книги из ГПНТБ / Тверской, В. И. Дисперсионно-временные методы измерений спектров радиосигналов

ходе к (2.2.2) была отброшена составляющая F(v), имеющая в этой области существенно отличные от нуля значения. Учет стационарной точки, лежащей в области отрицательных частот, приводит к результату, аналогич­ ному полученному далее.

При небольших изменениях фазы спектра сомножи­ тель exp [jyP"(v) ] можно включить в медленно меняю­ щуюся функцию во внутреннем интеграле (2.2.2), а ста­ ционарная точка определится уравнением

vo=co. (2.2.3)

Внутренний интеграл, который мы обозначим Z i(«), аналогичен ( 1.1.1) и для его вычисления следует приме­ нить формулу (2.1.6). При этом роль р (со) играет функ­ ция v2/2s, а замена переменных осуществляется согласно уравнению п2= (v—co)2/2s. С учетом (2.2.3) находим

СО

Используя оценки (1.1.15), полученные для производных спектра, можно показать, что ряд (2.2.4) сходится на любом конечном интервале абсолютно и равномерно. Если положить, что функция К {со) существенно отлична от нуля лишь в конечной полосе частот, можно, подста­ вив (2.2.4) в (2.2.2), провести почленное интегрирование

Интегралы в (2.2.5) аналогичны (1.1.1) и к ним вновь применима формула (2.1.6). Подставив соответствующие разложения в (2.2.5), а полученный результат в (2.2.2), находим

40

(рольр(со) играет функция [—co2/2s + a(co) ].

Выходной отклик g(t) определяется сходящимся ря­ дом лишь для идеальных цепей, частотные характерис­ тики которых выражаются целыми функциями (эти функции разлагаются в ряды Тейлора с бесконечным радиусом сходимости). Для реальных цепей с потерями ряд (2.2.6) является во всяком случае асимптотическим и для практических расчетов с вполне достаточной точ­ ностью можно пользоваться конечным числом его чле­ нов. С учетом этого суммирование в (2.2.6) показано до конечных номеров k0, to.

Полезная информация о спектре радиоимпульса со­ держится в первом члене разложения (2.2.6) с индекса­ ми k= 0, t= 0. Сумма остальных членов характеризует погрешность измерения.

который равен отношению величины девиации частоты

Лещ. на перепад задержки линии в интервале частот про­ тяженностью Амй. При |р| < 1 члены ряда (2.2.6) бы­ стро убывают с ростом k и i.

В зависимости от величины параметра |р| допусти­ ма различная степень отклонения функций К (со) и (5"(со) от постоянных значений. При |ц|<С1 даже при значи­ тельном изменении модуля коэффициента передачи и дисперсии в полосе спектра отклик в основном опреде­ ляется первым слагаемым ряда с индексами k= 0, t= 0. Условие |р | с 1 с учетом (1.3.1) эквивалентно неравен­ ствам (1.1.10), (2.1.8). Длительность отклика g(t) тогда много больше длительности радиоимпульса. По сущест­ ву, указанный случай соответствует описанному в § 1.2 измерению спектра импульсов на линиях с непостоянной дисперсией. Зависимость от времени величины /((со) da/du (при и = 0) можно скомпенсировать, применяя описан­ ные в § 1.2 способы коррекции.

Чем меньше отклонения Р"(со) и К (а) от постоянных значений, а их производных от нуля, тем больше допу-

41

Стимые значения параметра |р |. Это позволяет за cnef увеличения скорости модуляции частоты гетеродинного сигнала уменьшить длительность выходного отклика g(t). Чем меньше линия по своим характеристикам от­ личается от идеальной ДЛЗ, тем меньше при неизмен­

К((£>)=Ко, то, как легко проверить непосредственным вычислением слагаемых двойного ряда, выражение (2.2.6) переходит в ( 1.1.11).

При практических расчетах в (2.2.6) достаточно ограничиться слагаемыми, для которых к = 0, i= 0 и (k + -И) = 1. Тогда из (2.2.6) с учетом (1.3.1) нетрудно полу­ чить следующее выражение для выходного отклика, аналогичное (2.1.11):

измерения амплитудного спектра радиоимпульса в пер­ вом приближении определяется соотношением, аналогич­ ным (2.1.17).

з обоих случаях одинаков. Указанные формулы разли­ чаются за счет величин

ной величиной дисперсии). В первом случае, когда раз­ ложение сигнала в спектр осуществляется без предвари­ тельной модуляции его несущей частоты, при вве-

42

в нуль. Вместе с тем при заданном отношении а " (со)/2а увеличение длины линии также приводит к уменьшению этого произведения. Таким образом, модуляция несущей частоты сигнала по закону (1.3.1) исключает ограниче­ ния точности анализа за счет конечной длины линии. Погрешность измерений обусловлена в этом случае либо отклонениями дисперсии и модуля коэффициента пере­ дачи линии от постоянных величин, либо при а"(со) =

= const^=0 неполным согласованием гетеродинного сиг­ нала с линией.

Для функции 1^31 (со) аналогично (2.1.24) нетрудно получить

Точность анализа можно оценить таким же образом, как это сделано в .§ 2.1, с использованием соотноше­ ний (2.1.22), (2.1.23), (2.2.10). Обращаясь к примеру,

рассмотренному в § 2.1, для погрешности, зависящей от характера сигнала и определяемой формулой (2.1.17), получаем

(2.2. 11)

Определив для максимально допустимой погрешности Af отношение бы/Дсо, найдем диапазон длительностей радиоимпульсов, спектры которых еще могут измеряться с заданной точностью. Соответствующие зависимости отношения бсо/Дсо от Af для различных значений

8аш==8/Сщ и |а"(с»)|/2 |а |.

показаны на рис. 2.4. Используя условие (1.3.10), можно

43

ху) при строгой линейности закона модуляции частоты гетеродина обусловлены отклонениями характеристик линии от величин, определяемых условиями (1.1.4), (1.1.5).

Полученные результаты нельзя применить к сигналу, фазовый спектр которого изменяется на величину, зна­ чительно большую я. Такими свойствами обладает, на­ пример, фазовый спектр короткого радоимпульса, прихо­ дящего на вход анализатора со значительным запазды­ ванием относительно начала гетеродинного импульса (это имеет место при измерении спектра группы радио­ импульсов) или радиоимпульса, длительность которого имеет такой же порядок, как величина изменения за­ держки в рабочей полосе частот линии. Последний сигнал можно получить за счет пропускания импульса малой длительности через ДЛЗ.

При расчете выходного отклика ограничиваемся та­ кими а(со), для которых справедливо неравенство

и включим функцию ехр[—ja(co)] в медленно меняю­ щийся множитель в подынтегральном выражении (2.2.2). Обозначив его

и вынеся функцию jT^v) в показатель экспоненциаль­ ного множителя, дальнейший расчет проведем в соответ­ ствии с методикой, рассмотренной и обоснованной Д. Е. Вакманом [16]. Координаты стационарной точки двойного интеграла (2.2.2) при введенных предположе­ ниях определяются из системы уравнений

В результате почленного интегрирования находим для двойного интеграла следующее выражение:

46

Аналогично [16] можно показать, что для реальных цепей ряд (2.2.16) является по меньшей мере асимпто­ тическим. Остаток ряда (когда берется сумма конечного числа членов) имеет порядок первого отброшенного чле­ на. Поэтому суммирование показано до конечного номе­ ра «о-

Интеграл в первом слагаемом ряда — это двойное преобразование Фурье *> функции

Интегралы в следующих слагаемых являются двойными преобразованиями Фурье производных (2.2.17). Учиты­ вая это, а также очевидные равенства

представим выражение выходного отклика в форме, ана­ логичной (2.2.8). При вычислении слагаемых с сомножи­ телями F(Q) и F'(Q) достаточно ограничиться членами ряда, содержащими s в нулевой и первой степени, а при вычислении функции, содержащей F"(Q ), следует учитывать члены порядка s2. Здесь s играет такую же роль, как параметр р, определяемый соотношением (2.2.7). При этом при вычислении п-х производных по П функции (2.2.17) величина Qoi рассматривается как па­ раметр. Ее значение Qoi= Q—sxF'(Q) подставляется лишь после выполнения дифференцирования. С учетом приведенных замечаний для выходного отклика имеем

Последнее слагаемое в фигурных скобках в (2.2.19) име­ ет смысл учитывать лишь при оценке точности измере­ ний узких спектров, когда би>1Ди.

*> То, что внешний интеграл имеет пределы (0, оо), не является существенным. Важна лишь окрестность стационарной точки vo, Qoi. Поэтому пределы интегрирования можно расширить на всю действи­ тельную ось.

47

Рассмотрим структуру выражения (2.2.19). Множи­ тель /C(Qoi)[l—jl^i2(Qoi. Q)], который определяет амплитудно-частотную характеристику, зависит не толь­ ко от свойств линии, но и от вида фазового спектра сигнала. Это исключает, например, возможность коррек­ ции отклика по методике § 1.2, что значительно усили­ вает требования к линии.

Если vF/(<i))=0, то аргументом выражений (2.2.20) является функция Q(f). В этом случае отличие указан­ ных выражений от соответствующих формул для 11^ (й0),

строго линейному машстабу частот спектра на оси вре­

составляющей приращения задержки; эта величина находится по дисперсионной характеристике линии. Для характеристики, приведенной на рис. 2.5, она равна дли­ не отрезка АВ.

Полученные результаты подтверждают необходи­ мость выполнения условия (2.2.13), что оправдывает примененный упрощенный расчет.

Разрешающую способность анализа можно оценить

48