книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

320 Глава в

Поскольку существует взаимосвязь между линзовым волноводом и лазерным резонатором, полученное решение задачи о модах произвольного линзового волновода при­ менимо также к модам лазерных резонаторов с зеркалами произвольной кривизны. И конечно, это позволяет решить задачу о модах в линзовом волноводе с чередующимися линзами, имеющими разные фокусные расстояния (см. разд. 5.2). Однако мы не будем рассматривать здесь этот вопрос. Связь между модами лазерных резонаторов и линзовых волноводов будет рассматриваться более под­ робно в разд. 6.6.

Задача о модах может быть также решена другим спо­ собом. Используя фиг. 6.4.1, можно определить матрицу преобразования лучей пли параметров пучка для одного элемента периодической системы. За начало отсчета возь­

слева от следующей линзы. Матрица для элементов волновода получается перемножением (6.4.10) и (6.4.11):

Условие образования моды находится из требования, чтобы преобразованный комплексный параметр иа второй линзе соответствовал этому же параметру иа первой линзе. Условие образования моды может быть, следова­ тельно, выражено формулой

Решение этой задачи приводит к тем же результатам, которые были получены выше. Сам расчет предлагается в качестве упражнения для читателя.

Закончим этот раздел доказательством того, что опре­ делитель матрицы ABCD всегда равен 1. Доказательство основано иа теореме Лиувилля.

Поскольку матрица АВСД гауссова пучка определяет также характер поведения световых лучей, можно исполь­ зовать наши знания лучевой оптики для изучения свойств матрицы.

В большинстве реальных ситуаций экспериментатор имеет в своем распоряжении гауссов пучок, который образуется на выходе лазера. Мода линзового волновода или резонатора, которую мы желаем возбудить с помощью лазерного луча, к сожалению, чаще всего не совпадает с пучком, генерируемым лазером. Лазер и линзовый волновод (или другое устройство), таким образом, ока­ зываются несогласованными. Однако всегда имеется воз­ можность преобразовать с помощью линзы гауссов пучок

Линза, согласующая моды

Ф и г. 6.5.1. Согласование гауссовых пучков с помощью линзы.

любого лазера. Мы видели, что гауссов пучок произволь­ ной моды характеризуется двумя параметрами. Для данного рассмотрения выберем минимальную ширину пучка и расстояние от наиболее узкой части до выбранной точки отсчета. Эти два параметра однозначно характери­ зуют пучок. Соответствующая схема изображена на фиг. 6.5.1. Поскольку точка, от которой отсчитывается расстояние до наиболее узкого места пучка, выбрана, то можно выбрать и положение линзы, согласующей

в распоряжении определенную линзу с фокусным расстоя­ нием /. Проблема согласования мод заключается в опре­ делении расстояний dt и d2, где dt — расстояние от линзы до наиболее узкого места падающего пучка, a d2 — рас­ стояние от линзы до наиболее узкого места требуемого пучка.

т. е. фокусное расстояние не должно быть слишком малым. Согласование мод особенно важно при работе со сканирующим интерферометром Фабри — Перо [70], кото­ рый очень схож с лазерным резонатором. Он часто исполь­ зуется для контроля частоты многомодового лазера. Для этой цели резонатор интерферометра периодически меняет свою длину во времени. При точном согласовании свет может пройти через интерферометр только на своих резонансных частотах. По показаниям на выходе детектора,

Ф п г. 6.5.2. Согласованно лазерного пучка с интерферометром Фабри — Перо посредством лппзы.

который устанавливается за сканирующим интерферо­ метром Фабри — Перо, с помощью осциллографа, который синхронизирован со сканирующим резонатором, можно на экране катодно-лучевой трубки получить спектр излу­ чения на выходе лазера. Разрешение такого устройства

чрезвычайно высоко.

Интересным с точки зрения нашего рассмотрения является факт многомодовости резонатора интерферометра. При отсутствии полного согласования входящий лазерный пучок возбуждает большое число мод в резонаторе. Каждая мода имеет свою резонансную частоту, поэтому каждая частотная компонента на выходе лазера предста­ вится в виде соответствующего сигнала на экране осцил­ лографа. При работе в режиме многомодовости возможно использование сканирующего интерферометра Фабри — Перо в качестве анализатора спектра. Очевидно, что необходимо тщательное согласование мод лазера с модами резонатора интерферометра с тем, чтобы избежать многочастотности выходных сигналов. Согласование мод осуществляется установкой соответствующей линзы,

ведливо для пучка в резонаторе Фабри — Перо. Расстоя­ ния di и d2 должны быть, следовательно, замерены от центра лазерного резонатора и центра резонатора Фабри— Перо. Ширина пучка в сужениях определяется радиусами кривизны и расстоянием между зеркалами резонатора лазера и резонатора интерферометра Фабри—Перо. Схема согласования показана на фиг. 6.5.2. Заметим, что, вооб­ ще говоря, необходимо учитывать искажение пучка, имеющее место при прохождении пучка через плоские по­ верхности за пределами резонаторных зеркал. На фигу­ ре это не отражено.

6.6. РЕЗОНАТОРЫ ЛАЗЕРА

Краткое обсуждение условий стабильности лазерных резонаторов в гл. 5.3 основывалось на результатах иссле­ дования передачи волноводов с неодинаковыми линзами.

При рассмотрении типов колебаний (мод) лазерных резонаторов в этом разделе также будет иснользована аналогия между лазерными резонаторами и линзовыми волноводами. Однако, перед тем как воспользоваться результатами, полученными при исследовании линзовых волноводов, рассмотрим несколько аспектов теории лазер­ ных резонаторов.

Е. А. Маркатили указал-1) на то, что лазерный резона­ тор может быть рассмотрен как часть эллиптического объемного резонатора2). Если рассмотреть колебания эллиптического резонатора, показанного на фиг. 6.6.1, то можно найти решения, для которых поле сосредоточено в заштрихованной области. В этой области содержится

') Частное сообщение.

2)Теория резонаторов с эллиптическими зеркалами изложена

вмонографии [1*].— Прим. ред.

и другие моды, которые заполняют остальную часть

между закрытыми резонаторами и открытыми резонато­ рами в лазерах.

Ф и г . 6.6.1. Эллиптический металлический резонатор, используе­ мый для объяснения мод в открытом резонаторе лазера.

В разд. 5.G было выведено интегральное уравнение для мод в линзовых волноводах. Чтобы показать взаимо­ связь между двумя структурами, рассмотрим задачу о собственных значениях мод в лазерных резонаторах. Оказывается, что задача о колебаниях лазера математи­ чески идентична задаче о модах линзового волновода.

Рассмотрим лазерный резонатор, представленный па фиг. 6.6.2. Пусть существует поле на поверхности первого зеркала. Это поле распространяется ко второму зеркалу. Распространение поля от опорной плоскости зеркала 1 к опорной плоскости зеркала 2 описывается дифракционным интегралом (5.6.2). Распространение поля от изогнутой поверхности первого зеркала до его опорной плоскости может быть приближенно описано просто фазовым сдвигом опорной плоской волны при ее движении от поверхности зеркала до плоскости отсчета. Этот фазовый сдвиг равен

В параксиальном приближении d может быть выражено через радиус первого зеркала а, радиус кривизны его

поверхности R и расстояние г от рассматриваемой точки до оси структуры:

Радиус кривизны зеркала связан с фокусным расстоянием изогнутого отражателя соотношением

Поле ф, на изогнутой поверхности зеркала 1 трансформи­ руется в поле яр! в опорной плоскости в соответствии с выраженнем

Аналогичное выражение связывает поле в опорной пло­ скости второго зеркала с полем на его изогнутой поверх­ ности. Преобразование (6.6.4) оказывается таким же,

Ф и г. 6.6.2. Лазерный резонатор и опорные плоскости, используе­ мые для распета мод.

как преобразование (5.6.1), описывающее прохождение поля через половину линзы волновода.

Для того чтобы имели место колебания резонатора, потребуем, чтобы поле на первом зеркале совпадало с по­ лем на втором зеркале с точностью до фазового сдвига. Это условие существования колебаний резонатора при­ водит снова к выражению (5.6.5), что доказывает мате­ матическую эквивалентность задачи о резонаторе задаче

328 Глава 6

о линзовом волноводе. Все моды резонатора автоматически совпадают с модами линзового волновода.

При формулировке задачи, связанной с модами в лазер­ ных резонаторах, использовано параксиальное приближе­ ние, которое было также применено для получения мод в линзовом волноводе. В этом приближении сферические зеркала не отличаются от параболических зеркал. Такая аппроксимация справедлива только, когда кривизна зер­

Решение уравнения (5.6.5) является решением и задачи о модах в линзовом волноводе и задачи о модах в лазерном резонаторе. Приближенное решение уравнения собст­ венных значений для больших зеркал или линз дано в (6.3.20). Для зеркал или линз конечных размеров было также рассмотрено несколько приближенных методов решения задачи (5.6.5) (см. [115] и [116]). Как показано в разд. 5.6, в случае конфокальных линз (L = 2/) суще­ ствует точное решение. Аналитическое решение для кон­ фокального случая с квадратными отверстиями представ­ ляется через сфероидальные волновые функции [47]. Решения для конфокального линзового волновода с круг­ лыми отверстиями могут быть выражены с помощью гиперсфероидальных функций [120].

Численное решение общей задачи о собственных зна­ чениях (5.6.5) может быть получено методом последова­

в правую часть соотношения (5.6.5), иопределяется (числен­ но) величина интеграла, т. е. получается новая функция уф. Конечно, величина у не известна. Однако поскольку

постоянный множитель не влияет на форму функции, то тот факт, что величина у не известна, не играет существен­ ной роли. Первое приближение функции ф используется, чтобы получить второе приближение новой оценкой интеграла. Этот процесс, если он повторяется несколько раз, обычно приводит к решению интегрального уравнения в первом порядке приближения. В математической поста­ новке вопрос о том, является ли итерационный процесс сходящимся к определенной функции или нет, не дол­ жен нас особенно волновать, поскольку в тех практиче­ ских случаях, когда пытались получить решение, это уда­ валось сделать. Кроме того, имеются физические причины, по которым процесс последовательного приближения должен быть сходящимся.

Процесс последовательного приближения может быть оправдай следующим образом. Пусть линзовый волновод возбуждается полем с некоторой структурой и передает его. С другой стороны, поле, которое возникает внутри лазерного резонатора, распространяется между его двумя зерка­ лами. В обоих случаях форма первичного распределения поля будет меняться либо при прохождении от линзы к линзе, либо при каждом прохождении от зеркала к зерка­ лу. Описание процесса распространения поля точно соответ­ ствует математическому процессу последовательного при­ ближения, поскольку при вычислении мы применяем дифракционный интеграл (5.6.5), чтобы получить распреде­ ление поля па каждой последующей линзе или последую­ щем зеркале резонатора. В системах с конечными аперту­ рами часть мощности теряется после каждого прохожде­ ния волны через волновод или от одного зеркала до другого. Однако если проследить этот процесс достаточно далеко, то можно обнаружить, что в конце концов уста­ навливается распределение поля с наименьшим порядком структуры. То, что лазерные генераторы могут работать также на модах высокого порядка, вызвано механизмом усиления колебаний. Мода, которая обладает наибольшим усилением, имеет преимущество по сравнению с другими модами. Часто имеющее место достаточное усиление позво­ ляет генерировать в резонаторе одновременно более чем одну моду. В отличие от этого в пассивных структурах с потерями мода низшего порядка, имеющая наиболее