книги из ГПНТБ / Аполлов, Б. А. Курс гидрологических прогнозов учебник

и во времени. Рассмотрим паводок на участке реки в какой-то фик­ сированный момент времени, который считаем начальным. При этом предположим, что на сколько угодно близких расстояниях вдоль реки были зарегистрированы мгновенные расходы или уровни

(рис. 11). Из этого рисунка видно, что интересующий нас ход па­ водка во времени в нижнем створе представляет собой трансфор­ мированное некоторым образом распределение расходов воды вдоль речного потока, наблюдавшееся в некоторый начальный момент времени. Значит, задача прогноза уровней и расходов воды на беспрнточном участке сводится к нахождению способа расчета движе­ ния II трансформации паводка по мере перемещения его по реке и с течением времени.

Если в первом приближении пренебречь распластыванием паводочнон волны и считать, что от каждого верхнего створа расход

воды Q добегает до нижнего через определенные отрезки времени, то переход от пространственной координаты / расхода воды к вре­ менной t или т может быть осуществлен по некоторой зависимости

т=/(/, Q).

Теперь рассмотрим ход уровней (расходов) воды в нижнем

створе и в ряде верхних, расположенных на различном расстоянии I от него. При этом предварительно введем понятие о соответствен­ ных расходах (уровнях) воды. Под ними будем понимать однород­ ные по фазе расходы (уровни) воды — максимумы, минимумы, рас­ ходы, которым отвечают точки перегиба и другие характерные точки на гидрографах; по сравнению с верхним створом расход воды в нижнем створе наблюдается через некоторое время, равное про­

50

строить графики зависимостей /), x = f { H B, I) (рис. 14) или Qn= f (Qu, /), x = f ( Q B, /), где / — расстояние от верхнего створа до нижнего. Такие зависимости могут быть использованы для про­ гнозов уровней воды в различных створах с различной заблаговре­

менностью.

Прогнозы с помощью рассмотренных зависимостей — прогнозы по методу соответственных уровней — имеют большую историю. Си-

н

Рис. 12. Совмещенные графики ко­ лебании уровня воды на участке реки на трех постах с разметкой соответственных уровней воды.

/, 2 и 3 — номера постов, считая с верх­ него.

стематически составлять их начали в 1854 г. во Франции для пре­ дупреждения населения Парижа о наводнениях, вызываемых дож­ девыми паводками р. Сены. Более чем вековой опыт показал, что в очень многих случаях они обладают высокой точностью. Разра-

нв

ботке способов прогнозов на основе понятия о соответственных уровнях воды уделялось много внимания. В настоящее время име­ ется несколько таких способов, и они позволяют составлять про­ гнозы и уровней и расходов воды с достаточной для практики точ­ ностью. Однако в ряде случаев применение методов соответствен­ ных уровней ие приводит к положительным результатам, например на участках рек ниже ГЭС. Анализ границ и возможностей приме­ нения и развития этого метода может быть сделай только на основе теории движения паводочных волн.

§ 2. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ПАВОДОЧНОЙ ВОЛНЫ И МЕТОД СООТВЕТСТВЕННЫХ УРОВНЕЙ

На современном уровне развития теории движения паводочной волны мы вынуждены ограничиваться одномерной задачей. Это оз­ начает, что любое живое сечение реки характеризуем определен­ ными параметрами (расход воды, средняя скорость течения, пло­ щадь живого сечения, гидравлический радиус и др.), являющимися функциями одной переменной — расстояния вдоль реки I. В период паводка параметры меняются в каждом створе во времени. Следо­ вательно, уравнения, которые будем в дальнейшем исследовать, будут включать в себя функции двух переменных / и t. В качестве исходных положений применительно к речному потоку возьмем за­ кон сохранения материн, находящий конкретное выражение в урав­ нении неразрывности, и динамическое уравнение Буссинеска.

Обозначив расход воды через Q, площадь живого сечения через ы, составим уравнение баланса для участка реки, имеющего длину

Если имеется промежуточный приток, равный q в единицу вре­ мени на единицу длины участка, то его величина будет q d l d t . Тогда изменение объема воды на участке за время dt будет

Оно вызовет изменение площади живого сечения на величину

діа

dt и с учетом этого изменение объема воды на участке можем

d t

записать также в виде

Эти уравнения впервые были получены Сен-Венаном.

52

Уравнение, характеризующее условие движения паводка, было дано Буссинеском, исходя из равенства нулю всех сил, которые дей­ ствуют на единицу массы жидкости (принцип Даламбера). Это уравнение записывается в виде

и — силы инерции и F —силы трения.

Уклон можно разложить на две составляющие — на уклон, рав­ ный уклону при установившемся движении речного потока і и до­ бавочный уклон dh/dl, возникающий при движении паводка; при этом

где V — средняя скорость в живом сечении; R — гидравлический ра­ диус; С — коэффициент.

Сила сопротивления равна произведению удельного веса воды на уклон; при отнесении ее к единице массы получим

Для многих случаев движения паводка инерционные силы пре­ небрежимо малы. Тогда динамическое уравнение Буссинеска приоб­ ретает следующее приближенное выражение:

(Ю.Ш)

Прежде чем записать уравнение Буссинеска с учетом инерцион­ ных сил, отметим, что они могут быть охарактеризованы двумя слагаемыми

Первое пропорционально силам, затрачиваемым на преодоление со­ противления, вызванного изменением скорости в данном сечении, а второе — силам, затрачиваемым на изменение скорости по длине потока.

С учетом инерционных сил уравнение Буссинеска принимает вид

Решение уравнений (4.III) и (12.III) позволяет рассчитать дви­ жение и трансформацию паводочной волны как на бесприточных, так и на приточных участках. Однако эта система уравнений не

53

имеет общего аналитического решения. К настоящему времени раз­ работан ряд способов ее численного решения с помощью ЭВМ. Но их широкое практическое применение частично ограничивается большой трудоемкостью вычислений даже при наличии современ­ ных ЭВМ. Главное же ограничение связано с отсутствием деталь­ ных данных о гидравлико-морфометрических характеристиках реч­ ных потоков. Установлено, что погрешности, возникающие в резуль­ тате приближенного задания величин этих характеристик, весьма значительны.

На практике оказалось, что более простые методы расчета дви­ жения паводка, основанные на сопоставлении водомерных наблю­ дении, дают результаты, по своей точности нередко превосходящие те, которые при современной точности исходных материалов могут быть получены по уравнениям (4.III) и (12.III). Объясняется это тем, что сами данные водомерных наблюдений отражают гидрав­ лико-морфометрические характеристики речного потока. Однако надо подчеркнуть, что получение в настоящее время таким путем более точных результатов, чем на основе прямого решения урав­ нений (4.1II) и (12.III), возможно лишь при правильных теорети­ ческих посылках. Наиболее рациональный путь нахождения таких решений заключается в теоретическом анализе как непосредственно уравнений неразрывности и движения, так и результатов самих рас­ четов по ним.

В настоящее время наметились следующие пути использования теоретических соотношений для обоснования рассматриваемых ме­ тодов расчета и прогнозов расходов и уровней.

1. Оценка роли отдельных компонентов уравнений (4.III) и (12.III) и разработка на этой основе приближенных решений для ряда частных случаев с использованием гидрометрических данных; это позволяет обойтись без непосредственного определения гидрав­ лико-морфометрических характеристик речного потока.

2. Проведение численных экспериментов для различных модель­ ных случаев движения паводочной волны и использование результа­ тов, получающихся при этом из уравнений (4.III) и (12.III), как эталонных при разработке приближенных способов расчета расхо­ дов (и уровней) воды. Рассмотрим первый путь.

В уравнении (4.III) члены, входящие в левую часть уравнения, являются равноправными, а правая часть, характеризующая проме­ жуточный приток, является функцией природных условий формиро­ вания стока. Именно поэтому не известно ни одного случая, когда бы это уравнение принималось в его неполном написании.

ляют получить важные результаты. Поясним это следующим приме­ ром. У нас обычно нет достаточных данных для описания хода уров­ ней (расходов) воды для установления формы паводочной волны вдоль речного потока. Однако попробуем для этой цели воспользо­ ваться показаниями одного водомерного (гидрометрического)

•створа, находящегося в нижней части речной системы.

5 4

Рисунок 15 весьма показателен. Он дает представление о вре­ мени, в течение которого расход (уровень) воды достигает своего максимума, и о времени, в течение которого расход снижается до своей начальной величины. Предыдущие соображения о связи пространственных и временных процессов дают дополнительные сведения. Так, если исходить даже из весьма грубых, но в первом приближении справедливых допущений, что продолжительность паводка одновременно характеризует пространственную протяжен­ ность явления, то длина паводочной волны L будет равна L = vт, где V — средняя скорость движения паводка и т — время добегания. Продолжительность весеннего половодья обычно один-два месяца, а дождевых паводков на средних и больших равнинных реках — 15—30 дней, на горных реках — 4—10 дней. Учитывая, что скорость движения паводков на равнинных реках порядка 0,5—1 м/с, а на

Рис. 15. Гидрограф (график колебаний уровня) реки за период паводка.

горных 1,5 м/с, получим следующие значения протяженности паводочных волн:

1. Для весеннего половодья на средних и больших равнинных реках

L —2,5 • ІО6 5,0 • ІО6 м.

2. Для дождевых паводков на средних и больших равнинных реках

L = 6,0 • ІО5-*- 1,2 • Ю5 м,

на средних и больших горных реках .

L = 4 ,0 ■105^ 1,2 • 10й м.

Эти выражения показывают, что протяженность паводочных волн столь велика, что они обычно даже не могут сразу уместиться в русле реки, н в результате в каждый момент времени будем иметь на протяжении реки только часть паводочной волны. Высота поло­ водья обычно не превышает 10 м, а дождевых паводков 5 м. Зна­ чит, паводочные волны, которые рассматриваются в гидрологиче­ ских прогнозах, относятся к категории длинных волн и добавочный уклон, возникающий при прохождении паводка, обычно невелик по сравнению с уклоном і при установившемся режиме потока. Как правило, величина dh/dt примерно на два порядка меньше по сравнению с і. Правда, в некоторых случаях при малых уклонах дна и интенсивном изменении уровня воды добавочный уклон

55

с ними можно совсем не считаться.

Таким образом, в первом приближении расчет движения паводка может быть произведен, опираясь на совместное решение уравнения неразрывности и уравнения движения, выраженного формулой Q =

= соС-]//?/ или, что равносильно, уравнением кривой расходов воды Q= /(#) . Многолетний опыт гидрометрических измерений на реках привел к выводу о том, что обычно имеется приближенная одно­ значная связь между расходом и уровнем воды.

Заменяя уравнение движения выражением кривой расходов воды, получим следующую систему уравнений:

Последнее соотношение означает, что в каждом створе на уча­ стке реки длиной / существует своя кривая расходов воды. Так как имеется однозначная связь между уровнем воды и площадью жи­ вого сечения со, то (13.III) можно записать в виде

Продифференцировав (14.III) по времени

и подставив (15.III) в (4.1II), получим

cta dQ . dQ

(16.Ш)

Уравнение (16.III) является линейным уравнением первого по­ рядка и решается методом характеристик. Тогда имеем

dl __ dQ

(17.ІИ)

Т ~ ~ ~ Т

Из последнего получим следующие соотношения:

56

Отсюда

Так как в каждом створе имеется однозначная связь между пло­ щадью живого сечения со и расходом воды Q, частную производ­ ную dQ /dсо можем заменить полной. С другой стороны, так как dl!dt есть скорость v Q перемещения рассматриваемого расхода воды Q, то получим

Время добегания т рассматриваемого расхода Q на участке t

Под временем добегания здесь понимает­ ся для бесприточного участка разность сроков наступления одинаковых расхо­

(Qb+ J q d i ) .

о

Задача прогноза на основе решения указанных уравнений достаточно про­

стая, если заданы гидрограф в верхнем створе, промежуточный при­

VQ

воды верхнего створа с добавлением к нему промежуточного при­ тока, согласно (20.111), перемещаем в соответствии с вычисленными значениями времени добегания вдоль потока.

Однако в большинстве случаев отсутствует достаточное количе­ ство кривых расходов воды на участке реки. Поэтому приходится находить другие практические решения. Например, можно исходить из того, что для участка

57

где Лео — среднее приращение площади живых сечений на участке,

тельно, задачу определения времени добегаппя на участке можно

вых рассматриваются в гл. IV). Тогда, пользуясь ею, находим по соотношению (24.III) время добегания воды на участке и в соответ­ ствии с ним перемещаем расходы воды из верхнего створа в ниж­

Опыт показал, что применение рассмотренной схемы прогноза приводит к хорошим результатам для сравнительно коротких уча­ стков рек с кривыми расходов воды Q = f ( H) , близкими к одно­ значным, и временем добегания, не превышающим нескольких дней. На сравнительно длинных участках распластывание паводков бы­ вает значительным и допущение, согласно которому кривые расхо­ дов воды однозначны, приводит к существенным погрешностям. Для таких участков нужно опираться на более точные решения, учиты­ вающие, в частности, влияние на передвижение и трансформацию паводка добавочного уклона dh/dl.

Из изложенного становится ясной физическая сущность н общие границы применимости метода соответственных уровней воды.

§ 3. СОПОСТАВЛЕНИЕ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ПАВОДКА СО СРЕДНЕЙ СКОРОСТЬЮ ТЕЧЕНИЯ РЕКИ

Согласно (21.Ill), VQ = dQ/da. Поскольку Q = v<a, то после диф­

Тогда, согласно (25.III), скорость добегания v Q будет больше сред­ ней скорости течения. Однако в некоторых случаях, например при выходе воды на пойму, когда с ростом уровня воды скорость тече­ ния уменьшается, скорость добегания становится меньше скорости течения.

58

До момента выхода потока на пойму для средней скорости тече­ ния V и площади живого сечения со можно принять выражения:

(26.111)

(27.111)

где h — средняя глубина; і — уклон потока; а, Ь, п и т — коэффи­ циенты. Тогда из совместного решения (21.III), (25.III), (26.III) и (27.111) получим

(28.111}

Согласно формуле Шези, а также учитывая, что коэффициент С в ней зависит от средней глубины, получаем п ~ 2/з. Коэффициент кривой площадей /и обычно лежит в пределах 1,5—2,5. Таким обра­ зом, из теории движения паводочной волны следует, что множи­ тель при V в формуле (28.III) меняется от 1,25 до 1,45 и в среднем равен 1,35.

Обобщение материалов по скорости добегания воды по руслам привело к получению нескольких эмпирических формул, из которых приведем лишь следующую:

(29.111}

здесь Q — расход воды в замыкающем створе участка реки; F —• площадь бассейна в км2; і — уклон реки в промиллях; а — пара­ метр, меняющийся -для равнинных рек от 0,4 при широкой заболо­ ченной пойме до 1,0 при отсутствии поймы; для горных рек его значения лежат в пределах 1,1—1,4. Для небольших паводков, про­ ходящих без затопления поймы, среднее значение сс для слабоизви­ листых незарастающих русел равно 1,0, для извилистых слабозарастающнх 0,75 и для сильнозарастающих 0,55. Для одной и той же реки (участка реки) коэффициент сс резко уменьшается с выходом воды на пойму, а при дальнейшем повышении уровня обычно мед­ ленно растет.

§ 4. ПРОГНОЗЫ ПО МЕТОДУ СООТВЕТСТВЕННЫХ УРОВНЕЙ НА БЕСПРИТОЧНЫХ И СЛАБОПРИТОЧНЫХ УЧАСТКАХ РЕК

Как следует из рассматриваемой теории движения паводочной волны, в случае наличия близкой к однозначной кривой Q= f (Я) расход воды из верхнего створа переместится в нижний за некото­ рое вполне определенное время, зависящее от величины самого рас­ хода воды. Это позволяет путем сопоставления гидрографов в верх­ нем и нижнем створах (без использования гидравлико-морфометри­ ческих характеристик участков реки) получить способы прогнозов расходов и уровней воды. Именно это, как мы видели, является тео­ ретической основой ряда практических приемов прогноза по методу соответственных уровней (расходов) воды.

59