книги из ГПНТБ / Аполлов, Б. А. Курс гидрологических прогнозов учебник

движения воды на отдельных участках рек. Однако пока в связи с отсутствием детальных данных об условиях стекания воды с во­ досбора кривые добеганпя стока могут быть определены весьма приближенно. При нахождении их исходят из существующих пред­ ставлений о закономерностях стекания воды и производят рас­ четы, показывающие степень соответствия между вычисленными расходами воды по кривой добеганпя стока и наблюденными рас­ ходами воды. Как следует из генетических формул стока (14.V) и (19.V), задача предвычнслення дождевого паводка может быть све­ дена к решению следующих вопросов: вычислению поступления воды на поверхность бассейна, расчету потерь этой воды на впи­ тывание, заполнение бессточных углублений п испарение, опреде­ лению кривой добеганпя и расчету расходов воды в замыкающем створе.

Формула (21.V) описывает процесс формирования поверхност­ ного стока, который, согласно приведенной выше типизации (табл. 10), преобладает главным образом на безлесных равнинах. Для лесных и горных условий формула соответствует действитель­ ности только частично, так как некоторая, иногда довольно значи­ тельная часть стока приходится на подповерхностный (подпочвен­ ный, внутрипочвенный).

Однако генетическая формула стока может быть обобщена также и на случай наличия подповерхностного стока. Действи­ тельно, влияние интенсивности просачивания воды в почву на фор­ мирование подповерхностного стока на первом относительном водоупоре будет в общем аналогично влиянию интенсивности выпаде­ ния осадков на формирование поверхностного стока. Это дает основание записать генетическую формулу стока для первого слоя почво-грунтов, подповерхностное стекание воды в котором осуще­ ствляется, в виде

(22.V)

и

где р ' — слой просачивающейся воды в более глубокие слои почвогрунтов и задержанный в рассматриваемом слое; р — слой воды, просочившейся в почву; г' (t, т) — кривая добегания стока для рас­ сматриваемого слоя почво-грунтов.

Аналогично для стока во втором подповерхностном слое почвогрунтов запишем

(23.V)

о

где р" — слой воды, задержанной (не расходуемой на сток) в дан­ ном слое почво-грунтов, плюс количество воды, просачивающейся в более глубокие слои почво-грунтов; р ' — слой воды, просачиваю­ щейся в данный слой почвы; r"(t, т) —кривая добегания стока для этого слоя.

120

Изложенное показывает, что расчет общего слоя стока должен включать в себя там, где это необходимо, кроме поверхностного стока, также расчет подповерхностного стока. Такая задача может решаться раздельно по отдельным слоям плп суммарно для всего­ стока. В последнем случае кривые добегания г' (t, т) и r"(t, т) бу­ дут меняться в зависимости от переменных гидравлических усло­ вий в бассейне. Также и сами условия фомироваиня потерь стока будут в значительной мере зависеть не только от характера поверх­ ности бассейна, но и от структуры, фильтрационной способности и влагонасыщенностп слоя почво-грунтов, в котором происходит сток. Таким образом, к бассейнам с рассмотренным механизмом стока,, так же как к бассейнам с поверхностным стоком, может быть при­ менена генетическая формула стока (21.V). И здесь задача предвычисления дождевого паводка будет сводиться к расчету осадков,, потерь воды и кривых добегания стока.

Рассмотренная схема формирования стока имеет общий харак­ тер, и поэтому она послужила основой для большинства математи­ ческих и физических моделей стока.

§ 4. О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ЯВЛЕНИЙ

Под математическими моделями гидрологических процессов по­ нимают математические и логические соотношения, которые на ос­ нове данных гидрометеорологических наблюдений позволяют рас­ считать количественные характеристики гидрологических явлений,,

вчастности стока.

Вгидрологии пока еще только сравнительно небольшая часть моделей строится на традиционных методах математической фи­ зики; к ним относятся, например, модели движения воды в реках и нагревания и охлаждения водоемов. Такое положение в значитель­ ной мере обусловливается как отмечавшейся ранее сложностью гидрологических процессов, так и невозможностью в ряде случаев измерения некоторых параметров. Поэтому при моделировании гидрологических процессов, в частности для гидрологических про­ гнозов, используются также методы, основанные на теории иденти­ фикации. Отметим, что они широко используются для анализа и моделирования различных динамических систем и получили приме­ нение в ряде отраслей техники и естествознания. Под идентифи­ кацией подразумевается установление математической модели той плп иной динамической системы по данным наблюдений на ее входе

ивыходе. Так, если будем рассматривать бассейн как некоторую динамическую систему, трансформирующую комплекс гидрометео­

121

соответствие между входом и выходом. При выборе операторов, преобразующих входные воздействия на водосбор и гидрограф стока, может широко использоваться информация о структуре опе­ раторов, извлекаемая нами из теории формирования стока. Таким образом, имеется класс задач, промежуточных между теми, кото­ рые решаются методами математической физики, и чисто иденти­ фикационными методами.

Следует отметить, что обобщение результатов, получаемых с по­ мощью методов идентификации, наряду с расширением наших зна­ ний в области процессов стока, будет одновременно способствовать построению математических моделей гидрологических процессов на основе методов математической физики.

В настоящее время при идентификации стали использоваться так называемые концептуальные (понятийные) модели, которые основываются на схематизации отдельных физических процессов и включают большое число параметров.

При построении математической модели методами идентифика­ ции необходимо стремиться к выбору некоторой оптимальной струк­ туры модели, которая, с одной стороны, достаточно хорошо схваты­ вает основные физические процессы, а с другой стороны, имеет ми­ нимальную сложность. Задача гидрологической теории в том, чтобы по возможности сузить класс, в котором задается общая структура модели, и таким образом упростить и сделать более надежными ме­ тоды определения параметров при переходе к конкретным водо­ сборам.

Поиск такого узкого класса привел к использованию моделей с сосредоточенными параметрами. При применении таких моделей отказываются от детализации процессов образования стока по пло­ щади и весь водосбор рассматривают как динамическую систему, преобразующую некоторые средние для водосбора входные времен­ ные функции, характеризующие воздействие гидрометеорологиче­ ских факторов на водосбор, в гидрограф в замыкающем створе. Рас­ смотрение водосбора как системы с распределенными параметрами, т. е. параметрами, учитывающими переменные условия формиро­ вания стока по площади, уже проводится в некоторых моделях фор­ мирования стока и приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Допустимая величина площади водосбора, для которого может строиться модель с сосредоточенными параметрами, лимитируется, с одной стороны, изменчивостью гидрометеорологических характе­ ристик и условий стока по площади, а с другой — расчетным интер­ валом времени, необходимым для обеспечения заданной точности расчета гидрографа. Здесь особенно важным было бы исследова­ ние статистических свойств полей осадков, инфильтрации, испаре­ ния и некоторых других факторов. Большое значение для построе­ ния моделей имело бы также исследование пространственной из­ менчивости таких /трудно определяемых характеристик водосбора, как коэффициенты фильтрации почво-грунтов, шероховатость по­ верхности и особенности микрорельефа.

222

§ 5. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПАВОДКА

В § 3 этой главы была рассмотрена генетическая формула стока

1

Qt = § (А -д ),_ ,г(Л - )d - .

О

Если кривая добегания r{t, т) не меняется со временем /, то по­ лучим

о

В теории динамических систем аналогичные соотношения полу­ чаются из несколько иных соображений.

Связь между входной величиной q (t) и выходной Q (і) для ли­ нейной динамической системы при помощи условных операторов А і II А 2 можно записать в виде

о, п Ьі — коэффициенты, не зависящие от q и Q, но могущие быть функциями времени t.

Как известно из теории дифференциальных уравнений, при за­ данной функции q (t) равенство (27.V) представляет линейное диф­ ференциальное уравнение, которое при нулевых начальных усло­ виях можно выразить интегралом свертки [см. (21.V)]

О

123

Если коэффициенты а,- и Ьі постоянны, то (27.Ѵ) является диф­ ференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и ре­ шение можно представить в виде интеграла Дюамеля

6

Уравнения (30.V) и (31.V) применяются в разных областях науки. Обычно функция r(t ) носит название функции влияния, или импульсной переходной функции. В гидрологии функцию r( t ) , как указывалось выше, называют кривой добегання стока. Иногда также используются термины «единичный паводок», «мгновенный единич­ ный паводок» и «кривая межизохронных площадей» (см. § 3 этой главы). Отметим, что

о

Таким образом, еще раз повторим, задача прогноза дождевых паводков сводится к определению осадков х, потерь стока р, кри­ вой добегания и решению уравнений (30.V) или (31.Ѵ).

Способы вычисления слоя осадков, выпадающих на поверхность бассейна, излагаются в курсах гидрологии и поэтому здесь на них не останавливаемся. Перейдем к рассмотрению методов определе­ ния кривых добегання и потерь стока.

§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ ДОБЕГАНИЯ СТОКА

Предложено несколько методов определения кривой добегания стока.

О б щи й метод. Форма кривой неизвестна. Решение задачи является весьма трудным. Ряд исследователей пытались ее решить путем замены интеграла Д ю а м е л я суммой, например, по методу прямоугольников

Q i ~ ( h р)\ г 1,

Q2= ( / z— р )2г, —f-(/z — р ) х г2,

124

Однако оказывается, что при решении системы уже третья или четвертая ордината нередко становятся отрицательными, что выз­ вано плохой обусловленностью данной системы.

Было предложение использовать метод наименьших квадратов, позволяющий повысить обусловленность системы (33.V). Однако п при этом результаты получались малоудовлетворительными. Не­ которое улучшение результатов было получено Л. С. Кучментом па основе применения теории решения некорректных задач.

Достаточно эффективным оказалось использование методов оптимизации. Однако их применение может приводить к сущест­ венно различным результатам в зависимости от принятия того или иного критерия качества. Опыт показал, что обычно наиболее

где Q„ и Qp соответственно наблюденные и рассчитанные расходы воды

О п р е д е л е н и е к р и в о й д о б е г а н и я , к о г д а и з в е с т н о

может быть принята и в качестве кривой добегания стока со всего бассейна, где т и п — эмпирические параметры.

Как мы уже знаем, кривая добегания стока г{1) обычно явля­ ется одномодальиой (см. рис. 43) и имеет плавные очертания.

125

Не ординаты раины нулю при / = 0 и / = Тціаі<с, а наибольшая орди-

Для определения параметров т и п созданы специальные элек­ тронные моделирующие машины Г1Р-27 п ПР-43 (см. гл. Ill, рис. 31), которые позволяют быстро, в течение нескольких минут,

(формулы для остальных моментов имеют аналогичный вид). Для кривой добегания в виде (38.Ѵ) формулы (42.Ѵ) дают:

Кривую добегания можно представить также в виде ряда

126

Подставляя значение г(т) в генетическую формулу стока, по­ лучим

'-макс

Величины, стоящие под знаком суммы, легко определяются;

Проведя такие подсчеты для ряда значений Q, получим систему уравнений, легко .решаемую обычными способами, например спо­ собом наименьших квадратов.

Опыт показал, что обычно достаточно ограничиться двумя пер­ выми членами ряда. В таком случае решение относительно Q мо­ жно получить весьма просто путем построения графика (рис. 44)

Известный интерес представляют попытки получения значений параметров т и п на основании обобщения данных об этих пара­ метрах по ряду бассейнов. Такой путь был намечен рядом иссле­ дователей (Ф. Ф. Снайдер, Д. Л. Соколовский и др.) и в общем является перспективным для расчета и прогноза дождевых павод­ ков на неизученных реках.

М е т о д е д и н и ч н о г о п а в о д к а был предложен Л. Шер­ маном еще в 1932 г. и получил широкое распространение на прак­ тике. Единичным называется паводок, сформированный равномер­ ными по бассейну осадками, выпавшими за одну расчетную еди­ ницу времени. Отношения объемов стока за каждую расчетную единицу времени к общему объему стока за весь паводок представ­ ляют собой ординаты кривой добегания. Действительно, они пока­ зывают, как распределяется во времени в замыкающем створе вода, поступившая на поверхность бассейна в единицу времени.

Основным достоинством этого метода является то, что он позво­ ляет сравнительно просто получить характеристику процесса добе­ гания воды со всего бассейна. Для учета особенностей выпадения осадков и условий их стекания принято проводить дифференциацию

127

единичных паводков в зависимости от распределения осадков по площади и размера вызываемого ими стока. Это позволяет в значи­ тельной мере снять допущение о постоянстве кривой добегання и на практике пользоваться серией кривых, определяющихся эмпири­ чески. Ясно, что такой подход уже содержит в себе некоторые эле­ менты модели стока с распределенными параметрами.

Ме т о д и з о х р о н д о б е г а н н я с т о к а исходит из ана­ лиза пространственной неравномерности. Ясность схемы формиро­ вания стока при пользовании понятием изохрон добегаиия обеспе­ чила большую популярность этого метода. Одиако при практиче­ ском применении метода оказалось, что вычисляемые с его помощью гидрографы паводков значительно отличаются от построенных по данным наблюдений, в частности они не имеют характерной для натурных гидрографов плавности очертаний и асимметрии. Форма

Предположим, что на площадь между изохронами п и (п — 1) в течение одной единицы времени поступило некоторое количество воды. Согласно методу изохрон, это количество воды за вычетом потерь должно пройти через замыкающий створ в течение одной, я-й по счету единицы времени. Однако, как мы уже знаем, в дей­ ствительности вода пройдет через замыкающий створ в течение не одной, а нескольких единиц времени. В створе в этом случае будет наблюдаться паводок, причем тем более распластанный, чем больше расстояние от места поступления воды в речную сеть до замыкающего створа. Напомним, что интенсивный поверхностный сток по склонам осуществляется очень недолго. Во время ливня основная масса воды сбрасывается в речную сеть в течение не­ скольких часов. На малых реках образуются при этом кратковре­ менные паводки, которые, доходя до замыкающего створа, сильно снижаются и распластываются. Таким образом, на формирование паводка в замыкающем створе оказывает влияние не только рас­ пределение межизохронных площадей в бассейне, но и регулирова­ ние неустановившегося потока руслами.

Теперь вернемся к теории движения паводочной волны, изло­ женной в главе III. Согласно теории, русло реки можно предста­

128

вить себе состоящим из ряда так называемых характерных участ­ ков, регулирующее действие которых аналогично регулирующему действию цепочки водохранилищ. При допущении линейной зави­ симости между расходом и объемом воды на каждом участке, а также при допущении равенства времени добегания на каждом из характерных участков можно применить выведенные выше фор­ мулы кривых добегания.

Расход воды-в замыкающем створе за счет притока воды, по­ ступившей на первый участок (нумерация участков идет снизу

интервал времени Af иа первый характерный участок с его водо­ сборной площади; т — время добегания равного расхода на харак­ терном участке реки (/); t — время, отсчитываемое от середины расчетной единицы времени А/, за которую определен приток воды q.

В дальнейшем будет удобнее выражать приток воды к участ­

Расход воды за счет стока с водосборной площади второго ха­

Аналогично получим расход воды за счет стока с водосборной пло­ щади п-ного характерного участка

Для того чтобы получить общий расход воды в замыкающем створе, необходимо сложить расходы Qi, Q2, ..., Qn. Тогда получим