книги из ГПНТБ / Аполлов, Б. А. Курс гидрологических прогнозов учебник

Рассматриваемая зависимость для уровней воды в общем виде запишется так:

АЯпром — изменение уровня воды за счет промежуточного притока; АЯр-—то же за счет распластывания паводка.

Аналогичные характеристики крутизны паводочной волны можно получать по уровням воды. На рис. 23 приведен график для прогноза уровня р. Камы у г. Березняки на три дня вперед Я*+3 по данным

по промежуточному притоку. В этих случаях следует определять его характеристики путем сопоставления графиков связи соответ­ ственных расходов (уровней) воды, относящихся к периоду паводка и к беспаводочному периоду. Величина разности ординат этих гра­

70

фиков (рис. 24) при данном значении расхода воды в верхнем створе принимается за характеристику промежуточного притока. Дальнейшая задача заключается в установлении зависимости этого притока от метеорологических факторов способами, изложенными в гл. V. Решив ее, можно установить зависимости для прогнозов расходов (уровней) воды вида

Рис. 24. Графики связи соответ­ ственных расходов воды при отсутствии паводков на прито­ ках (1), при наличии таких па­ водков (2) и ход разности ор­

динат этих графиков (3).

где т]і — коэффициент стока осадков х, обусловливающих промежу­ точный приток; т)2 — коэффициент стока талых вод /гт, если они тоже участвуют в формировании этого притока.

§ 6. АНАЛИЗ РАСПЛАСТЫВАНИЯ ПАВОДКА ПУТЕМ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ УСЛОВИЙ ЕГО ТРАНСФОРМАЦИИ

В § 2 этой главы была рассмотрена теория движения паводочной волны, являющаяся основой метода соответственных расходов (уровней) воды. Теория исходит из допущения об однозначности кривой расходов Q - f ( H ) . Это означает, что мы игнорируем рас­ пластывание паводка. Поэтому такое допущение приемлемо только для сравнительно коротких участков, где распластывание невелико. Недостаток такого подхода особенно заметен при численных экс­ периментах, когда система уравнений неразрывности (4.111) и дви­ жения (12.III) рассматривается для ряда модельных условий дви­ жения паводка. Будем брать участки реки с заранее известными гидравлическими характеристиками, задавать в верхнем створе участка очень короткие попуски различных размеров и рассчиты­ вать расходы воды в нижнем створе.

На рис. 25 видно, что почти мгновенный попуск уже на некото­ ром сравнительно коротком участке приобретает характер волны. Если принять линейную модель процесса движения паводочной волны, которая будет рассмотрена в гл. V (§ 3, 5), то эту волну можно рассчитать по выражению

t -=t

71

вающая, какая доля попуска проходит за принятый интервал вре­ мени A t нижний створ спустя некоторое время т после попуска; это время является временем добегания. График функции г (т) ча­ сто называют кривой добегания стока. Ее ординаты можно полу-

Q

Рис. 25. Попуски из верхнего бьефа водохрани­ лища (/) и гидрограф в нижнем створе (транс­ формированные попуски, 2).

чить как отношение объема воды Q, стекшей за время A t через ниж­ ний створ спустя время т, к общему объему попуска V = qAt

(4 6 .I l l )

Вся вода, поступившая на участок через верхний створ, если этот участок бесприточен, пройдет через нижний створ. Поэтому сумма ординат кривой добегания равна единице.

г

Рис. 26. Кривые добегания сто­ ка при разных расходах воды во время попуска (СйХЭгХЗз)■

Кривая добегания стока изменяется в зависимости от размера попуска, т. е. в зависимости от расхода воды во время попуска q (/). Рисунок 26 иллюстрирует эти изменения. Однако для обычных па­ водков на реках эти изменения не очень значительны.

Прогнозы расходов (уровней) воды на основе расчетов по выра­ жению (45.111) точнее, чем по методу соответственных уровней. Отметим, что время добегания, определяемое по соответственным уровням, приблизительно выражается абсциссой центра тяжести площади, ограниченной кривой г (т) и осью абсцисс (начало коор­ динат отвечает моменту времени t).

72

Для того чтобы оценить влияние различий формы паводочной волны на точность прогноза по методу соответственных уровней, со­

воды, наблюдавшегося в верхнем створе, достигнут нижнего створа; за расчетную единицу времени A t они составляют от этого расхода долю, равную г[.

По формуле (45.III)

Q h, / + - = г і 0 в , / - і 0' Г Г 2 < 3 ' - - о- 1 ~ Г • • • + Г Ч < 3 , _ . + 1 - Ь • • •

оценить те погрешности, которые возникают при применении при­ ближенной теории движения паводочной волны для прогноза рас­ ходов, а с другой — наметить некоторые пути уточнения метода со­ ответственных уровней.

Рассмотрим сначала некоторые характерные расходы воды на протяжении паводка. Для максимума, если продолжительность его стояния близка к (ті + m), A Q ~0 и QH, m-t=Q b, *. Для максимума, когда его продолжительность стояния совсем невелика, почти все AQ будут иметь отрицательный знак, и, следовательно, расход воды, вычисленный по формуле (47.III), будет завышен. Наоборот, для минимума в аналогичном случае прогнозируемый расход воды бу­

где AQd— средняя разность между соответственным и средним расходом воды за время от т = т 0 до т = (т 0 + ті + т ). Уравнение (50.1 II) может быть использовано для уточнения прогноза посредст­ вом учета распластывания паводка. Оно четко показывает, что при

73

прочих равных условиях распластывание паводка тем значитель­ нее, чем больше соответственные расходы воды отклоняются от расходов воды, вычисленных с помощью кривой добегания.

§ 7. ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ПАВОДКА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ЕГО РАСПЛАСТЫВАНИЕ

Уточнение расчета движения и трансформации паводочной волны может быть достигнуто при учете неоднозначности кривой расходов воды. В СССР и ряде других стран при решении этой за­ дачи получил распространение излагаемый ниже метод Кали­ нина—Милюкова.

Будем считать, что расход воды является функцией как уровня, так и уклона

ч

\ X

Рис. 27. Положение уровен­ ной поверхности при уста­ новившемся режиме потока

(7) и в фазе подъема па­ водка (2).

Допустим, что некоторое состояние установившегося режима речного потока (/ = г'уст) нарушилось. Но нарушение произошло так, что расход воды не изменился, т. е. dQ = 0. Продифференцируем (51.III) и приравняем результат нулю

dH

Здесь значение I соответствует, как это видно на рис. 27, такому положению уровня воды, при котором между уровнем Н, находя-

74

ицемся на этом расстоянии / от замыкающего створа, и расходом воды в последнем существует однозначная связь.

Принимаем Q = m ^ i (где т — модуль расхода воды, завися­ щий только от уровня воды). Продифференцировав это выражение по і и подставив результат в (53.III), получаем

Умножив числитель и знаменатель в последней формуле наУ£уст и принимая, согласно предыдущему, начальный уклон і равным ук­

При допущении призматичности русла и линейности изменения уровня воды по длине реки уровень Н, очевидно, однозначно связан с объемом воды WL на участке длиной L = 2l (рис. 27). Поскольку расходы воды однозначно связаны с уровнями воды, взятыми выше

получаем систему уравнений, достаточную для расчета трансфор­ мации паводка при прохождении его через рассматриваемый участок.

Расчеты эти могут вестись так же, как проводятся расчеты трансформации паводка при прохождении его через небольшие во­ дохранилища. Если реку разделить на ряд участков длиной /, назы­ ваемых в дальнейшем характерными, то расчет трансформации па­ водка сводится к расчету перемещения его через цепочки этих уча­ стков (аналогично расчету через каскад водохранилищ).

75

Кривую объемов нередко бывает удобно заменить отрезками нескольких прямых (рис. 28). Их уравнения имеют вид

где W отсчитывается от величины Wo, отвечающей QH= 0. Уравнение (58.III) в дифференциальной форме имеет вид

что соответствует уравнению (23.III), полученному из приближен­ ной теории движения паводочной волны (см. § 2). Подставляя (58.III) в уравнение неразрывности (57.III), получим

Соотношение (60.111) пред­ ставляет собой линейное диф­ ференциальное уравнение пер­ вого порядка. Его решение

(npi-iT=const) имеет вид:

W t= e - , h ^ Q ee t h d t + cy

(61ЛИ)

Постоянная интегрирования с,

в верхнем створе за период паводка. если оно проводится в преде­ лах от 0 до t, есть ничто иное как объем воды W 0 в начальный момент времени t = 0; е — основа­

ние натурального логарифма.

Расход воды в нижнем створе в момент времени t, как это сле­

мени и задается в табличной или в графической форме, то прихо­ дится обычно прибегать к численному решению. Если график Qn = = / {t) представить в ступенчатом виде (рис. 29), то в пределах каж­ дой ступеньки QB= const; для QB= const решение уравнения (62.III) относительно Qt приводит к формуле

76

Поскольку как продолжительность t расчетного интервала вре­ мени, так II параметр т принимаем постоянными, то (1—e~l T) = k , где /г = const. Тогда наше расчетное уравнение упростится п примет вид

Qr~~7Qo_H(Qb—Qo) fc- (бо.Ш)

Решение (65.Ill) весьма просто. Принимаем за исходный расход воды Qo-—расход в нижнем створе в начале первого расчетного ин­ тервала. Так как расход воды в верхнем створе Qn задай, то рассчи­ тываем по формуле (65.III) расход воды в нижнем створе Q(. Этот расход воды в свою очередь принимаем в качестве исходного (на­ чального) для следующего интервала времени п т. д. Проведя рас­ четы для одного участка, принимаем для второго участка Qt в ка­ честве входного QBи т. д. Когда характерных участков немного, то такие расчеты не особенно трудоемки. Однако при наличии боль­ шого количества участков расчетные операции становятся довольно громоздкими и поэтому целесообразно найти решение, охватываю­ щее сразу ряд участков.

Рассмотрим движение объема воды lP0 = Qo h t по реке, состоя­ щей из п характерных участков. Пусть на первый, самый верхний характерный участок этот объем поступил за столь короткий интер­

Q.= ^L .Q oe- " \

Так будет выглядеть расходование воды в конце первого уча­ стка. Для второго участка, поскольку Qi будет притоком воды во второй участок, будем иметь

Ql d t = Q 2 d t - \ - d W 2.

Заменяя ІР2 на т dQo, получим

77

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующее решение:

I

Q2= - ^ - e ~ l>x J‘ Q xenx dt.

U

A t

Подставляя значение Q і= ---- Q o ^ ,T, получим

X

Q2=4- 6~<іх j Qo—p ellze~‘lz dt.

U

Сократив выражение подынтегральной функции и приняв во випма-

Аналогично для расхода воды с третьего участка

а для п -го участка

Величина, стоящая после множителя Qо, представляет собой трансформационную функцию. Пользуясь ею, можно легко вычис­ лить ординаты кривой добегания стока (их сумма равна единице), на которые надо умножать расходы воды, поступившие на верхний участок, чтобы получить расходы воды в нижнем створе. Для об­ легчения расчетов используются таблицы ординат кривых для раз­ личных значений т и п. Отметим, что для дробных значений числа участков (п ) переходим к выражению кривой добегания через Г-функцию, которая является обобщением функции, известной под названием факториала /г!, на любые, в том числе дробные, значе­ ния п. Для облегчения рассмотренных расчетов расходов воды на практике широкое применение получили методы электронного мо­ делирования (§ 10 этой главы).

§8. УЧЕТ РАСПЛАСТЫВАНИЯ ПАВОДКА ПО СПОСОБУ МАСКИНГАМ

Вслужбе гидрологических прогнозов США применяется так на­ зываемый способ Маскиигам. Впервые он был получен Мак-Картн применительно к расчету распластывания паводков на р. Маскингам.

78

Если известна кривая объемов воды для участка W = f ( Q B, Qu), то, используя дополнительно уравнение водного баланса

<?в. нам Qn. ко ■ДП Qи . н ам + Qn. КОН ДА w KOn- w m4, (6 8 .111)

можно по гидрографу по верхнему створу и кривым объемов рассчитать гидрограф по нижнему створу. Этот расчет может про­ изводиться способом последовательных приближений. Однако та­ кой способ громоздок, и в США применяется более простое реше­ ние. Упрощение заключается в том, что объем воды на участке рас­ сматривается как функция средневзвешенной величины расходов, а именно

Принимающийся постоянным коэффициент k выражает относи­ тельное влияние расходов воды в верхнем и нижнем створах на из­ менение русловых объемов воды. Значение k определяется эмпири-

Рис. 30. Графики зависимостей объема воды на участке реки от средневзвешенных расходов воды в верхнем и кижмем створах при различных значениях k (кривые /,•

II и III).

1 — фаза подъема паводка, 2 — фаза спада.

чески на основе гидрографов по верхнему и нижнему створам. Раз­ ность объемов стока в верхнем и нижнем створах, определяемых от начала подъема паводка до произвольной даты, представляет собой объем воды, накопленный на рассматриваемом участке русла за указанный период времени. Если эти объемы воды сопоставить соV V среднимиМ , W l l i ' l l l расходами воды, то получим график зависимости W =

Qn + Qn , в виде ШИрОКой петли (рис. 30, кривая/); в этом

случае, очевидно, £ = 0,5. Затем подбираем другое значение k, при котором петля становится уже (кривая II), а путем дальнейших проб находим к, при котором зависимость становится однозначной (рис. 30, кривая Последнее значение k принимается за рас­ четное.

Чаще зависимость между русловым объемом воды и рассмотрен­ ной средневзвешенной величиной расхода воды близка к линейной. Когда же она бывает нелинейной, то ее график можно разделить на несколько участков, для каждого из которых зависимость может быть принята линейной. В таком случае исходное уравнение связи (69.III) запишется в виде

79