книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

а =]/"3,2 =1,789,

1,789

СVm. 4 =0,447,

\i.z= npq (q —/?)=20 • 0,2 • 0,8 (0,8 — 0,2)= 1,92,

В гидрологических расчетах часто требуется определять вероят­ ность появления не более г успешных исходов в п независимых

т

Рис. 2.4. Биномиальная кривая обеспеченности распреде­ ления числа случаев пересыхания реки. п = 20, р = 0,2.

/ —биномиальная непрерывная кривая обеспеченности, 2—диск­

ретное биномиальное распределение (точки отнесены к середине интервала).

испытаниях. Эта вероятность определяется по интегральной функ­ ции биномиального дискретного распределения

Г

Допустим, что необходимо определить вероятности того, что за 20 лет наблюдений за речным стоком произойдет не более 5 случаев пересыхания реки. Имеем: п = 20; р = 0,2; г = Ъ. Используя выраже­ ние (2 .10 ) и очевидное равенство р —1 — q, получаем

5

Р ( т < 5 ) = 2 См0,2т (1 - 0 , 2)20_ т = 0 ,012 + 0,058+0,140+

т =0

+0,205+0,218+0,175=0,808.

70

Обычно в гидрологических расчетах используется вероятность превышения заданного числа г. В этом случае имеем

Р ( ю > 6)= 1 -0,808= 0,192 .

Интегральная функция распределения числа случаев превыше­ ния пересыхания реки при п = 20, р = 0,2 и г = 1 -М 0 изображена на

рис. 2.4.

Дискретное биномиальное распределение может найти примене­ ние в гидрологических расчетах и при решении других аналогичных задач. Наибольшее же применение в гидрологических расчетах по­ лучило биномиальное распределение непрерывных случайных вели­ чин, рассматриваемое в § 4 настоящей главы. При решении неко­ торых задач гидрологических расчетов используется закон распре­ деления Пуассона, описывающий также распределение дискретных случайных величин.

§ 3

закон распределения Пуассона

Распределение Пуассона вытекает из дискретного биномиаль­ ного распределения при п-*-оо и когда пр = К сохраняет постоян­

ное конечное значение.

Можно отметить, что если в биномиальном дискретном распре­ делении вероятность Рт, определяемая по выражению (2.2), не

имеет значений, близких к 0 и 1, то в распределении Пуассона ве­ роятность Я-к 0.

Распределение Пуассона имеет вид

метр л, определяемый по экспериментальным данным.

Вывод закона распределения Пуассона осуществим, опираясь на биномиальное дискретное распределение.

В соответствии с выражением (2.3) биномиальное дискретное распределение имеет вид

/( т , п, р )= С тпр т( \ - р ) п- т =

п ( п - \ ) ( п - 2 ) . . ( п ~ т \ 1)

71

Умножим числитель и знаменатель на пт и произведем замену переменных по равенству пр = Х

(2.13)

Рассмотрим по частям предельные выражения полученного ра­ венства. Произведем преобразование

1■-пр 1'

р -*■ О

Наконец, рассмотрим предел выражения при п->оо и р-*-0 /л — 1

Р - * о

Подставляя предельные значения в формулу (2.13), оконча­ тельно получим распределение Пуассона (2.12), представляющее собой предельную форму биномиального дискретного распределе­ ния с параметром К = пр при р ->-0 и м->- оо.

Выведем выражения для математического ожидания, диспер­ сии и третьего центрального момента случайной величины, рас­ пределенной по закону Пуассона. При этом используем фактори­ альные моменты. Факториальный момент г порядка случайной ве­ личины т от т = 1 до т = п представляет собой выражение

П

2т ( т — 1) . . . (tn — r - f-1).

т=1

Найдем факториальные моменты для закона распределения Пуассона

оо

Л = 2 4 т е~}' т ( т — \ ) ( т — 2) . . . ( т — r + 1).

т= 1

Представляя Хт — Хт~гХг и вынося за знак суммирования постоян­ ную ХТ, раскрывая факториал ml и произведя при этом необходи­

мые сокращения, а также изменяя пределы суммирования, полу­ чаем

7 2

Учтем, что целая положительная степень любого числа может быть представлена в виде

Г

/=1

при г —2

г=2

/2= Л 2гАг=А -|-^I2,

/=1

при г= 3

г = 3

/ з = 2 Л згА '= А + З А 2+ А 3.

I =1

Численные значения коэффициентов Ан взяты из табл. 2 .1 .

Моменты выше третьего порядка в гидрологических расчетах не используются и поэтому здесь не рассматриваются.

По формулам (1.38), выражающим центральные моменты р через начальные (fr), получим:

14=0,

р.2= А + ) 2 — А2= А ,

р3==А+ЗА2+А 3-3(А + А 2)А+2(А)3=А+ЗА 2+А 3-ЗА 2-ЗА 3-}-2А3=А.

Приведенный анализ показывает, что первый начальный момент,

или среднее арифметическое значение (т), второй центральный

73

момент, или дисперсия о2 , и третий центральный момент (рз)

в распределении Пуассона равны

m=Om=|x3=A. (2.18)

Переходя к обычным для гидрологов параметрам, получаем:

т

или

Cs= C v= l 2 и т=1.

Следовательно, если ряд дискретной случайной величины т ха­

рактеризуется равенством т ~ а 2 ~рз~Я , то это дает основание по­

лагать, что случайная величина т распределена по закону Пуас­

сона.

Полезно заметить, что приближенность равенства среднего арифметического (т), дисперсии (сг2т) и третьего центрального мо­

мента (цз) указывает на возможность случайных колебаний выбо­ рочных значений этих параметров по отношению к величинам, свойственным генеральной совокупности.

Приведенное соотношение между указанными параметрами применительно к статистическим совокупностям гидрологических величин наблюдается сравнительно редко и поэтому рассматривае­ мое распределение не получило в гидрологии широкого примене­ ния. Тем не менее в некоторых, как, например, в приведенных ниже случаях использование его может оказаться целесообразным.

Предварительно рассмотрим в порядке сопоставления дискрет­ ное биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Указанное сопоставление произведем при следующих значениях

рис. 2.5, показывают, что с увеличением л и уменьшением р рас­

пределение Пуассона приближается к биномиальному. Этот вы­ вод не является неожиданным, поскольку из общего анализа

74

распределения Пуассона следует, что оно представляет собой пре­ дельную форму биномиального закона при п —>- оо и р->- 0.

Выводы, полученные по данным табл. 2.2, более важны в том отношении, что они позволяют оценить объемы выборок, при кото­ рых различия в рассматриваемых схемах распределения случайных величин практически можно считать несущественными. Расчеты по­ казывают, что распределение Пуассона дает хорошее приближение к биномиальному даже при сравнительно малых объемах выборки ( п > 10 ), особенно с уменьшением параметра К.

т

Рис. 2.5. Сравнение биномиального интегрального закона распределения с законом Пуассона.

/ —биномиальное распределение р=0,2, п=25; 2—биномиальное распределение р—0,1, /2=50; 3—распределение Пуассона Л=5.

Указанный вывод важен с точки зрения возможности примене­ ния рассматриваемого закона распределения при решении гидроло­ гических задач, поскольку используемые в этом случае объемы со­ вокупностей обычно ограничены несколькими десятками членов.

Практический смысл использования закона Пуассона заключа­ ется в существенном упрощении расчетов по сравнению с дискрет­ ным биномиальным распределением. Кроме того, при некоторых значениях параметров п и р расчеты по биномиальному распреде­ лению оказываются затруднительными ввиду недостаточной точ­ ности пятизначных таблиц логарифмов. Из того условия, что закон Пуассона возникает при р-*~ 0, следует, что он применим для вы­

равнивания наблюденных распределений, редких событий, напри­ мер, маловодных или многоводных периодов значительной продол­ жительности, гроз в зимний сезон и т. д. В силу указанного свой­ ства распределение Пуассона часто называют законом редких явлений.

76

Применение закона Пуассона рассмотрим на примере оценки повторяемости группировок маловодных и многоводных периодов некоторых рек СССР. Основные исходные данные приведены в табл. 2.3.

Т а б л и ц а 2.3

Сведения о наибольшей продолжительности маловодного периода и числе лет наблюдений на некоторых реках СССР

Учитывая, что продолжительные периоды пониженной или по­ вышенной водности рек — явление очень редкое, и предполагая, что стохастической связи между величинами годового стока нет, можно воспользоваться законом распределения Пуассона в виде

для выяснения вероятности P(R = v) встретить число группиро­

вок (v) пониженной или повышенной водности продолжитель­ ностью не менее k лет.

ния за п лет.

Применительно к рассматриваемой задаче параметр распреде­ ления Пуассона может быть рассчитан по приближенной формуле

вывод которой основан на теории комбинаторики. Несколько по­ дробнее вопрос о группировках маловодных и многоводных лет рассмотрен в главе IV. Здесь же лишь отметим, что эта зависи­ мость с точностью, достаточной для решения практических задач, определяет среднее число группировок продолжительностью не ме­ нее k лет в выборках случайных независимых величин.

Используя выражения (2.19) и (2.20), легко можно подсчитать вероятность встретить в п наблюдениях число группировок (v) продолжительностью k лет и более. При этом имеется в виду, что k достаточно велико и, следовательно, наблюденная группировка,

допустим, маловодных лет — явление достаточно редкое, а соот­ ветственно вероятность появления такой группировки мала. Здесь, как и ранее, предполагается отсутствие связи в последовательности годовых объемов речного стока.

7 7

Определим, с какой вероятностью можно ожидать появление двух группировок маловодных периодов продолжительностью каж­ дого не менее 7 лет в выборке, включающей 85 лет наблюдений

Фактически по данным наблюдений за годовым стоком р. Белой у г. Уфы наблюдалась лишь одна группировка маловодных лет про­ должительностью 7 лет.

Подсчитаем, какова вероятность появления одной группировки маловодных периодов длительностью 7 лет и более в выборке объ­ ема 85 лет. По формуле (2.19) получаем

Д(Я7==1 ) = - ° ^ - <Г0-332 » 0,24 « 24°/0.

Как видим, вероятность этого события уже достаточно велика. Фактически за 85 лет наблюдалось две группировки маловодных лет продолжительностью 7 лет и более.

Техника вычислений значительно упростится, если использовать таблицы распределения Пуассона для X от 0,1 до 5,0 с интервалом 0,1, для X от 6 до 15 с интервалом 1,0 и, наконец, для X от 20 до 100

Используя зависимость (2.21), рассчитаем теоретическую веро­ ятность появления указанных в табл. 2.3 группировок маловод­ ных лет.

Для маловодной группировки длительностью И лет для р. Волги у г. Ярославля имеем

Я (Р ,5> 1 ) = 1 - е 213+1 ~0,012«1,2'7 о

78

и, наконец, для группировки стока маловодных лет для р. Белой у г. Уфы

_ 85

P ( R u > 1 )= 1 - < Г 211 + 1 я» 0,018 « 2 , 0°/о*

Заметим, что для решения рассматриваемой задачи можно при­ менить и формулы (2.19) и (2.20). Действительно, например, для р. Белой имеем я = 85, &= 11 и, следовательно,

Большой научный и практический интерес представляет опреде­ ление наибольшей продолжительности группировки маловодных или многоводных лет при заданном значении вероятности в вы­ борке объемом п лет. Эта задача может быть приближенно решена

также на основании закона Пуассона, если выражение (2.19) пред­ ставить в виде

Здесь К — наибольшая длительность группировки маловодных или многоводных лет при вероятности ее наступления р в выборке объемом п лет.

Применительно к исходным данным, приведенным в табл. 2.3, рассчитаем наибольшую возможную продолжительность группи­ ровки с вероятностью повторения, равной 0,05, т. е. 5%.

Для р. Волги у г. Ярославля имеем

Сопоставление рассчитанных наибольших значений продолжи­ тельности маловодных периодов (2 .2 2 ) с наблюденными данными

(табл. 2.3) показывает, что осуществившиеся периоды низкой вод­ ности были большей длительности, чем расчетные. Из этого сле­ дует, что им свойственна меньшая вероятность повторения, чем это принято в расчете (5%).

79