книги из ГПНТБ / Тверской, В. И. Дисперсионно-временные методы измерений спектров радиосигналов

Разложим функцию F[(a{u)]K(u)da>/du в ряд Тейлора по степеням и в точке и= 0 и подставим этот ряд в Z\(t). Если этот ряд сходится равномерно на любом конечном интервале, то (2.1.3) с учетом сделанных замечаний по­ сле подстановки можно почленно интегрировать [21].

Тогда

00

Z, < 0 = £ { ? [ » < « ) ] *

Интегральные сомножители ряда (2.1.4) вычисляют­ ся путем интегрирования по частям. При четных п они равны

апри нечетных п — нулю.

Вокончательном ответе для достаточно большого

числа членов ряда величиной г можно пренебречь. При этом функции [Д'[ы)]^=0 переходят в {Д [«>(«)]}1=о •

Подставив (2.1.4) и (2.1.5) в (1.2.3), для отклика на выходе дисперсионной линии задержки получим

к0

(конечность индекса суммирования обусловлена тем, что пренебречь е в (2.1.5) можно лишь для конечных номе­ ров к).

Формула (2.1.6) получена при достаточно жестком требовании ограниченности производных Д(ю), Э(со), че­ го требует равномерная сходимость ряда Тейлора. Стро-

30

го говоря, это справедливо для идеализированных цепей, частотные характеристики которых можно представить целыми функциями. Тогда (2.1.6) будет всегда сходя­ щимся рядом. Для реальных цепей с потерями К (со) обычно является мероморфной функцией с полюсами в верхней полуплоскости. Радиус сходимости ряда Тей­ лора в этом случае равен расстоянию от стационарной точки fio до ближайшего .полюса функции К (а). Если спектральная функция сигнала F ( со) и ее производные отличны от нуля лишь внутри круга сходимости ряда Тейлора, то (2.1.3) после подстановки ряда можно поч­ ленно интегрировать, и сходимость (2.1.6) сохраняется. В противном случае ряд (2.1.6) все же можно рассма­ тривать как асимптотический и для приближенных рас­ четов можно пользоваться суммой ограниченного числа его членов. Справедливость этого утверждения нетрудно показать ![16], если в (2.1.3) подставить сумму Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, а затем с по­ мощью метода стационарной фазы оценить интеграл от остаточного члена. Если берется k0 членов суммы, то интеграл от остатка имеет порядок (.feo+l) члена ряда

(2.1.6).

Для решения вопроса о возможности использования формулы (2.1.6) для практических расчетов точности из­ мерения спектра необходимо оценить скорость убывания слагаемых ряда. Можно показать (см. приложение), что порядок 2£-й производной сложной функции, которая

Здесь |Э"(со)\тах и |P"(co)|mjn — соответственно макси­ мальное и минимальное значения дисперсии в рабочей полосе частот линии задержки. Если выполнено условие

то для вычисления отклика достаточноограничиться членами с й =0 и k= \ . При относительно малых откло­ нениях дисперсии от постоянного значения, когда

порядок k-vo члена разложения определится величиной

а условие (2.1.6) имеет такой же смысл, как (1.1.10).

3}

Слагаемые ряда (2.1.6) можно вычислить путем поч­ ленного дифференцирования по и сложных функций Л© («)№ > («)], da>/du с последующим предельным пере­ ходом и-*-0, co->Qo. В частности, функция da>/du\u=0 оп­ ределяется формулой (1.2.5).

Следующие производные dn(o/dun\u=o находят путем последовательного дифференцирования правой части (1.2.4) с дальнейшим раскрытием неопределенностей при и= 0 аналогично (1.2.5) (величины указанных произ­ водных см. в приложении).

Определим в первом приближении отклик на выходе

^ ()= # Ке<гтпЬ ехр'№ - » (П")|х

Отклонение множителя К (Q0)l\/r\$'' (й0)| от постоян­

ной величины, а также сумма всех, начиная со второго, слагаемых в фигурных скобках в (2.1.11) определит отклонение огибающей отклика g(t) от модуля спек­ тральной функции сигнала, т. е. погрешность анализа.

Рассмотрим выражение (2.1.11). По аналогии с обыч­ ными приемниками или анализаторами спектра абсолют­ ную величину множителя при F(Q 0) можно определить следующим образом:

и интерпретировать как амплитудно-частотную характе­ ристику анализатора. Искажения формы спектра на вы­ ходе, определяемые (2.1.13), не зависят от характера сигнала, а связаны только со свойствами линии,

32

Если подать на вход диализатора дельта-импульс,

Амплитудно-частотная характеристика анализатора в со­ ответствии с (1.2.1) и с учетом замены аргумента t на П0 определится его импульсной функцией. В случае ли­ пни с постоянной дисперсией при выполнении условия (2.1.9) амплитудно-частотная характеристика практиче­ ски с достаточной степенью точности будет непосредст­ венно описываться функцией HQ(t).

Последнее слагаемое в фигурных скобках в формуле (2.1.11) зависит от величины дисперсии н вида спек­ тральной функции сигнала. Оно аналогично второму члену ряда (1.1.14) и определяет в соответствии с выво­ дами § 1.4 разрешающую способность анализатора. В случае непостоянной дисперсии разрешение выше там, где дисперсия больше. Тогда в соответствии с (1.4.5)

разрешающая способность А(в01= 2 V\ IE, (fi0) |.

Основная часть погрешности анализа, обусловленной отклонением дисперсии и модуля коэффициента переда­ чи от постоянных значений, определяется вторым слагае­ мым в фигурных скобках (2.1.11)_. Она тем больше, чем быстрее изменяются с частотой F ( со), /((со), Р"(со). При росте абсолютной величины дисперсии (например, с уве­ личением электрической длины линии) влияние этого слагаемого существенно уменьшается. Для «идеальной» линии, а также в случае F'(_со) = 0. оно равно нулю.

сигнал значительно искажает форму спектра на выходе (появляются как бы дополнительные выбросы спектраль­ ной функции в тех участках оси частот, где на самом деле она равна нулю). По указанной причине этот сиг­ нал можно интерпретировать как результат нелинейных искажений, обусловленных свойствами линии.

Отклонения дисперсии от постоянного значения при­ водят к нарушению линейной зависимости между време­ нем в отклике g(t) и частотой в спектре входного сиг­ нала, т. е. к искажениям частотного масштаба изобра-

Линии. Уменьшить влияние производных К (со) и {^(со)

счет увеличения W'i(Qo) будет возрастать крутизна функции 5^1 (По). В результате точность измерений до­ полнительно уменьшится.

Рассмотрим некоторые особенности оценки характери­ стик реальных анализаторов. При достаточно точном определении амплитудно-частотной /((со) и дисперсион­ ной р'(со) характеристик линии можно найти производ­ ные этих функций и рассчитать величины Wi(co), Wz(<o), U^(co). Такой подробный расчет оправдан для анализато­ ра, использующего линию с непостоянной дисперсией, когда характеристики линии могут быть аппроксимиро­ ваны не слишком сложными функциями (пример соот­ ветствующего расчета приведен в гл. 7).

Когда применяются ультразвуковые линии задержки целесообразно ограничиться упрощенными оценками точности анализа, использовав полученные эксперимен­ тальным путем графики функции /((со), Р'(со).

Примерная дисперсионная характеристика линии по­ казана на рис. 2.1. Построим график приращений за­ держки, откладывая по оси абсцисс частоты сщ, а>2, ...,

tOj до tof+i. Эти приращения AU пропорциональны крутиз­ не дисперсионной характеристики линии, т. е. пропор-

циональны |3"(со). Е сли все Ati одинаковы, то дисперсия линии строго постоянна. Относительное отклонение |A/i+i—Mi\IAti пропорционально относительному изме­ нению дисперсии в интервале частот [сог-, Шг+i]. Выберем на графике рис. 2.2 две соседние точки, между которы­ ми изменение Ati будет наибольшим, и проведем через них прямую. Абсолютная величина разности ординат этой прямой во всей рабочей полосе бсо определяется на графике длиной отрезка АВ. Если относительные изме­ нения Ati невелики, т. е. выполнено условие (2.1.9), то справедливо следующее неравенство:

собственно и справедливо решение (2.1.11), полученное

Использовав полученные неравенства, с учетом фор­ мулы (1.4.8) находим следующие приближенные соотно-

36

Шения для функций, входящих в (2.1.11):

Значения производных спектральной функции, входящих

а для импульсов с прямоугольной огибающей |/ ’/(со )|^

< ^ | / ( 0 | ™ а х / 4 ; | F ' ( a > ) | < f l P | f ( * ) | max/12.

Рассмотрим в качестве примера случай измерения спектра ра­ диоимпульсов прямоугольной формы с постоянной несущей частотой.

ходим, что погрешность, связанная с функцией W'i(w) (т. е. с ампли­ тудно-частотной характеристикой анализатора), составляет пример­ но 1% независимо от ширины спектра сигнала. Вклад остальных слагаемых, определяемый (2.1.17), зависит от ширины спектра. По­

анализа в основном связана с уменьшением разрешения. При более широких спектрах начинает преобладать погрешность, обусловленная

«неидеальностью» ДЛЗ.

С использованием полученных соотношений можно оценить влия­ ние ограниченности полосы пропускания линии на точность анализа. Вблизи граничных частот полосы, как правило, увеличиваются про­ изводные К(со) и в соответствии с (2.1.11), (2.1.12), (2.1.22), (2.1.23)

значительно возрастает погрешность измерений. Чем больше крутиз­ на скатов /((со), тем больше ошибка. Кроме того, в (2.1.1) уже нельзя пренебрегать значениями Ki(co) по сравнению с Ко. Поэтому погрешность возрастает также за счет увеличения отношения К\(ш)1Ко- Поскольку на границах полосы вклад функций и7,(П0), Ф'г(Йо) может быть значительным, нецелесообразно делать скаты /((со) чрезмерно крутыми, а также располагать в областях скатов участки спектра, в которых величины F (со), (со) относительно ве­ лики. Чтобы удовлетворить указанным условиям, не уменьшая в то же время рабочей полосы анализатора, скаты /С(со) должны распо­ лагаться в тех участках полосы частот линии, где ее дисперсия на­ чинает значительно отличаться от постоянного значения.

37

2.2. Влияние параметров ДЛЗ на точность измерения спектра анализатором с модуляцией несущей частоты импульсов

При решении задачи прохождения преобразованного радиоимпульса fi(t) через ДЛЗ в зависимости от харак­ тера сигнала можно выделить два случая, требующих различного подхода:

а) эффективная полоса частот спектра анализируе­ мого радиоимпульса и интервал монотонного изменения модуля спектра сравнимы с рабочей полосой линии;

б) эффективная полоса частот спектра и интервал монотонного изменения его модуля много меньше рабо­ чей полосы линии.

Здесь рассмотрим лишь первый случай (второй см.

в гл. 4).

Искажения получаемого на выходе линии спектра радиоимпульса обусловлены, с одной стороны, непо­ стоянством дисперсии и модуля коэффициента передачи линии, а с другой — отклонением скорости изменения ча­ стоты гетеродинного сигнала от (1.3.1). Здесь и в § 2.3 мы остановимся на первом факторе; влияние характери­ стик гетеродинного сигнала рассматривается в § 2.4.

При вычислении отклика на выходе линии будем счи­ тать, что отклонения ее дисперсии и модуля коэффициен­ та передачи от постоянных значений невелики и опреде­ ляются произвольными гладкими функциями (необходи­ мая степень их «гладкости» оценивается далее). Полагаем также, что закон модуляции частоты гетеродинного сигнала соответствует условию (1.3.1), где величина 2а — некоторое среднее значение дисперсии линии.

Ограничимся вначале случаем, когда длительность анализируемого импульса и время его запаздывания от­ носительно момента включения гетеродинного сигнала значительно меньше величины изменения задержки в ра­ бочей полосе линии. Производная фазы спектра анали­ зируемого радиоимпульса также значительно меньше указанной величины изменения задержки.

При расчетах для р(со) используем запись в виде (2.1.2). Отклик на выходе линии описывается выраже­ нием (1.1.1), в котором F((a) следует заменить на спек­ тральную функцию преобразованного сигнала. Предста­ вим эту функцию в виде интеграла Фурье, причем со­ ставляющую, соответствующую суммарной частоте (<а+

38

+ соо), в предположении ЛахСсоо, |sd|<Cffio отбрасываем. Тогда

0—So

—j X(ш — ю0) j dX | К (ш) exp [jco/— ja^ (со —: ш,) —

В (2.2.1) преобразуем внутренний интеграл с помощью формулы спектра произведения двух функций [1]. Пер­ вая из этих функций А (X) exp [j<p (Л.) +jo>o^] описывает анализируемый радиоимпульс, вторая exp(jsl2/2) — гете­ родинный сигнал.

Спектр первой функции F (со), спектр второй

( y2%lVis) exp (jco3/2s).

Используя соотношение (2.1.2) и формулу (1.1.9), полу­ чаем _

g { t ) = v i Яе (тк ~ ехр (jai(U~~ jac0‘} х

Если К(а>)=Ко, а (со) = 0, то (2.2.2) является двой­ ным преобразованием Фурье и переходит в (1.1.11).

При рассмотрении (2.2.2) в общем случае ограничи­ ваемся такими сигналами, для которых длительность от­ клика больше их длительности. Тогда согласно (1.3.9) девиация частоты гетеродинного сигнала меньше Дсо и, как можно показать непосредственным расчетом, вели­ чина набега фазы на интервале Аю в выражении, входя­ щем под знак внутреннего интеграла, значительно боль­ ше 2я.

Для вычисления внутреннего интеграла можно использовать метод стационарной фазы. Интегрирование

•проводим лишь в окрестности стационарной точки, ле­

39