, чтобы проследить процесс формирова­ ния, удобио поменять местами причину и следствие и считать, что пучок существует между зеркалами, пред­ назначенными отражать его самого в себя.

Типичный лазерный резонатор показан на фиг. 6.6.4. Зеркала, конечно, могут быть выбраны одинаковой

должно быть получено путем численного решения задачи о собственных значениях (5.6.5) (см. [48]).

Проблема стабильности колебаний лазерного резона­ тора обсуждалась в разд. 5.2. На фиг. 5.2.4 заштрихована область стабильности для колебаний лазерного резонатора. За пределами этой области потери моды становятся очень большими. Однако в особых случаях может быть исполь­ зован п режим работы резонаторов в нестабильной обла­ сти [117].