книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

п характеризует ширину пучка во всем пространстве. Видно, что точка z — 0, в которой гауссов пучок имеет плоский фронт, является также точкой, в которой он имеет наименьшее значение w0. Минимум полуширины пучка w0 может быть любым. Однако расширение поля за предела­ ми наиболее узкой его области зависит от минимальной ши­ рины пучка.Можно определить половину угла расхождения

Эта формула для полуширины гауссова светового пучка очень сходна с соответствующим выражением (2.4.11) для расширения пучка, получаемого от равномерно освещен­ ной круглой апертуры. Однако гауссов пучок расширяется несколько медленнее, чем пучок, получаемый в случае равномерно освещенной апертуры.

Гауссов пучок в дайной точке пространства не опреде­ ляется полностью только шириной. Чтобы описать пучок полностью, необходимо знать второй параметр — радиус кривизны его волнового фронта. Мы получим его из выра­ жения кривизны фазового фронта (6.2.4). Радиус кривизны поля может быть определен с помощью фиг. 6.2.1.

Фаза волны постоянна на сферической поверхности. Фазовый сдвиг между криволинейной поверхностью и пло­ скостью, касающейся этой поверхности в точке г' = 0, определяется уравнением

Расстояние d показано па фиг. 6.2.1. Правая часть урав­ нения определяется из выражения (6.2.4). В соответствии с фиг. 6.2.1 для параксиальной области имеем соотноше­ ние

или с некоторым приближением

(6.2.12)

Используя формулу (6.2.10), получаем выражение для радиуса кривизны гауссова пучка

(6.2.13)

Ширина пучка и радиус кривизны фазового фронта полностью определяют гауссов пучок в данной точно на оси. Выражение (6.2.13) справедливо как для поло­ жительных, так и для отрицательных значений z. Измене­ ние знака R (z), которое имеет место при перемене знака

d

Ф и г. 6.2.1. Сравнение фронтов сферической и плоской воли. Фазовый сдвиг равен !;d.

z, означает изменение кривизны фазового фронта на обрат­ ное, так как при этом мы проходим область сужения пучка.

Несмотря па то что функции (6.2.7) и (6.2.13) непрерыв­ ны по z, нет оснований считать, что они точно описывают гауссов пучок в области z = 0, так как френелевское приближение дифракционного интеграла несправедливо для поля в ближней зоне, т. е. вблизи z = 0. Однако уди­ вительно то, что обе формулы справедливы и в точке ъ — 0. Ширина пучка становится равной w (0) = ш0, а радиус кривизны принимает значение R (0) = оо. Это означает, что эти формулы справедливы для всех значений z, несмот­ ря на ограничения, накладываемые на дифракционный интеграл, из которого они были получены. В следующем

С учетом этих обозначений волновое поле можно запи­ сать в следующем виде:

гр(лг, у, z) = A exp [ - f (/J+ - ^ - r a) ] c-«*. (6.2.IS)

Чтобы получить параметр q в несколько иной форме, которая будет более удобной при последующем рассмотре­ вших, разделим выражение (6.2.7) па (6.2.13):

Из (6.2.16) получим'

(6.2.20)

С учетом формул (6.2.13) и (6.2.19) будем иметь оконча­ тельно

Начало отсчета z = 0 находится в наиболее узкой части пучка. Таким образом, мы нашли весьма простое выра­ жение для параметра q.

6.3. ДВОЙСТВЕННАЯ ПРИРОДА ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ

Попытаемся вывести закон распространения гауссова пучка в свободном пространстве с помощью волнового уравнения. В качестве исходного возьмем уравнение вида (2.2.2):

т. е. нас интересуют решения, слабо отличающиеся от плоской волны. Быстрое изменение функции по z отра­ жено в (6.3.2) экспоненциальным множителем. При этом можно считать, что функция и в зависимости от z меняется медленно по сравнению с быстрым изменением экспонен­ циального множителя. Применяя оператор V2 к функции

306 Глава G

Из формулы (6.2.21) следует, что равонстпо (G.3.7) выпол­ няется. С помощью формул (6.2.7), (G.2.13), (6.2.16), (6.2.17) и (6.2.19) можно убедиться, что равенство (6.3.8) также удовлетворяется.

Таким образом, мы доказали, что поле (6.2.4), которое было получено с помощью приближения Френеля для дифракционного интеграла Кирхгофа — Гюйгенса, дей­ ствительно является приближенным решением приведен­ ного волнового уравнения. Приближение, необходимое для получения уравнения (G.3.4) из (G.3.1), оказывается вполне допустимым, поэтому следует ожидать, что гауссов пучок (6.2.15) является приемлемым приближением при всех значениях z.

Рассмотренное здесь гауссово распределение поля очень сходно с модой низшего порядка в линзовом волно­ воде, с которой мы встретились ранее в гл. 5. В гл. 5 также было выяснено, что моды более высокого порядка линзо­

бодном пространстве произведем подстановку пробного решения

и q являются функциями z н определяются в (6.2.7), (6.2.16)

При упрощении этого уравнения было использовано равенство (6.3.6). Штрихи и точки обозначают производ-

Потребовав, чтобы Ф (0) -- 0, получим с учетом выраже­ ния (6.2.7) решение дифференциального уравнения (6.3.18):

Суммируя результаты, получим следующее приближенное решение приведенного волнового уравнения (6.3.1):

+ (х, 9, г) = л Л Я > ( | / 2 Х ) / / т ( | / 2 - £ - ) х

- (’" + » -г 1) -TCls ( ) - I -Jx j }

(6.3.20)

Это решение приводит к важному результату, что параметр ширины пучка w (6.2.7) и кривизна фазового фронта R (6.2.13) одинаковы для всех мод пучка Эрмита — Гаусса. Фаза же волны зависит от модовых чисел п и т. Пре­ образование мод Эрмита — Гаусса в процессе их распро­ странения может быть проведено независимо от значения модового числа, поскольку все моды имеют одни и тот же параметр ширины пучка н одну и ту же кривизну фазового фронта. Исследование преобразования гауссо­ вых пучков может быть таким образом ограничено рас­ смотрением моды низшего порядка. Общее решение (6.3.20) будет представлять интерес при изучении полей лазерных резонаторов.

Моды пучка Эрмита — Гаусса образуют полную систе­ му ортогональных функций. Поэтому любое волновое поле можно представить как разложение в ряд по этим модам. Следует, однако, напомнить, что поле, записанное в виде (6.3.20) , есть лишь приближенное решение волнового уравнения. Степень приближения ухудшается с увели­ чением числа т + п, и решение перестает быть верным, если вклад члена с сомножителем т + п + 1 в экспопенте становится сравнимым со значением kz. Полное поле, пред­ ставленное в виде разложения в ряд по модам (6.3.20), является, следовательно, не строгим, а приближенным решением волнового уравнения. Если члены высокого

порядка дают заметный вклад в разложение, то, чтобы ряд в целом был решением волнового уравнения, необхо­ димо ввести дополнительные коэффициенты к членам ряда, причем эти члены в отдельности уже пе будут удовлетворять волновому уравнению.

6. 4. П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е Г А У С С О В Ы Х П У Ч К О В

Часто бывает желательно ввести гауссов пучок света в оптическую систему таким образом, чтобы в ней возбу­ дилась только одна мода. Примерами таких систем являют­ ся линзовые волноводы и оптические резонаторы. Такое согласование моды требует в общем случае преобразования гауссова пучка. Пусть, например, необходимо поле на выходе лазера преобразовать в гауссов пучок, который дает моду линзовой линии. В предыдущем разделе мы убедились, что параметры гауссова пучка (ширина пучка и кривизна фазового фронта) одинаковы для всех мод. Поэтому преобразование пучка, которое будет рассмот­ рено в данном разделе, справедливо одновременно для всех мод пучка Эрмита — Гаусса.

Начнем рассмотрение с преобразования гауссовых пучков от одной точки к другой вдоль оптической оси системы. Преобразование пучка по мере распространения его в свободном пространстве выражается формулами (6.2.7) и (6.2.13). Оба параметра пучка уже вошли в ком­ плексный параметр q [см. формулу (6.2.16) или (6.2.21)]. Для любого данного комплексного значения q полуширина пучка w и кривизпа фазового фронта R определены одно­ значно. Обозначая комплексный параметр па оптической оси пучка в точке Z] через щ, а в точке z2 — через q2. можно записать преобразование пучка в свободном про­

где fZj -■=z2 — zj.

Далее необходимо установить, как изменяется ком­ плексный параметр пучка при его прохождении через